MultiMarginLoss

多分类合页损失函数（hinge loss），对于一个样本不是考虑样本输出与真实类别之间的误差，而是考虑对应真实类别与其他类别之间的误差

对于包含$N$个样本的batch数据 $D(x,y)$，$x$为神经网络的输出，$y$是真实的类别标签，假设类别数为$C$, $0\le y_n\le C-1$。

第$n$个样本的损失值$l_n$计算如下:

$$l_n=\frac{1}{C}\sum _{i=0\&i\ne y_n}^{C-1}\max (0,\mathrm{margin}-x_n[y_n]+x_n[i]{)}^p$$

为了处理多个类别之间的样本不平衡问题，对于每一类可传入相应的权值$w$。

$$l_n=\frac{1}{C}\sum _{i=0\&i\ne y_n}^{C-1}\max (0,w[y_n](\mathrm{margin}-x_n[y_n]+x_n[i]){)}^p$$

若$p=1$, 由以上公式可知：

(1) 当 $margin-x_n[y_n]+x_n[i]<0$时，即 $margin+x_n[i]<x_n[y_n]$, 该样本被误认为类别$i$的$loss$为0。

此时，样本预测为正确类别$y_n$的概率大于预测为$i$类别的概率，并且差值大于$margin$。 这样的样本被认为是易分类样本，直接忽略其带来的误差。

(2)当 $margin-x_n[y_n]+x_n[i]>0$时，该样本被误认为类别$i$的$loss$为$margin-x_n[y_n]+x_n[i]$, 分为两种情况：

• $margin+x_n[i]>x_n[y_n]>x_n[i]$，对应难分类样本，样本被误认为类别$i$的概率值小于正确类别$y_n$，但是两者的差值小于$margin$。

• $margin+x_n[i]>x_n[i]>x_n[y_n]$，对应非常难分类样本,容易被分为类别$i$

class MultiMarginLoss(_WeightedLoss):
    __constants__ = ['p', 'margin', 'weight', 'reduction']
    def __init__(self, p=1, margin=1., weight=None, size_average=None,
                 reduce=None, reduction='mean'):
        super(MultiMarginLoss, self).__init__(weight, size_average, reduce, reduction)
        if p != 1 and p != 2:
            raise ValueError("only p == 1 and p == 2 supported")
        assert weight is None or weight.dim() == 1
        self.p = p
        self.margin = margin
    def forward(self, input, target):
        return F.multi_margin_loss(input, target, p=self.p, margin=self.margin,
                                   weight=self.weight, reduction=self.reduction)

pytorch中通过torch.nn.MultiMarginLoss类实现，也可以直接调用F.multi_margin_loss 函数，代码中的weight即是$w$。size_average与reduce已经弃用。reduction有三种取值mean, sum, none，对应不同的返回$\ell (x,y)$. 默认为mean，对应于一般情况下整体$loss$的计算。

L = { l 1 , … , l N } L=\left\{l_{1}, \ldots, l_{N}\right\} L={l1​,…,lN​}
$$\ell (x,y)=\{\begin{array}{ll}L,& \text{ if reduction }=\text{ ’none’ }\\ \frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N{l}_n,& \text{ if reduction }=\text{ ’mean’ }\\ {\sum }_{n=1}^N{l}_n& \text{ if reduction }=\text{ ’sum’ }\end{array}$$

$p$ 值默认为1，另外可设为2，其他数值不支持。$margin$也是人为设定的值，默认为1

例子：

x = torch.FloatTensor([[0.1, 0.2, 0.4, 0.8], [0.1, 0.2, 0.4, 0.8]])
print(x.size())
y = torch.LongTensor([3, 3])
print(y.size())

loss = nn.MultiMarginLoss(reduction="none")
loss_val = loss(x, y)
print(loss_val)

loss = nn.MultiMarginLoss(reduction="sum")
loss_val = loss(x, y)
print(loss_val.item())
print(loss_val.item() / x.size(0))
#验证
print(1 / 2 * 1 / 4 * ((1 - 0.8 + 0.1) + (1 - 0.8 + 0.2) + (1 - 0.8 + 0.4) +
                       (1 - 0.8 + 0.1) + (1 - 0.8 + 0.2) + (1 - 0.8 + 0.4)))

运行结果：

torch.Size([2, 4])
torch.Size([2])
tensor([0.3250, 0.3250])
0.6499999761581421
0.32499998807907104
0.32499999999999996

MultiLabelMarginLoss

多标签合页损失（hinge loss），上述的多分类合页损失MultiMarginLoss应用于一个样本仅仅对应一个真实类别的情况。而MultiLabelMarginLoss应用于一个样本对应多个真实类别的情况，但是类别总数不超过$C$

对于包含$N$个样本的batch数据 $D(x,y)$，$x$为神经网络的输出，$y$是真实的类别。

第$n$个样本的损失值$l_n$计算如下:

$$l_n=\frac{1}{C}\sum _{j\in y_n}\sum _{i\notin y_n}\max (0,1-x_n[j]+x_n[i])$$

其中，每个样本对应的类别数量不同，只考虑$y_n$中数值$-1$之前的连续类别。 若某个样本对应的$y_n=[2,3,-1,0]$，表示总的类别有四个，而2和3类别属于该样本，0和1类别不属于该样本。$y_n=[2,3,-1,0]$ 与$y_n=[3,2,-1,0]$两种表示相同。

class MultiLabelMarginLoss(_Loss):
    __constants__ = ['reduction']
    def __init__(self, size_average=None, reduce=None, reduction='mean'):
        super(MultiLabelMarginLoss, self).__init__(size_average, reduce, reduction)
    def forward(self, input, target):
        return F.multilabel_margin_loss(input, target, reduction=self.reduction)

pytorch中通过torch.nn.MultiLabelMarginLoss类实现，也可以直接调用F.multilabel_margin_loss 函数，代码中的weight即是$w$。size_average与reduce已经弃用。reduction有三种取值mean, sum, none，对应不同的返回$\ell (x,y)$. 默认为mean，对应于一般情况下整体$loss$的计算。

L = { l 1 , … , l N } L=\left\{l_{1}, \ldots, l_{N}\right\} L={l1​,…,lN​}
$$\ell (x,y)=\{\begin{array}{ll}L,& \text{ if reduction }=\text{ ’none’ }\\ \frac{1}{N}{\sum }_{n=1}^N{l}_n,& \text{ if reduction }=\text{ ’mean’ }\\ {\sum }_{n=1}^N{l}_n& \text{ if reduction }=\text{ ’sum’ }\end{array}$$

例子：

loss = nn.MultiLabelMarginLoss()
x = torch.FloatTensor([[0.1, 0.2, 0.4, 0.8]])
y = torch.LongTensor([[3, 0, -1, 1]])
print(x.size())
print(y.size())

loss_val = loss(x, y)
print(loss_val.item())
# 验证
print(0.25 * ((1 - (0.8 - 0.2)) + (1 - (0.8 - 0.4)) + (1 - (0.1 - 0.2)) + (1 - (0.1 - 0.4))))

y = torch.LongTensor([[3, 0, 1, -1]])
loss_val = loss(x, y)
print(loss_val.item())
# 验证
print(0.25 * ((1 - (0.8 - 0.4)) + (1 - (0.1 - 0.4)) + (1 - (0.2 - 0.4))))

y = torch.LongTensor([[3, 0, 2, 1]])
loss_val = loss(x, y)
print(loss_val.item())
# 如果包含全部的类别，loss为0?

输出结果：

torch.Size([1, 4])
torch.Size([1, 4])
0.8499999642372131
0.8500000000000001
0.7749999761581421
0.7749999999999999
0.0

但是，如果样本包含全部的类别，对应的loss就为0。这样定义loss不是很奇怪嘛。