布洛赫球（Bloch Sphere）详解

**布洛赫球（Bloch Sphere）**是一个几何表示工具，用来可视化和描述单个量子比特（qubit）状态的。它将量子比特的纯态表示为三维球面上的点，帮助理解量子比特的状态及其演化。

1. 量子比特的状态表示

在量子计算中，单个量子比特的状态可以用两个正交基态的叠加来表示，即：

$$|\psi ⟩=\alpha |0⟩+\beta |1⟩$$

其中 $|0⟩$ 和 $|1⟩$ 是量子比特的计算基态，$\alpha$ 和 $\beta$ 是复数系数，满足归一化条件 $|\alpha {|}^2+|\beta {|}^2=1$。

由于两个复数系数 $\alpha$ 和 $\beta$ 只有三个独立的自由度（一个幅度和两个相位，因为总相位是物理上不可观测的），因此量子比特的状态可以用两个实参数来描述。

2. 布洛赫球表示

布洛赫球将量子比特的状态表示为三维球面上的点。具体地，量子态 $|\psi ⟩$ 可以写成如下形式：

$$|\psi ⟩=\cos \left(\frac{\theta }{2}\right)|0⟩+e^{i\varphi }\sin \left(\frac{\theta }{2}\right)|1⟩$$

其中 $\theta$ 和 $\varphi$ 是定义在球坐标系中的两个角度：

• $\theta$ 是量子态矢量与 $z$ 轴之间的夹角，称为极角，取值范围为 $[0,\pi ]$。
• $\varphi$ 是量子态矢量在 $xy$ 平面上的投影与 $x$ 轴之间的夹角，称为方位角，取值范围为 $[0,2\pi ]$。

在布洛赫球中，量子比特的状态对应于球面上的一点，其坐标为 $(\theta ,\varphi )$。

3. 布洛赫球上的矢量

在布洛赫球中，量子比特的纯态可以被表示为指向球面上一点的矢量，通常称为布洛赫矢量。这个矢量可以表示为三维空间中的向量 $\mathbf{r}=(r_x,r_y,r_z)$：

$$\mathbf{r}=\left(\begin{array}{c}x\\ y\\ z\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}\sin \theta \cos \varphi \\ \sin \theta \sin \varphi \\ \cos \theta \end{array}\right)$$

其中：

• $x=\sin \theta \cos \varphi$ 对应于量子态的 ${\hat{\sigma }}_x$ 期望值。
• $y=\sin \theta \sin \varphi$ 对应于量子态的 ${\hat{\sigma }}_y$ 期望值。
• $z=\cos \theta$ 对应于量子态的 ${\hat{\sigma }}_z$ 期望值。

这表示在布洛赫球上的任何一点都可以通过矢量 $\mathbf{r}$ 由两个角度 $\theta$ 和 $\varphi$ 完全确定。

4. 布洛赫球的物理意义

布洛赫球提供了一个直观的几何视角来理解量子比特的状态和操作：

• 极点状态：布洛赫球的北极点 $(0,0,1)$ 对应于量子比特的基态 $|0⟩$，南极点 $(0,0,-1)$ 对应于激发态 $|1⟩$。

• 赤道面：布洛赫球的赤道对应于量子比特的均匀叠加态，如 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+e^{i\varphi }|1⟩)$。这些态的相位 $\varphi$ 决定了在赤道上的位置。

• 旋转操作：布洛赫球使得描述量子门操作（如 Pauli 门、Hadamard 门、旋转门）变得直观。例如：

  • 绕 $z$ 轴旋转 $\theta$ 角度的操作 $R_z(\theta )$ 相当于在布洛赫球上绕 $z$ 轴旋转布洛赫矢量。
  • Hadamard 门将布洛赫球上的北极点 $|0⟩$ 映射到赤道上的点 $\frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩+|1⟩)$。

• 测量：在布洛赫球上，测量对应于沿某个方向投影量子态。例如，在 $z$ 基进行测量时，量子态被投影到 $|0⟩$ 或 $|1⟩$，对应于北极或南极。

5. 量子态的混合态表示

虽然布洛赫球主要用于表示纯态，但它也可以扩展用于表示混合态。混合态对应于布洛赫球内的一点，而不再局限于球面。混合态的布洛赫矢量长度小于 1，表示量子态的纯度。

• 纯态：布洛赫矢量的模 $|\mathbf{r}|=1$。
• 混合态：布洛赫矢量的模 $0<|\mathbf{r}|<1$。
• 完全混合态：布洛赫矢量的模 $|\mathbf{r}|=0$，对应于球心，表示最大的不确定性。

总结

布洛赫球是一个强大且直观的工具，用于可视化和理解单量子比特的状态及其操作。通过将量子态映射到三维球面上的点或矢量，布洛赫球提供了一个清晰的几何表示，使得量子态的操作和演化（如旋转、测量）变得更加直观。在量子计算中，布洛赫球广泛用于教学、理论分析和算法设计中，帮助研究者和工程师理解量子比特的行为。