数学描述：

假设N个统计独立的未知信号S(t)

S(t)=[s_{1}(t),s_{2}(t),s_{3}(t),...,s_{N}(t)]^{T}

经过未知信道A的传输后由M个传感器检测获得M个观测信号

X(t)=[x_{1}(t),x_{2}(t),x_{3}(t),...,x_{M}(t)]^{T}

整个传输过程的数学模型为：

X(t)=AS(t)+n(t)

X(t)为M维观测矢量，S(t)为N维未知源信号矢量，n(t)为M维加性信道噪声，A为M\times N维传递函数矩阵。

盲源分离问题就是求一个分离矩阵W，使得观测信号X(t)通过该矩阵，尽量的完全分离出源信号S(t)的各个组成，设Y(t)为源信号估计矢量，则分离系统的数学描述为：Y(t)=WX(t)

实际中，传感器测得的信号是源信号及其延时信号的混迭，通常称卷积混迭。

X(t)=AS(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}A(k)S(t-k)

针对这种情况，盲反卷积方法仅仅是通过观测信号X(t)估计信道冲激响应A(k)进而恢复源信号，这样得到如下分离系统，也叫盲均衡系统：Y(t)=\sum_{-\infty}^{\infty}W(k)S(t-k)

对无延时的情况，Y和S相差一个信号幅度的放大倍数，对于有延时的情况，Y和S相差一个滤波器函数。

信号被“分离”指的是每个分离出来的信号y_{i}与某个源信号s_{j}有关，i和j可以不相同。信号被恢复是恢复后的信号y_{i}与某个源信号s_{j}仅仅只相差一个固定的幅度值。

进行盲分离通常作以下假设：

1、信号源的个数和传感器的个数相同

2、源信号相互统计独立

3、源信号各矢量均值为0，至多有一个是高斯信号（当源信号都是高斯信号时，它们的混合信号仍是高斯信号，它们是无法进行分离的）

 

自适应滤波理论和技术是统计信息处理和非平稳随机信号处理的主要内容，在不需要先验知识的初始条件下，通过自学习来适应外部的自然随机环境，因而自适应算法可以用来估计确定信号。

1、最陡下降法（Steepest Descent Method）

沿性能曲面最陡方向向下搜索曲面的最低点。曲面的最陡下降方向是曲面的负梯度方向。

Y(n)=W(n)X(n)，W(n)是滤波器系数矩阵，X(n)是系统输入矢量，Y(n)是输出信号，期望信号为d(n)

误差序列e(n)=d(n)-Y(n)

按照均方误差准则

F(e(n))=E[e^2(n)]]=E[d^2(n)-2d(n)Y(n)+Y^2(n)] =E[d^2(n)]-2E[d(n)W^T(n)X(n)]+E[W^T(n)X(n)X^T(n)W(n)]

当滤波器系数固定时，目标函数可以写成

\xi (n)=E[d^2(n)]-2W^TP+W^TRW

其中，P=E[d(n)X(n)]是期望信号与输入信号的互相关矢量，R=E[X(n)X^T(n)]是输入信号的自相关矩阵

由上式可知，自适应算法的目标函数是延时线抽头系数的二次函数，当矩阵R和矢量P已知时，可以由权矢量W直接对其求解，对上式求导可得到目标函数最小的最佳滤波系数

w_{0}=R^{-1}P

滤波系数更新W(n+1)=W(n)+1/2\mu [-\bigtriangledown (n)]

1/2表示\mu减半，《现代数字信号处理》（姚天任）一书中没有减半，即W(n+1)=W(n)-\mu [\bigtriangledown (n)]

\bigtriangledown (n)=2RW(n)-2P

若按\mu减半的算，滤波器系数更新值为W(n+1)=W(n)+\mu [P-RW(n)]

2、最小均方误差（LMS）算法

3、最小二乘法（LS）

 

 

 

转自：https://www.docin.com/p-126816392.html?docfrom=rrela

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