part1：线性空间与线性变换之“基与维数”（续）

在上文【矩阵论】线性空间与线性变换（2）中遗漏的部分内容补充

1. 过渡矩阵
   

两组基之间一定可以互相线性表示，矩阵A就反映了从一组基到另一组基之间的线性变换关系

看完了好几个例题之后，又回来提醒一下大家，一定要注意书写的顺序和文字的顺序，β向量组=α向量·A的形式，但是文字表达式从基α到集β的过渡矩阵。否则后续，用上过渡矩阵的逆以及基的传递，很容易搞晕从哪个基到哪个基。

【特点】过渡矩阵A一定是可逆矩阵

理解思路
其一，在上文【矩阵论】线性空间与线性变换（2）中最后的证明题目中所说，“两个线性无关向量组的表示矩阵一定是可逆的”

其二，从线性代数的几何观点去理解：把一组线性无关的向量用另一组线性无关的向量去表示，保持向量组的无关性，说明对应的变换矩阵是保真的，其行列式一定不为0，其本身一定是一个可逆矩阵。

【例】过渡矩阵的求解 - 1

由上图，对于一个给定的线性空间F3[x]，已知一组基为1,x,x²；且也可以写出另一组基为1+X,20x+x²，1+2x^2*.
[注]： 上图中老师笔误把二次项全都写成了三次项，题目描述按照我的文字理解即可。

则按照过渡矩阵的定义，将向量组展开成[α1，α2，…，αn] = [β1，β2，…，βn]·A 的形式，其中矩阵A即为所求。

【例】过渡矩阵的求解 - 2

核心的思路并没有变化，只不过这里的线性空间不是我们惯常理解的那种线性空间，在理解的时候，把每一个小矩阵作为一个矩阵单位去求解对应的坐标。

2. 过渡矩阵的性质

（1）可逆性

前面已经论述过，基之间的过渡矩阵是一个可逆矩阵，既然矩阵可逆，那么以“变换”的角度去看待矩阵的时候，其逆矩阵对应的含义就是这个矩阵对应的变换的逆变换。

（2）过渡矩阵传递性运算

【例】过渡矩阵的求解 - 3

本例子讲述怎么借用过渡矩阵的性质进行过渡矩阵的求解，从而简化计算量

法一：按照前文的思路，根据过渡矩阵的定义框架，将向量组展开书写，针对向量组的每一个向量都要解一个向量方程（也就是一个线性方程组），计算量很大。

p.s.虽然当α组的基取的比较特殊的时候可以直接看出来系数，但是大多数时候无法直接看出。

如下图，对于每一个向量β，都需要求解其在基α下的坐标，把其在α下的坐标作为矩阵A的某一列。

法二：利用过渡矩阵的性质
当我们都将某一组向量基取成标准正交向量基的时候，系数矩阵A是很好确定的（就是各个向量的列向量组成的矩阵）。
按照这个思路，我们有下图中α和β分别关于e1,e2,e3的坐标表示。

根据上图，我们知道从e到α的过渡矩阵为A；从e到β的过渡矩阵为B，我们最后想要求解从α到β，故利用基的传递性——
从α到e，再从e到β，所以得到结果为A^-1·B。

3. 坐标变换公式
   

证明：思路很清晰直白，利用向量坐标的表示记号，以及过渡矩阵的定义，进行代换即可。


同样在这一条定理中，也要弄清楚矩阵是从哪一组矩阵到哪一组矩阵的过渡。

【例】在给定的线性空间中求解某一个向量在任意基下的坐标

法一：可以直接按照向量坐标的定义，进行展开，解线性方程组来求解系数

法二：根据前面的定理，找到线性空间F3[x]中的一组标准的基，然后可以得到基之间的过渡矩阵，也很容易得到在标准基下的向量坐标，利用定理的结论，就可以求出在给定的基下的向量坐标。

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Part2 子空间 交与和

一.子空间相关概念

1. 子空间定义
   

定义的注意点：
①W是一个非空子集
②W关于V的运算也能够成F上的线性空间

（1）反例：运算不一致不能称作子空间

V是全体实数集合，而W就是我们在线性代数与线性空间（1）和（2）系列中都反复讨论过的一个自定义的线性空间（数域为R，集合为正实数，加法运算定义为实数的乘法，数乘运算定义为实数之间的幂乘运算）。

虽然W的集合是V对应集合的非空子集，但是两个线性空间的运算定义并不一致，所以不能称作子空间。

（2）正面例子

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2. 子空间判定定理

（1）子空间判定定理

例：{θ}和V本身均是V的子空间，且这两个子空间称为平凡子空间。

【结论】
对于一个集合V的子集合W，要判定其是否为V的子空间其充要条件就是证明集合W关于数乘和加法运算都是封闭的。

【思路历程】
①根据第一篇系列文章中所讨论的，一个线性空间应当满足线性运算的封闭性+八条性质公理

注: 性质公理八条可见文章【矩阵论】线性空间与线性变换（1）

简而言之，八条定理分别为
加法运算——交换律，结合律，零元素，负元素
乘法运算——结合律，乘一性，数乘系数分配律，数乘元素分配律

②但是因为集合W本身即为集合V的子集，所以有些性质公理既然在V上满足，在W上也是显然满足的，比如说加法交换律和结合律，乘法结合律和分配律。

因此，在这样的思路指导下，我们认为只需要验证线性运算封闭性+负元素∈W+零元素∈W

③该判定条件最终得以简化成只需验证线性运算的封闭性，在于封闭性就保证了负元素和零元素的存在性

利用数乘封闭性就得以证明

（2）子空间判定举例

对于空间V1而言，空间V1不是R³的子空间

方法论：要证明不是子空间，只需要找到一个反例，说明其对于线性运算并不封闭即可。

向量[1/3,0,0]是在空间V1中的，对于数乘系数2，其数乘结果并不在V1中，就说明了该数乘运算并不具有封闭性。

对于空间V2而言，空间V2是R³的子空间

【代数观点】
V2中的空间约束条件是一个齐次线性方程组，在线性代数学习齐次线性方程组的解特点时，我们曾讲过——

“其解之和依然为齐次线性方程组的解”+“其解的数乘也依然是齐次线性方程组的解”。

【几何观点】
V1和V2在几何上都代表着三维空间的二维平面，其区别只在于是否经过原点。
对于任意维度的子集合，只要其经过了原点，那么该集合就是原线性空间的子空间。

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3. 两类重要的子空间

（1）子空间描述
① 齐次线性方程组解空间（对应矩阵的左零空间）

根据该解空间的描述，易得该解空间是Fⁿ的子空间

解空间的一组基：齐次线性方程组的基础解系

解空间的维度：基础解系中向量的个数，n-r(A)
即：齐次线性方程组中未知数的个数-对应系数矩阵的秩

②生成子空间

对于该子空间的直接理解：对于一组向量的任意线性组合就是生成子空间

α1，α2，…，αs就是生成元

（2）关于生成子空间的相关命题

① 每一个生成元都在生成子空间中

要判断一个元素（向量）是否在生成子空间中，只需要判断该元素是否可以用该组生成元线性表示得到

②生成子空间的等价条件

【必要性】

关键是要证明两个生成元向量组是等价的，也就是两个生成元向量组是可以相互线性表示的。

根据命题①找到，每一个α都可以由α1，…,αs线性表示，也就是αj在生成子空间中，根据等式传递性，该αj也在β生成的子空间中，就说明αj可以由β向量组线性表示。

【核心】：元素在生成空间中 ↔ 元素可以由一组生成元线性表示。

【充分性】

要根据两个生成元向量组的等价性，推得其生成子空间是相等的。
方法论：证明集合相等，就是要从左包含和右包含来进行夹逼，分别证明。

上图以证明右包含为例：对于任意一个属于L(α1，α2，…，αs)的元素η，说明η可以由α1，α2，…，αs线性表示

又因为α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt的等价性（等价就是说明可以相互线性表示），可得η也可以被β1，β2，…，βt线性表示，即说明η也在L(β1，β2，…，βt)的生成子空间中。

同理可证明左包含性。

③确定生成子空间的基与维数

当确定了生成元向量组的极大无关向量组就是生成子空间的基之后，自然可以推导得到生成子空间的维数就是生成元向量组的秩（也即：极大线性无关组中向量的个数）。

问题的关键转为确定——为什么生成元向量组α1，α2，…，αs的极大线性无关组就是其生成子空间L(α1，α2，…，αs)的基？

【证明与理解】

核心思路：还是要从极大线性无关组和向量组的基的定义出发，以及利用线性表示的等价性。

一组向量可以成为一个向量空间的基，需要两个条件：
其一，该组向量线性无关【这一点已经满足，因为其本身就是一个极大无关组】
其二，向量空间中的任何一个向量都可以由该组向量线性表示。

即假设有一个元素η∈L(α1，α2，…，αs)，则说明η可以由α1，α2，…，αs线性表示。
又因为α1，α2，…，αs存在一个极大线性无关组，则α1，α2，…，αs可以由其自身的极大无关组线性表示，根据线性表示的等价传递，说明任意一个元素η∈L(α1，α2，…，αs)，也是都可以由α1，α2，…，αs的极大无关组线性表示的。

• 重要性：该条命题实际上给出了我们求解生成子空间的基和维数的方法。

【例】求解生成子空间的基与维数 - 1

按照前文的命题，我们只需要针对该生成子空间的一组生成元求解该向量组的极大线性无关组即可。
求解出的极大线性无关组即为空间基，无关组的秩即为空间的维数。

对一个Fⁿ中的向量组求解极大线性无关组，就是将各个列向量增广成一个矩阵，进行初等行变换，转换成行阶梯矩阵即可。

【例】求解生成子空间的基与维数 - 2

对于一个陌生的线性空间，可以先按照形式记号的定义，将一组向量写成空间的基乘上坐标矩阵的形式，然后将抽象空间的问题转换成我们熟悉的Fⁿ的问题。
对于上面的例题，我们得到了坐标矩阵之后，只需要求解A，B，C，D对应的坐标列向量的极大无关组好和秩即可。

【例】求解生成子空间的基与维数 - 3

对于这类抽象描述的子空间，要求解空间的基的时候，把抽象空间的描述进行一下拆解，就能很快求解出空间的基。

所得的A和B就是该子空间的基；同样也是从两个方面去验证——

其一这两个向量是线性无关的；
其二，空间中任意一个向量都可以写成该两个向量线性组合的形式（上面的等式就已经说明了这一点）

【例】求解生成子空间的基和维度 - 4

证明W集合是F^2x2的一个子空间的过程略去；
按照前文所讨论的那样，只需要证明W集合关于加法和数乘运算是封闭的即可。

现在来对W子空间的基和维数进行求解：

设任意一个矩阵X形式如上所述，我们希望能找到这四个元素a,b,c,d的代数约束。

• 思路一就是将AX = XA进行代入，自然可以得到若干方程来反映这几个元素之间的关系。
• 思路二如图所示进行了简化，将矩阵A拆解成一个单位矩阵和一个特殊矩阵的形式，单位矩阵本身就是加法可交换的，所以A矩阵加法可交换最终可归为对于矩阵[[0,0],[2,0]]可交换。
  
  得到矩阵的形式如上图所示为[[a,0],[c,a]]，关于变量系数a,c将矩阵进行展开，就能得到空间的两个基M1和M2。

【小规律发现】
例3和例4中的求解，都是给出了子空间的代数约束，然后针对约束中出现的变量系数，对空间的描述形式进行分解，从而可以展开写出基的形式。

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二. 子空间的交与和

1. 子空间的交与和的定义

（1）定义修改的引出

子空间实质上就是一个集合，集合可以进行交和并的运算，按照惯常的定义，子空间的交依然是一个子空间，但是子空间的并却不是子空间。

如：对于一个二维空间来说，可以找到其两个子空间，分别为x轴和y轴（一维子空间）。

在找子空间的时候，可以回想一下我们前文说到的结论：当子集合是经过原点的时候，子集合才有可能成为子空间。

两个空间的交集——就是原点，一定是一个子空间。
而两个空间的并集——X轴和Y轴的并集，一定不是一个子空间，因为显然不满足加法的封闭性。

（2）交空间和并空间的定义

为了弥补集合的并运算不一定符合子空间定义的特点，我们将并运算拓展成了和运算。

注意和空间的定义，就是对于两个子空间的元素，任意两个元素的和一定是存在其和空间之中的。

（3）交空间与和空间定义的注意事项

①交空间与和空间是子空间

②并运算与和运算的区别

对于两个子空间V1和V2

存在V1∈V1∪V2；V2∈V1∪V2
同样存在V1∈V1+V2；V2∈V1+V2

但是还有V1∪V2∈V1+V2的关系存在
可以类比前面举过的关于二维平面、X轴和Y轴的例子，X轴和Y轴的并集就是X轴和Y轴上的点的全体集合
X轴和Y轴的和集就应该是整个二维平面。

[注]：找不到包含的符号，上面的∈符号请读者自行进行替换。

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2. 子空间的交与和的命题

①生成子空间的和运算可以转换成生成元的和运算

证明套路想必大家都很熟悉了，集合的等于通过左包含和右包含来进行夹逼证明

【右包含性】

对于任意一个在V1+V2中的元素，按照和运算的定义，可以写成V1中元素和V2中元素之和。
因为两部分分别可以由两组生成元线性表示，那么得到的和向量自然就可以由共同的生成元线性表示。

②维数定理

说明：这里不再对维数定理进行证明，在记忆的时候可以类比数集的容斥定理进行理解。

【例】和空间与交空间的基与维数的求解 - 1

对两个子空间的和空间与交空间进行求解，关键在于把两个子空间的基分别求解出来。

V1和V2的描述给出的都是几何约束，按照前面总结过的【拆解套路】，可以轻松得到V1和V2的基与维数。

对于和空间的求解可以套用结论：

得到V1和V2的基之后，两个子空间就可以看成是关于基的生成空间，按照前面的结论，自然可以明白求解V1+V2的基，关键在于求解向量组A,B,C,D的极大线性无关组以及秩。

对于交空间：

交空间的维数可以借助维数定理进行求解
但是要想求解出交空间的基，还需要能分析出交空间中的矩阵元素的一般形式。

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【例】和空间与交空间的基与维数的求解 - 2

关于和空间的相关求解同上，可以转换成向量组的极大无关向量组的求解，此处不再讨论。

接下来重点讨论交空间的相关求解

同样地，在对交空间进行求解时，关键要理解交空间里有什么样的元素。

假设η是交空间中的某一元素，那么它要同时满足V1和V2空间的约束——从而得到一个关于变量k1,k2,l1,l2的齐次向量方程。

将方程写成矩阵形式，我们要求解交空间的相关情况，就是对这个方程进行相应求解。
【解空间的维数就是交空间的维数】

将系数矩阵进行一系列初等行变换，最后得到最简形矩阵，可以看到矩阵的秩为3，说明解空间（交空间）的维数为4-3 = 1，基础解系中只有一个向量。
取l2 = 1，从而可以得到一个基础解[-1,4,-3,1]^T。
将求解出的系数代入，就能得到交空间的一个基为-α1+4α2；也可以写成是-3β1+β2

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【例】和空间与交空间的基与维数的求解 - 3

对于本例只做分析，不再进行详细运算。

前两个例题中，和空间的求解都是固定的套路，而对于交空间的求解会稍显麻烦，因为给定的子空间往往是几何约束形式或者给定的向量，需要先求解出交空间的具体形式，才能求解出其维度与基。
但是和空间和交空间求解的难易程度是随着问题给出的形式发生变化的。

【交空间】
本题交空间反而很容易求解，因为交空间是既满足V1的线性方程组又满足V2的线性方程组的解空间，只需要将两个方程组的系数矩阵进行拼接，求一个新的线性方程组的解空间即可。

【和空间】
套路不变，就是要通过求解两个齐次线性方程组，得到V1和V2的生成元，通过求解生成元的极大无关组和秩求解和空间的维度和基。

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3. 直和

（1）定义（两个子空间的直和）

直和的定义实质是想说明，对于两个子空间V1和 V2，他们的和空间中的任意一个向量的表示方式都是唯一的。

（2）直和的判定条件

接下来对这些等价条件进行证明，证明的思路为1→2→3→4→3→1，其中5的成立性额外说明。

（3）直和等价条件的证明

①说明：什么叫“θ的表示方式是唯一的”

由上图，因为V1+V2是线性空间，所以θ向量肯定在V1+V2中，同理θ也在V1中和V2中，那么就可以得到一个等式θ = θ + θ【直和的定义式】

但是假如现在在V1中有一个向量α1，在V2中有一个向量α2，他们也满足α1+α2 = θ，那么根据“θ的表示方式是唯一的”，就必然可以推导出α1 = α2 = θ。

②从1证明2

不需额外说明，因为按照直和的定义，和空间中的任意一个向量的表示都是唯一的，那么零向量θ的表示方式自然也是唯一的。

③从2证明3

任取一个η∈V1∩V2，根据交空间的定义可知η∈V1；根据交空间的定义和数乘运算封闭性可知-η∈V2；

那么就可以得出η+（-η） = θ，根据2中θ表示的唯一性，就可推出η = θ。

整个证明过程就可以翻译成“对于满足直和定义的交空间中任意一个向量，都能推导出为该向量为零向量”，即说明，交空间中只含有零向量。

④从3证明4和从4证明3

直接使用维数定理即可，且要记住第二篇系列文章中我们讨论过，零空间的维数为0.
同理，逆向使用维数定理，即可以从4证明3.

⑤从3证明1

假设对于交空间中某一个元素有两种表示方式α1+α2= β1 + β2，那么移项可以整理得到α1-β1 = β2-α1；

令α1-β1 = β2-α1 = δ，根据下标，可以知道α1-β1∈V1，β2-α1∈V2；
则有δ∈V1且δ∈V2，那么就有δ∈V1∩V2；

根据3的“交空间为零空间”，可以推出α1-β1 = β2-α1 = δ = θ，则有α1 = β1，α2 = β2，从而推出了任意元素的表示都是唯一的，使得V1+V2满足直和的定义。

【例】证明直和空间 - 1

对于任何一个数学概念，首先不能忘的就是数学定义，所以直和的数学定义一定要记住。

在应用中，我们常使用等价条件的第三条和第四条进行证明。

问题明晰：我们需要证明两件事，其一，V1+V2是直和；其二，F^nxn = V1 + V2

【V1+V2是直和】
利用前面一直在讨论的直和的充要条件进行证明即可。

【F^nxn = V1 + V2】
<老套路>要证明集合的相等——证明集合的相互包含关系


左包含性是显然的，两个nxn的元素的和依然在F^nxn空间中。

右包含性实质上就是要证明【任何一个矩阵都可以写成对称矩阵和反对称矩阵之和】

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【例】证明直和空间 - 2

问题的剖析和分析思路上同

• η-Aη∈V1——A（η-Aη） = Aη-A²η = Aη-Aη = θ
• Aη∈V2——A（Aη） = A²η = Aη【将Aη整体看做x】——Ax = x

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（4）多个子空间的直和

①多个子空间的直和的定义

②多个子空间的直和的判定条件

多个子空间的直和的条件和两个子空间的直和的条件基本上是相同的，除了第三点需要额外注意。

对于第三点条件，应该理解为——对于任意一个子空间，都要判断它和除了它以外的其他直和空间是否交空间为零空间

关于这一点，如果我们直接从两个子空间的直和定义进行引申的话，很容易写成如下形式：

但事实证明，下面这个条件成立并不能保证多个空间的和为直和空间

【举例说明】
对于下图中的三个子空间V1，V2和V3，他们两两的交集都只有零向量，但他们不满足直和定义，比如对于零向量θ，表示就不唯一。