★ C++进阶篇 ★ AVL树实现
★ C++进阶篇 ★ AVL树实现
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Ciallo～(∠・ω< )⌒☆ ~ 今天，我将继续和大家一起学习C++进阶篇第五章----AVL树实现 ~
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目录
一 AVL的概念
AVL树是最先发明的自平衡⼆叉查找树，AVL是⼀颗空树，或者具备下列性质的⼆叉搜索树：它的 左右子树都是AVL树，且左右子树的⾼度差的绝对值不超过1。AVL树是⼀颗⾼度平衡搜索⼆叉树， 通过控制⾼度差去控制平衡。
平衡因子：每个结点都有⼀个平衡因⼦，任何结点的平衡因⼦等于右子树的高度减去左子树的高度，也就是说任何结点的平衡因⼦等于0/1/-1， AVL树并不是必须要平衡因子，但是有了平衡因⼦可以更方便我们去进⾏观察和控制树是否平衡， 就像⼀个⻛向标⼀样。
AVL树整体结点数量和分布和完全⼆叉树类似，⾼度可以控制在logN ，那么增删查改的效率也可 以控制在O(logN)，相⽐⼆叉搜索树有了本质的提升。
下树就不是AVL树~
二 AVL树的实现
2.1 AVL树的结构
template<class K, class V>
struct AVLTreeNode
{
// 需要parent指针，后续更新平衡因⼦可以看到
pair<K, V> _kv;
AVLTreeNode<K, V>* _left;
AVLTreeNode<K, V>* _right;
AVLTreeNode<K, V>* _parent;
int _bf; // balance factor
AVLTreeNode(const pair<K, V>& kv)
:_kv(kv)
, _left(nullptr)
, _right(nullptr)
, _parent(nullptr)
, _bf(0)
{}
};
template<class K, class V>
class AVLTree
{
typedef AVLTreeNode<K, V> Node;
public:
//...
private:
Node* _root = nullptr;
};2.2 AVL树的插入
2.2.1 AVL树插入⼀个值的大概过程
- 插入⼀个值按⼆叉搜索树规则进行插入。
- 新增结点以后，只会影响祖先结点的⾼度，也就是可能会影响部分祖先结点的平衡因⼦，所以更新从新增结点->根结点路径上的平衡因⼦，实际中最坏情况下要更新到根，有些情况更新到中间就可以停⽌了，具体情况我们下⾯再详细分析。
- 更新平衡因⼦过程中没有出现问题，则插入结束
- 更新平衡因⼦过程中出现不平衡，对不平衡⼦树旋转，旋转后本质调平衡的同时，本质降低了⼦树的⾼度，不会再影响上⼀层，所以插⼊结束。
2.2.2 平衡因子更新
更新原则：
- 平衡因子=右子树高度 - 左子树高度 。
- 只有子树高度变化才会影响当前结点平衡因子。
- 插入结点，会增加高度，所以新增结点在parent的右⼦树，parent的平衡因子++，新增结点在 parent的左子树，parent平衡因子 -- 。
- parent所在子树的高度是否变化决定了是否会继续往上更新。
更新停止条件：
- 更新后parent的平衡因子等于0，更新中parent的平衡因⼦变化为-1->0或者1->0，说明更新前 parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的结点插⼊在低的那边，插⼊后parent所在的⼦树⾼度不变，不会影响parent的父亲结点的平衡因子，更新结束。
- 更新后parent的平衡因子等于1或-1，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为0->1或者0->-1，说明更新前parent⼦树两边⼀样⾼，新增的插⼊结点后，parent所在的⼦树⼀边⾼⼀边低，parent所在的⼦树符合平衡要求，但是⾼度增加了1，会影响parent的⽗亲结点的平衡因⼦，所以要继续向上更新。
- 更新后parent的平衡因子等于2或-2，更新前更新中parent的平衡因⼦变化为1->2或者-1->-2，说明更新前parent⼦树⼀边⾼⼀边低，新增的插⼊结点在⾼的那边，parent所在的⼦树⾼的那边更⾼了，破坏了平衡，parent所在的⼦树不符合平衡要求，需要旋转处理，旋转的⽬标有两个：1、把 parent子树旋转平衡。2、降低parent⼦树的⾼度，恢复到插⼊结点以前的⾼度。所以旋转后也不需要继续往上更新，插⼊结束。
左图更新到10结点，平衡因⼦为2，10所在的子树已经不平衡，需要旋转处理。
右图是最坏情况，更新到根停止。
2.2.3 插入结点及更新平衡因子的代码实现
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
// 更新平衡因⼦
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
parent->_bf--;
else
parent->_bf++;
if (parent->_bf == 0)
break;
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// 旋转
// ...
break;
}
else
{
assert(false);
}
return true;
}2.3 旋转
2.3.1 旋转的原则
- 1. 保持搜索树的规则
- 2. 让旋转的树从不满足变平衡，其次降低旋转树的高度
旋转总共分为四种，左单旋 / 右单旋 / 左右双旋 / 右左双旋 。
2.3.2 右单旋
- 本图1展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。这⾥a/b/c是⾼度为h的⼦树，是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体图2/图3/图4/图5进⾏了详细描述。
- 在a子树中插⼊一个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从-1变成-2，10为根的树左右⾼度差超过1，违反平衡规则。10为根的树左边太⾼了，需要往右边旋转，控制两棵树的平衡。
- 旋转核⼼步骤，因为5 < b子树的值 < 10 ，将b变成10的左子树，10变成5的右子树，5变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的⾼度恢复到了插⼊之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部子，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
2.3.3 右单旋代码实现
void RotateR(Node * parent) // 右单旋
{
// 拿到parent的左结点和左结点的右结点
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
Node* pParent = parent->_parent;
// 旋转 (注意更改父亲结点)
parent->_left = subLR;
if(subLR) // subLR不为空才能访问父亲结点
{
subLR->_parent = parent;
}
subL->_right = parent;
parent->parent = subL;
if (parent == _root) // 若parent为根结点
{
_root = subL;
_root->_parent = nullptr;
}
else // 若parent不是根结点
{
if (pParent->_left == parent) // parent结点为pParent的左结点
{
pParent->_left = subL;
}
else // parent结点为pParent的右结点
{
pParent->_right = subL;
}
subL->_parent = pParent; // 更改父亲结点
}
}
2.3.4 左单旋
- 本图6展示的是10为根的树，有a/b/c抽象为三棵高度为h的子树(h>=0)，a/b/c均符合AVL树的要求。10可能是整棵树的根，也可能是⼀个整棵树中局部的子树的根。这里a/b/c是⾼度为h的子树，是⼀种概括抽象表示，他代表了所有右单旋的场景，实际右单旋形态有很多种，具体跟上面左旋类似。
- 在a⼦树中插入⼀个新结点，导致a子树的高度从h变成h+1，不断向上更新平衡因子，导致10的平衡因子从1变成2，10为根的树左右高度差超过1，违反平衡规则。10为根的树右边太高了，需要往左边旋转，控制两棵树的平衡。
- 旋转核⼼步骤，因为10 < b⼦树的值 < 15，将b变成10的右子树，10变成15的左⼦树，15变成这棵树新的根，符合搜索树的规则，控制了平衡，同时这棵的高度恢复到了插入之前的h+2，符合旋转原则。如果插⼊之前10整棵树的⼀个局部子树，旋转后不会再影响上⼀层，插⼊结束了。
2.3.5 左单旋代码实现
和右单旋差不多~
void RotateL(Node* parent) // 左单旋
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
parent->_right = subRL;
if (subRL)
subRL->_parent = parent;
Node* parentParent = parent->_parent;
subR->_left = parent;
parent->_parent = subR;
if (parentParent == nullptr)
{
_root = subR;
subR->_parent = nullptr;
}
else
{
if (parent == parentParent->_left)
{
parentParent->_left = subR;
}
else
{
parentParent->_right = subR;
}
subR->_parent = parentParent;
}
parent->_bf = subR->_bf = 0;
}2.3.6 左右双旋
通过下图可以看到，左边⾼时，如果插⼊位置不是在a⼦树，⽽是插⼊在b⼦树，b⼦树⾼度从h变 成h+1，引发旋转，右单旋⽆法解决问题，右单旋后，我们的树依旧不平衡。右单旋解决的纯粹的左边⾼，但是插⼊在b⼦树中，10为跟的⼦树不再是单纯的左边⾼，对于10是左边⾼，但是对于5是右边⾼，需要⽤两次旋转才能解决，以5为旋转点进⾏⼀个左单旋，以10为旋转点进⾏⼀个右单旋，这棵树这棵树就平衡了。
- 上图分别为左右双旋中h==0和h==1具体场景分析，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL ⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为8和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲5为旋转点进⾏左单旋，左单旋需要动b树中的左⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察8的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
- 场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1并为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为-1，旋转后8和5平衡因⼦为0，10平衡因⼦为1。
- 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新8->5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为1，旋转后8和10平衡因⼦为0，5平衡因⼦为-1。
- 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新5->10平衡因⼦，引发旋转，其中8的平衡因⼦为0，旋转后8和10和5平衡因⼦均为0。
上图就结果来看，左右双旋就是把8推为根，8的左子树和右子树分别给到5的右子树和10的左子树。注意要看8的平衡因子。
2.3.7 左右双旋代码实现
void RotateLR(Node* parent)
{
// 记录重要结点
Node* subL = parent->_left;
Node* subLR = subL->_right;
int bf = subLR->_bf;
// 左右单旋核心
RotateL(parent->_left);
RotateR(parent);
// 根据平衡因子分类讨论
if (bf == -1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 1)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = -1;
parent->_bf = 1;
}
else if (bf == 0)
{
subLR->_bf = 0;
subL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else // 意外情况
{
assert(false);
}
}2.3.8 右左双旋
- 跟左右双旋类似，下⾯我们将a/b/c⼦树抽象为⾼度h的AVL⼦树进⾏分析，另外我们需要把b⼦树的细节进⼀步展开为12和左⼦树⾼度为h-1的e和f⼦树，因为我们要对b的⽗亲15为旋转点进⾏右单旋，右单旋需要动b树中的右⼦树。b⼦树中新增结点的位置不同，平衡因⼦更新的细节也不同，通过观察12的平衡因⼦不同，这⾥我们要分三个场景讨论。
- 场景1：h>=1时，新增结点插⼊在e⼦树，e⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因 ⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为-1，旋转后10和12平衡因⼦为0，15平衡因⼦为1。
- 场景2：h>=1时，新增结点插⼊在f⼦树，f⼦树⾼度从h-1变为h并不断更新12->15->10平衡因⼦， 引发旋转，其中12的平衡因⼦为1，旋转后15和12平衡因⼦为0，10平衡因⼦为-1。
- 场景3：h==0时，a/b/c都是空树，b⾃⼰就是⼀个新增结点，不断更新15->10平衡因⼦，引发旋转，其中12的平衡因⼦为0，旋转后10和12和15平衡因⼦均为0。
2.3.9 右左双旋代码实现
void RotateRL(Node* parent)
{
Node* subR = parent->_right;
Node* subRL = subR->_left;
int bf = subRL->_bf;
RotateR(parent->_right);
RotateL(parent);
if (bf == 0)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else if (bf == 1)
{
subR->_bf = 0;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = -1;
}
else if (bf == -1)
{
subR->_bf = 1;
subRL->_bf = 0;
parent->_bf = 0;
}
else
{
assert(false);
}
}
2.4 插入最终代码
bool Insert(const pair<K, V>& kv)
{
if (_root == nullptr)
{
_root = new Node(kv);
return true;
}
Node* parent = nullptr;
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > kv.first)
{
parent = cur;
cur = cur->_left;
}
else
{
return false;
}
}
cur = new Node(kv);
if (parent->_kv.first < kv.first)
{
parent->_right = cur;
}
else
{
parent->_left = cur;
}
cur->_parent = parent;
// 更新平衡因⼦
while (parent)
{
if (cur == parent->_left)
parent->_bf--;
else
parent->_bf++;
if (parent->_bf == 0)
break;
else if (parent->_bf == 1 || parent->_bf == -1)
{
cur = parent;
parent = parent->_parent;
}
else if (parent->_bf == 2 || parent->_bf == -2)
{
// 旋转
if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == -1)
{
RotateR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == 1)
{
RotateL(parent);
}
else if (parent->_bf == -2 && cur->_bf == 1)
{
RotateLR(parent);
}
else if (parent->_bf == 2 && cur->_bf == -1)
{
RotateRL(parent);
}
else
{
assert(false);
}
break;
}
else
{
assert(false);
}
}
return true;
}2.4 AVL树的查找
时间复杂度O(LogN)~
Node* Find(const K& key)
{
Node* cur = _root;
while (cur)
{
if (cur->_kv.first < key)
{
cur = cur->_right;
}
else if (cur->_kv.first > key)
{
cur = cur->_left;
}
else
{
return cur;
}
}
return nullptr;
}2.6 AVL树平衡检测
我们实现的AVL树是否合格，我们通过检查左右⼦树⾼度差的的程序进⾏反向验证，同时检查⼀下结点的平衡因⼦更新是否出现了问题。
int _Height(Node* root)
{
if (root == nullptr)
return 0;
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
return leftHeight > rightHeight ? leftHeight + 1 : rightHeight + 1;
}
bool _IsBalanceTree(Node* root)
{
// 空树也是AVL树
if (nullptr == root)
return true;
// 计算pRoot结点的平衡因⼦：即pRoot左右⼦树的⾼度差
int leftHeight = _Height(root->_left);
int rightHeight = _Height(root->_right);
int diff = rightHeight - leftHeight;
// 如果计算出的平衡因⼦与pRoot的平衡因⼦不相等，或者
// pRoot平衡因⼦的绝对值超过1，则⼀定不是AVL树
if (abs(diff) >= 2)
{
cout << root->_kv.first << "⾼度差异常" << endl;
return false;
}
if (root->_bf != diff)
{
cout << root->_kv.first << "平衡因⼦异常" << endl;
return false;
}
// pRoot的左和右如果都是AVL树，则该树⼀定是AVL树
return _IsBalanceTree(root->_left) && _IsBalanceTree(root->_right);
}~ 完 ~
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