【抽象代数】环、子环、理想、商环、环的同态
环、子环、理想、商环、环的同态的基本概念和性质
二、环
环
设R是一个非空集合，如果R中有两种代数，对于其中一种R是一个交换群（用加法表示），另一种R是半群（用乘法表示），而且满足分配律
a
(
b
+
c
)
=
a
b
+
a
c
(
a
+
b
)
c
=
a
c
+
b
c
,
∀
a
,
b
,
c
∈
R
a(b+c)=ab+ac (a+b)c = ac+bc ,\forall a,b,c \in R
a(b+c)=ab+ac(a+b)c=ac+bc,∀a,b,c∈R
则称R为环。环=阿贝尔加群+乘法半群
例：
整数的模m的剩余类 Z m Z_m Zm
- Z m Z_m Zm对于加法是交换群
- 定义 Z m Z_m Zm的乘法运算 a ‾ o b ‾ = a b ‾ , ∀ a , b ∈ Z \overline{a} \ o \ \overline{b} = \overline{ab},\forall a,b \in Z a o b=ab,∀a,b∈Z
幺环=R对于乘法 是幺半群，将此单位元记为1或e
交换环=乘法满足交换律。全体整数集合Z可以构成一个交换环。
交换幺环
除环=R中非零元的全体对于乘法构成群的环
域=R中非零元的全体对于乘法构成交换群的环
零因子
设R是一个环， a , b ∈ R a,b \in R a,b∈R且 a ≠ 0 , b ≠ 0 a \neq 0,b\neq 0 a=0,b=0，若 a b = 0 ab =0 ab=0，则称a为R的一个左零因子，b为R中的一个右零因子，都简称为零因子。
整环=无零因子的交换幺环
性质
1）一个环没有零因子 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ R满足左右消去律。
2）设 R ∗ = R − { 0 } R^* = R-\{0\} R∗=R−{0} ，且为无零因子环，则R中所有非零元对于R的加法具有相同的阶，且当这个共同的阶有限时必为素数。
环的特征
设R为无零因子环，若R中非零元的阶为无穷，则称R的特征为0，若R中所有的非零元都是有限P阶的（p为素数），则称R的特征为P。
子环与理想
子环
设R为环， R 1 R_1 R1是R的非空子集，若 R 1 R_1 R1对于R的加法和乘法构成环，则称 R 1 R_1 R1是R的子环。
子环的判定
设R为环， R 1 R_1 R1 为 R R R的非空子集，则 R 1 R_1 R1 为 R R R的子环的充分必要条件对于 ∀ a , b ∈ R 1 , a − b ∈ R , a b ∈ R 1 \forall a,b \in R_1, a-b \in R ,ab \in R_1 ∀a,b∈R1,a−b∈R,ab∈R1
理想
设R为环，I为R的子环，如果I满足条件 a ∈ I , x ∈ R ⇒ x a ∈ I a \in I , x \in R \Rightarrow xa \in I a∈I,x∈R⇒xa∈I，则称I为R的左理想。
既是左理想，又是右理想，就是双边理想。
例：
0、R是环R的理想，称为平凡理想。
在交换环上，左理想、右理想、双边理想的概念是一样的。
整数环Z的任一子环必形如mZ，mZ是Z的双边理想
理想的判定
理想的充要条件： a − b ∈ I , a x , y a ∈ I , ∀ a , b ∈ I , x , y ∈ R a - b \in I , ax,ya \in I , \forall a,b \in I ,x,y \in R a−b∈I,ax,ya∈I,∀a,b∈I,x,y∈R
R是幺环： x a , a y ∈ I ⇔ x a y ∈ I xa,ay \in I \Leftrightarrow xay \in I xa,ay∈I⇔xay∈I
R是交换环： x a , a y ∈ I ⇔ x a ∈ I xa,ay \in I \Leftrightarrow xa \in I xa,ay∈I⇔xa∈I
性质
1） { R i } i ∈ x \{R_i\}_{i\in x} {Ri}i∈x是环R的理想，则 ∩ i ∈ x R i \cap_{i \in x} R_i ∩i∈xRi是 R R R的理想。
- 设A是R的非空子集，所有R中包含A的理想的交仍然是R的理想，称为由A生成的理想，记为 < A > <A> <A>，易知 < A > <A> <A>是R中包含A的最小理想。
主理想
理想中只由一个元素a生成，记 < A > = < a > <A>=<a> <A>=<a>，称为由a生成的主理想。
若R为幺环，则
<
a
>
=
{
∑
i
=
1
m
x
i
a
y
j
∣
∀
x
i
,
y
j
∈
R
,
m
≥
1
}
<a>=\{\sum\limits^{m}\limits_{i=1}x_i ay_j | \forall x_i,y_j \in R ,m\ge 1\}
<a>={i=1∑mxiayj∣∀xi,yj∈R,m≥1}
若R为交换环，则
<
a
>
=
{
r
a
+
n
a
∣
r
∈
R
,
n
∈
Z
}
<a> = \{ra+na | r \in R,n\in Z\}
<a>={ra+na∣r∈R,n∈Z}
若R为交换幺环，则
<
a
>
=
a
R
=
R
a
=
{
r
a
∣
r
∈
R
}
<a> = aR = Ra =\{ra | r\in R\}
<a>=aR=Ra={ra∣r∈R}
一个交换幺环称为主理想环，若它的每个理想都是主理想。
商环
I
I
I是环
R
R
R的理想，定义关系
∼
\sim
∼
a
∼
b
⇔
a
−
b
∈
I
a \sim b \Leftrightarrow a-b \in I
a∼b⇔a−b∈I
则关系
∼
\sim
∼ 满足反身性、对称性、传递性，
∼
\sim
∼是等价关系。
同余关系
∼
\sim
∼对于二元运算加法和乘法，满足同余关系
a
−
b
∈
I
,
a
1
−
b
1
∈
I
加
法
：
⇒
(
a
+
a
1
)
−
(
b
+
b
1
)
=
a
−
b
+
a
1
−
b
1
∈
I
乘
法
：
⇒
a
a
1
−
b
b
1
=
a
(
a
1
−
b
1
)
+
(
a
−
b
)
b
1
∈
I
a-b \in I ,a_1 - b_1 \in I\\ 加法：\Rightarrow (a+a_1) -(b+b_1) = a-b +a_1-b_1 \in I \\ 乘法：\Rightarrow aa_1 - bb_1 = a(a_1-b_1)+(a-b)b_1 \in I
a−b∈I,a1−b1∈I加法：⇒(a+a1)−(b+b1)=a−b+a1−b1∈I乘法：⇒aa1−bb1=a(a1−b1)+(a−b)b1∈I
商环
设I是R的理想，在R中定义关系 ∼ \sim ∼, a ∼ b ⇔ a − b ∈ I a \sim b \Leftrightarrow a-b \in I a∼b⇔a−b∈I，则关系 ∼ \sim ∼ 是等价关系，且对于环的加法和乘法是同余关系，记 a ∈ R a \in R a∈R所在的等价类为 a + I a+I a+I，在R/I上定义加法、乘法： ( a + I ) + ( b + I ) = ( a + b ) + I ( a + I ) ( b + I ) = a b + I (a+I)+(b+I) = (a+b)+I \\(a+I)(b+I)=ab+I (a+I)+(b+I)=(a+b)+I(a+I)(b+I)=ab+I，则集合R/I对于上述的加法和乘法运算构成一个环，称R对于理想I的商环。
Z m = Z / m Z Z_m = Z/mZ Zm=Z/mZ是一系列商环，当m>0时，称Zm为整数环Z模m的剩余类环。
性质
1）R是交换环，则R/I也是交换环；R是幺环，则R/I是幺环，且 1 + I 1+I 1+I是单位。
环的同态
设 R 1 , R 2 R_1,R_2 R1,R2为两个环，f为R1到R2的一个映射。如果对于 ∀ a , b ∈ R 1 , f ( a + b ) = f ( a ) + f ( b ) , f ( a b ) = f ( a ) f ( b ) \forall a,b \in R_1,f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b) ∀a,b∈R1,f(a+b)=f(a)+f(b),f(ab)=f(a)f(b)，则称f为一个同态。根据f是单射、满射、双射，将f分为单同态、满同态、同构。
零同态
设 R 1 , R 2 R_1,R_2 R1,R2是两个环，定义 ϕ ( a ) = 0 , ∀ a ∈ R 1 \phi(a)=0, \forall a \in R_1 ϕ(a)=0,∀a∈R1, ϕ \phi ϕ是同态，称为零同态。
自然同态
设I是环R的理想，定义R到R/I的自然映射 π : R → R / I , π ( a ) = a + I \pi : R \rightarrow R/I , \pi(a)=a+I π:R→R/I,π(a)=a+I，为一个满同态，称为自然同态。
性质
1） f f f是环 R 1 R_1 R1到 R 2 R_2 R2的同态，则 k e r f = { a ∈ R 1 ∣ f ( a ) = 0 } kerf = \{a \in R_1 | f(a) = 0\} kerf={a∈R1∣f(a)=0}是 R 1 R_1 R1的理想。
环的同态定理
- 设 f f f是环 R 1 R_1 R1到 R 2 R_2 R2的满同态，则 R 1 / k e r f ≃ R 2 R_1/_{ker f} \simeq R_2 R1/kerf≃R2
-
f
f
f是环
R
1
R_1
R1到
R
2
R_2
R2的满同态，$k = kerf $，则有以下结论：
- f f f建立了 R 1 R_1 R1的包含k的子环与 R 2 R_2 R2的子环之间的一一对应
- 上述映射将理想映射到理想
- 设 I I I是 R 1 R_1 R1中包含k的理想，有 R 1 / I ≃ R 2 / f ( I ) R_1/_{I} \simeq R_2/_{f(I)} R1/I≃R2/f(I)
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