映射的连续性是刻画拓扑变换的关键概念，因此我们首先认识连续性和连续映射。

1.拓扑空间的连续性

和分析学一样，连续性是一种局部性概念。

1.1 连续的开集刻画

设$f:E^1\to E^1$是一个函数，$x_0\in E^1$。$f$在$x_0$处连续用开集刻画：
若V是包含$f(x_0)$的开集，则存在包含$x_0$的开集$U$，使得$f(U)\subset V$

🔺1.2 定义

设$X$和$Y$都是拓扑空间，$f:X\to Y$是一个映射，$x\in X$。如果对于$Y$中$f(x)$的任一（开）邻域$V$，$f^{-1}(V)$总是$x$的（开）邻域，则说$f$在$x$处连续。

1.3 局部性质

设：$f:X\to Y$是一个映射，$A$是$X$的子集，$x\in A$，记$f_A=f|A:A\to Y$是$f$在A上的限制，则
(1) 如果$f$在$x$处连续，则$f_A$在$x$处也连续。
(2) 若$A$是$x$的邻域，则当$f_A$在$x$处连续时，$f$在$x$也连续。
命题（2）说明了$f$在某点$x$处的连续性只与$f$在$x$附件的情形有关。

2.拓扑空间的连续映射

2.1 定义

设$X$和$Y$都是拓扑空间，如果$f:X\to Y$在任一点$x\in X$处都连续，则说$f$是连续映射。

2.2 判定条件

设$f:X\to Y$是映射，下列各条件相互等价

1. $f$是连续映射；
2. Y的任一开集在$f$下的原像是X的开集；
3. Y的任一闭集在$f$下的原像是X的闭集。

2.3连续映射的性质

（1）性质1 ：复合映射连续

设$X,Y,Z$都是拓扑空间，映射$f:X\to Y$在$x$处连续，$g:Y\to Z$在$f(x)$处连续，则复合映射$g\circ f:X\to Z$在$x$处连续。

（2）覆盖

设$\Lambda \subset 2^X$是拓扑空间$X$的子集族，称$\Lambda$是$X$的一个覆盖，如果${\bigcup }_{C\in \Lambda }C=X$(即$\forall x\in X$至少包含在$\Lambda$的一个成员中）。如果覆盖$\Lambda$中的每个成员都是开（闭）集，则称$\Lambda$为开（闭）覆盖；覆盖$\Lambda$只包含有限个成员时，称$\Lambda$是有限覆盖。

（3）🔺粘接引理

设{$A_1,A_2,...,A_n$}是$X$的一个有限闭覆盖。如果映射$f:X\to Y$在每个$A_i$在每个$A_i$的限制都是连续的，则$f$是连续映射。

粘接引理是判断映射连续性的一种方法，同时也是分片构造连续映射的依据。

3.🔺同胚映射

3.1同胚映射的定义：

如果$f:X\to Y$是一一对应（双射），并且$f$和$f^{-1}$都是连续的，则称$f$是一个同胚映射，或称拓扑变换，简称同胚。当存在$X$到$Y$的同胚映射时，就称$X$和$Y$同胚，记做$X\cong Y$
eg1: 开区间(作为$E^1$的子空间)同胚于$E^1$
如$(-\pi /2,\pi /2)$到$E^1$的同胚映射$f$可规定为：
$f(x)=tanx,\forall x\in (-\pi /2,\pi /2)$

3.2 拓扑概念/性质

拓扑空间在同胚映射下保持不变的概念称为拓扑概念，在同胚映射下保持不变的性质叫做拓扑性质。

比如开集，就是拓扑概念。当$f:X\to Y$是同胚映射时，X的每个开集U的像$f(U)$是Y的开集；而Y的开集V在$f$下的原像是X的开集。因此开集概念在同胚映射下是保持不变的。进而由它规定的闭集、闭包、邻域、内点等概念也都是拓扑概念。而由开集或其他派生的拓扑概念来刻画的性质都是拓扑性质，如可分性，进而可以知道余有限$(R,t_f)$和余可数$(R,t_c)$是不同胚的（前一个可分，后一个不可分）。

3.3几种特殊的映射😕

（1）恒同映射$id:X\to X$(即$id(x)=x,\forall x\in X)$，是连续映射，且是一一映射。
（2）包含映射：设$A$是X的子空间，记$i:A\to X(i(x)=x,\forall x\in A)$是包含映射，则$i$是连续映射，因$U$是X的开集时，$i^{-1}(U)=A\bigcap U$时A的开集；当然$i$不是一一映射。
（3）嵌入映射: 如果$f:X\to Y$是单的连续映射，并且$f:X\to f(X)$是同胚映射，就称$f:X\to Y$是嵌入映射。比如，包含映射。