一.什么是FMCW雷达

首先什么是FMCW雷达呢，调频连续波雷达，顾名思义，就是可以发射周期性宽带FM脉冲，频率在脉冲期间线性增加，单个FMCW脉冲可以写成

注意，这是一幅时频图像，而不是常见的时域图或频谱图

至于为什么要用拍频，主要是因为我们还要测速度，就是测出多普勒频率，用拍频的话会更简便，后面会讲

注：Chrip可以翻译为脉冲或啁啾，意思就是一个周期的脉冲

二.FMCW雷达怎么测距离速度和角度

2.1 发射信号与接收信号模型

接下来，FMCW是怎么探测物体的距离、速度和角度的呢？其实我们接收到回波后不会直接对回波做处理，而是会把回波和发射信号做共轭混合（conjugately mix），其实就是类似于混频，理论上，两个信号在时频图像上只有相位不一样（就像上图所示），但实际上会有衰减、噪声干扰，接收到的信号可以模型化表示为

其中α是一个复标量，其幅度表示由于天线增益、路径损耗和目标的RCS引起的衰减，可以理解为衰减系数

𝜏是延时，这个不必多说

ω(t)是具有零均值和方差的加性高斯白噪声，实际噪声可能更复杂，但是我们先理想化

2.2 雷达接收机的共轭混合(混频)处理

我们的共轭混合处理之前肯定有去噪、滤波、放大等处理，中间常用匹配滤波等过程，我们只关心共轭混合的结果

其实共轭混合的过程就是把混频，然后滤除高频分量，得到低频拍频信号

我们假设经过处理，接收到的信号是s(t−τ)而发射信号是s(t)

然后把它们做混频

混频方式很多，可以先让它们相乘，然后可以做一个类似于积化和差的运算，使得表达式里有一个低频量以及一个高频量，低频量只和τ有关（积化和差的差），就是因为τ才出现的。也可以先相加再平方，然后滤波，也可以做到混频的结果。

2.3 雷达接收机输出数据表达式

做完这整个处理，再采样，我们就可以得到最关键的表达式，也就是FMCW雷达接收机输出的表达式

其中自变量有两个，n和p，但是正常情况下只有一个就是时间t，或者离散的采样点n

这里就是FMCW雷达在处理数据的时候，分出了一个快时间n，和慢时间p（事实上，很多雷达都有这样的规定）

2.3.1 快时间和慢时间理解

快时间：因为FMCW雷达在发射信号的时候发射的是一个个的脉冲，就是发射一段脉冲，然后休息，等待回波接收，然后再发射下一个脉冲，重复这样的过程，由于脉冲本质上是电磁波，以光速传播，非常快，相比于发射脉冲的周期和间隔，来回的时间很短很短（回波间隔比发射间隔小了好几个数量级），所以我们把一个脉冲内的n个采样称为快时间（时间过得很快，就是时间很短很短），在快时间内，移动的物体也可以看作静止，所以快时间用来测量物体的距离。

慢时间：假设一共发射了p个脉冲，每个脉冲的间隔就是周期，前面说过，这个时间相比于电磁波来回的时间太长了，所以我们把每个脉冲作为慢时间维度（时间过得很慢，也就是相比于快时间很长），慢时间主要用来和快时间一起测量物体的速度。

那么假设我们有组雷达信号，读取的时候就是这样的：读到第p个脉冲（慢时间），在第p个脉冲内的第n个采样点值是多少（快时间），我们可以把雷达接收机处理后的数据看作一个矩阵，横坐标是快时间，纵坐标是慢时间，如下图所示

2.3.2 数据输出表达式整体理解

回到FMCW雷达接收机处理后的数据输出表达式

那么我们为了便于理解，把上式做一个整理

对比一下

2.4 从数据中如何提取距离和速度量----傅里叶变换

我们现在有了这样的数据矩阵d(n, p)

做完第一次一维傅里叶变换后，对n和p做一次二维傅里叶变换就可以得到速度和距离的对应矩阵，如下图

左图就是做完两次傅里叶变换的最终的结果，亮点就是信息点，横坐标代表位置，纵坐标代表对应的速度，中间图代表傅里叶处理前的信号，右图代表雷达数据立方体的两个维度：距离和速度

小总结一下，在快时间维度，即使一个移动的物体，我们也可以看作不动，那么对于快时间维度进行FFT就可以得到距离，而在这个基础上，我们在慢时间进行FFT的时候，物体可以看作移动了，这时我们提取2维fft中携带的相位（多普勒）信息就可以获得物体的速度了。

三.雷达数据立方体

3.1 通过雷达阵列的相互延时测量角度

至此，我们已经讲完了FMCW雷达数据立方体的两个维度，第三个维度就是角度，它一般无法由一个FMCW得到，主要是从雷达阵列得到的，如下图

对于第q个目标，位于原点的发射器和位于坐标l的接收器之间的往返时间延迟由下式给出

将该式和d(n, p)的表达式结合起来，就可以得到最终的信号表达式

3.2 最终的雷达数据立方体结构

对该式做三维FFT就可以得到目标的二维位置（距离和角度）和速度估计信息（也可以理解为在前面两次FFT的基础上再做一次三维FFT）

如下图所示

这就是为什么，雷达的数据处理一般是一个立方体数据，三个维度：距离、速度、角度