主要内容

  • 行列式的性质
  • 行列式的求解公式
  • 代数余子式
  • 逆矩阵公式
  • 克拉默法则
  • 体积

正文

行列式是线性代数中非常重要的一部分,如果我们企图使用一个数字来描述矩阵的所有信息,那这个数字就是行列式,此外行列式跟特征值的关系非常密切。因此行列式与特征值是线性代数的另一大重点。

行列式的性质

对于矩阵 A A A,我们将它的行列式表示为 d e t ( A ) = ∣ A ∣ det(A)=|A| det(A)=A
性质一: d e t ( I ) = 1 det(I)=1 det(I)=1
性质二: 交换矩阵的行,行列式的符号发生变化。由此我们得出的结论是: d e t ( P ) = 1   o r   − 1 det(P)=1\ or\ -1 det(P)=1 or 1 性质三: 称为单行的线性性。仅当作用于单行时,才会成立,作用于多行时不成立。 ∣ t a t b c d ∣ = t ∣ a b c d ∣ \begin{vmatrix}ta&tb\\c&d\end{vmatrix}=t\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix} tactbd=tacbd ∣ a + a 1 b + b 1 c d ∣ = ∣ a b c d ∣ + ∣ a 1 b 1 c d ∣ \begin{vmatrix}a+a_1&b+b_1\\c&d\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}+\begin{vmatrix}a_1&b_1\\c&d\end{vmatrix} a+a1cb+b1d=acbd+a1cb1d 性质四: 行列式中有两行相等时,行列式为零,非常简单,这里不做证明了。
性质五: 行列式的第 k k k行减去 l l l倍的第 i i i行,行列式保持不变。看下面的这个例子: ∣ a b c − l a d − l a ∣ = ∣ a b c d ∣ − l ∣ a b a b ∣ \begin{vmatrix}a&b\\c-la&d-la\end{vmatrix}=\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}-l\begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix} aclabdla=acbdlaabb 显然后面的 ∣ a b a b ∣ \begin{vmatrix}a&b\\a&b\end{vmatrix} aabb为零,所以行列式保持不变。
性质六: 如果行列式存在一行全为零,行列式为零。这里不做证明。
性质七: 上三角矩阵的行列式等于对角线的乘积。例如: d e t ( U ) = ∣ d 1 ∗ ∗ ∗ . . . . d 2 ∗ ∗ . . . . : : . . . . d n ∣ det(U)=\begin{vmatrix}d_1&*&*&*....\\&d_2&*&*....\\&&:&:....\\&&&d_n\end{vmatrix} det(U)=d1d2:........:....dn我们可以通过性质五,依次消元得到 d e t ( U ) = ∣ d 1 d 2 : d n ∣ det(U)=\begin{vmatrix}d_1&&&\\&d_2&&\\&&:&\\&&&d_n\end{vmatrix} det(U)=d1d2:dn通过性质三提取每行的公因式,就可以得到 d e t ( U ) = d 1 d 2 . . . d n ∣ 1 1 : 1 ∣ = d 1 d 2 . . . d n det(U)=d_1d_2...d_n\begin{vmatrix}1&&&\\&1&&\\&&:&\\&&&1\end{vmatrix}=d_1d_2...d_n det(U)=d1d2...dn11:1=d1d2...dn 性质八: 矩阵的行列式为 0 0 0,矩阵是奇异矩阵,并且不可逆。该性质提供了矩阵可逆的行列式判断方法。
性质九: d e t ( A B ) = d e t ( A ) d e t ( B ) det(AB)=det(A)det(B) det(AB)=det(A)det(B)。由此我们可以得出几个特殊的结论,比如: d e t ( A − 1 A ) = d e t ( A − 1 ) d e t ( A ) = d e t ( I ) = 1 = > d e t ( A − 1 ) = 1 d e t ( A ) det(A^{-1}A)=det(A^{-1})det(A)=det(I)=1\qquad=>\qquad det(A^{-1})=\frac{1}{det(A)} det(A1A)=det(A1)det(A)=det(I)=1=>det(A1)=det(A)1 d e t ( A 2 ) = d e t ( A ) 2 det(A^2)=det(A)^2 det(A2)=det(A)2 d e t ( 2 A ) = 2 n d e t ( A ) det(2A)=2^ndet(A) det(2A)=2ndet(A) 最后一个式子比较难理解,我们可以说明一下。 2 A 2A 2A表示 A A A中的每一行都乘了 2 2 2,然而在行列式中,提取的时候只能单行提取。因为 A A A是一个 n × n n\times n n×n的矩阵,所以需要提取 n n n 2 2 2,最后得到 2 n 2^n 2n
性质十: d e t ( A T ) = d e t ( A ) det(A^T)=det(A) det(AT)=det(A)

实际上,行列式的基本性质有三个,就是前三个,后面的这些性质都是根据经验,使用前三个性质推导出来的。

行列式的求解公式

这个求解公式是根据定义来的,是一个非常复杂的公式,它非常大,因而又被称为大公式,实用性很差,但是它揭示了本质,我们仍然要了解它,但不必费太多的精力。对于矩阵 A A A d e t ( A ) = ∑ n ! + / − a 1 α a 2 β a 3 γ . . . a n ω , ( α , β , γ , . . . . . ω ) = a l l   o r d e r   o f ( 1   n ) det(A)=\sum_{n!}+/-a_{1\alpha}a_{2\beta}a_{3\gamma}...a_{n\omega},(\alpha,\beta,\gamma,.....\omega)=all\ order\ of(1~n) det(A)=n!+/a1αa2βa3γ...anω(α,β,γ,.....ω)=all order of(1 n) 前面的正负号表示符号是待定的。关于这个公式的更多介绍可以查阅别的资料,根据它的实际效用,这里不做过多的介绍。

代数余子式

对于 A n × n A_{n\times n} An×n的行列式,当我们选定一行的元素时,剩余的元素只能在剩余的 n − 1 n-1 n1行、 n − 1 n-1 n1列中取,这些剩余的元素组成的公式就称为已选定元素的代数余子式。比如 A 3 × 3 A_{3\times 3} A3×3 A = ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ A=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{vmatrix} A=a11a21a31a12a22a32a13a23a33 d e t ( A ) = a 11 ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) + a 12 ( − a 21 a 33 + a 23 a 31 ) + a 13 ( a 21 a 32 − a 22 a 31 ) det(A)=a_{11}(a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32})+a_{12}(-a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})+a_{13}(a_{21}a_{32}-a_{22}a_{31}) det(A)=a11(a22a33a23a32)+a12(a21a33+a23a31)+a13(a21a32a22a31)在这个式子中, ( a 22 a 33 − a 23 a 32 ) (a_{22}a_{33}-a_{23}a_{32}) (a22a33a23a32)就是 a 11 a_{11} a11的代数余子式。

一般地, a i j a_{ij} aij的代数余子式可以表示为: c o f a c t o r ( a i j ) = C i j = ( − 1 ) i + j d e t ( m a t r i x ( n − 1 )   w i t h o u t   r o w i   a n d   c o l j ) cofactor(a_{ij})=C_{ij}=(-1)^{i+j}det(matrix(n-1)\ without\ rowi\ and\ colj) cofactor(aij)=Cij=(1)i+jdet(matrix(n1) without rowi and colj)我们已经注意到,上面例子中 a 12 a_{12} a12的代数余子式与其他的不同,这就是代数余子式的符号问题,它是有下标之和决定的。当我们不考虑符号的时候,也就是 A i j = d e t ( m a t r i x ( n − 1 )   w i t h o u t   r o w i   a n d   c o l j ) A_{ij}=det(matrix(n-1)\ without\ rowi\ and\ colj) Aij=det(matrix(n1) without rowi and colj)这个不包括符号的式子称为余子式。

使用代数余子式求解行列式: 这里先列出公式,然后再分析。 d e t ( A ) = a i 1 C i 1 + a i 2 C i 2 + . . . + a i n C i n det(A)=a_{i1}C_{i1}+a_{i2}C_{i2}+...+a_{in}C_{in} det(A)=ai1Ci1+ai2Ci2+...+ainCin这个公式表示行列式按第 i i i行展开的代数余子式表示。代数余子式的基本思想就是:将 n n n阶行列式按某行展开,然后再将 n − 1 n-1 n1阶行列式按某行展开,依次展开下去,直到 1 1 1阶,也就是一个数。实际上,展开的过程并不一定是每行的所有元素都得计算,我们一般找含有零最多的行展开,这样展开得到的项会最少。有的时候,我们可以通过变换操作得到含有零比较多的行,然后,按此行展开。

一个特殊的例子: A 4 = ∣ 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 1 0 0 1 1 ∣ A_4=\begin{vmatrix}1&1&0&0\\1&1&1&0\\0&1&1&1\\0&0&1&1\end{vmatrix} A4=1100111001110011可以将这个矩阵称为 3 3 3对角线矩阵。从左上角依次往下数,我们可以得到 ∣ A 1 ∣ = 1 , ∣ A 2 ∣ = 0 , ∣ A 3 ∣ = − 1 , ∣ A 4 ∣ = − 1 |A_1|=1,|A_2|=0,|A_3|=-1,|A_4|=-1 A1=1A2=0A3=1A4=1,在求 ∣ A 4 ∣ |A_4| A4的时候可以将它按第一行展开,如下前两个行列式,然后再将 3 3 3维行列式按第一行展开,如下后两个行列式。 ∣ 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 ∣ ∣ 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 ∣ ∣ 1 1 1 1 1 ∣ ∣ 1 0 1 0 1 ∣ \begin{vmatrix}1& & & \\ &1&1&0\\ &1&1&1\\ &0&1&1\end{vmatrix}\qquad\qquad \begin{vmatrix} &1& & \\1& &1&0\\0& &1&1\\0& &1&1\end{vmatrix}\qquad\qquad \begin{vmatrix}1& & \\ &1&1\\ &1&1\end{vmatrix}\qquad\qquad \begin{vmatrix} &1& \\0& &1\\0& &1\end{vmatrix} 111011101110011110111111100111得到 ∣ A 4 = 1 ∣ A 3 ∣ − 1 ∣ A 2 ∣ − 1 × 0 = 1 ∣ A 3 ∣ − 1 ∣ A 2 ∣ |A_4=1|A_3|-1|A_2|-1\times 0=1|A_3|-1|A_2| A4=1A31A21×0=1A31A2。实际上对于这种三对对角线矩阵,我们有这样的结论: ∣ A n ∣ = ∣ A n − 1 ∣ − ∣ A n − 2 ∣ |A_n|=|A_{n-1}|-|A_{n-2}| An=An1An2这个结论是对于所有的n都成立的。

关于行列式的计算方法是非常灵活的,消元和代数余子式共同使用,效率会更高。

逆矩阵公式

行列式也提供了计算逆矩阵的方法,但是实用性远不及高斯若尔当方法。所以这里只是简单的介绍一下,证明细节参考其他资料。 2 × 2 2\times 2 2×2的例子: [ a b c d ] − 1 = 1 a d − b c [ d − c − b a ] \begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix}d&-c\\-b&a\end{bmatrix} [acbd]1=adbc1[dbca]从这个例子中,我们得到了一些启示, a d − b c = d e t ( A ) ad-bc=det(A) adbc=det(A),后面的矩阵是 A A A的伴随矩阵的转置,表示每个位置上的数是 A A A中相应位置上的代数余子式。所以,我们可以得到这样的公式: A − 1 = 1 d e t ( A ) C T A^{-1}=\frac{1}{det(A)}C^T A1=det(A)1CT这个公式是正确的,经过严格证明的,这里就不给出证明了。

克拉默法则

对于线性方程组 A x = b Ax=b Ax=b x = A − 1 b x=A^{-1}b x=A1b,带入上面的逆矩阵公式,得到解的形式: x = C T b d e t ( A ) x=\frac{C^Tb}{det(A)} x=det(A)CTb分母的意义是很明显的,但是分子的意义是比较模糊的。我们这里重点分析一点分子的意义: C T = [ c 11 c 21 c 31 . . . . c n 1 c 12 c 22 c 32 . . . . c n 2 : : : . . . . : c 1 n c 2 n c 3 n . . . . c 4 n ] [ b 1 b 2 b 3 : b n ] = [ d 1 d 2 d 3 : d n ] C^T=\begin{bmatrix}c_{11}&c_{21}&c_{31}....c_{n1}\\c_{12}&c_{22}&c_{32}....c_{n2}\\:&:&:....:\\c_{1n}&c_{2n}&c_{3n}....c_{4n}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}b_1\\b_2\\b_3\\:\\b_n\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}d_1\\d_2\\d_3\\:\\d_n\end{bmatrix} CT=c11c12:c1nc21c22:c2nc31....cn1c32....cn2:....:c3n....c4nb1b2b3:bn=d1d2d3:dn所以分量 x i = d i d e t ( A ) x_i=\frac{d_i}{det(A)} xi=det(A)di,那么再分析, d i d_i di是什么呢: d i = c 1 i b 1 + c 2 i b 2 + c 3 i b 3 + . . . + c n i b n d_i=c_{1i}b_1+c_{2i}b_2+c_{3i}b_3+...+c_{ni}b_n di=c1ib1+c2ib2+c3ib3+...+cnibn这个公式是比较显然的,因为 c i j c_{ij} cij都是伴随矩阵,这表示行列式按第 i i i列展开的代数余子式形式。这里的第 i i i列稍微有些不同,这里的第 i i i列是 b b b,而不是原矩阵中的那一列,所以我们可以将这个新的矩阵记为 B B B B i = [ a 1 a 2 . . . b i . . . a n ] , i = 1 , 2 , 3... n B_i=\begin{bmatrix}a_1&a_2&...&b_i&...&a_n\end{bmatrix},i=1,2,3...n Bi=[a1a2...bi...an]i=1,2,3...n矩阵 B B B,就是将原矩阵中的第 i i i列使用 b i b_i bi代替后得到的新矩阵,使用下标 i i i来区分替代的不同的列。于是 d i = d e t ( B i ) d_i=det(B_i) di=det(Bi),进而我们得到下面的公式: x i = d e t ( B i ) d e t ( A ) x_i=\frac{det(B_i) }{det(A)} xi=det(A)det(Bi) 这就是克拉默法则,这个法则的作用不在于计算,而在于它给出的启示,直观地,它给出了求解方程组的代数表达式,而不是矩阵的形式,但实际上,它在计算上的效率是非常低的。

体积

行列式的一个应用就是计算体积。让我们先从简单的例子看起: A = [ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ] A=\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix} A=100010001这三个列向量表示三维空间中的三个标准正交基,几乎是最标准的了,没有经过旋转,并且它们的长度都为 1 1 1,根据体积公式可以得到体积为 1 1 1 d e t ( A ) = 1 det(A)=1 det(A)=1。行列式等于体积。

再看比较复杂的情况,不过这仍然是一个标准的立方体。我们看正交矩阵 Q Q Q。正交矩阵 Q Q Q中的列向量也都是标准正交基,它们相互垂直,并且长度为 1 1 1,所以可以表示边长为 1 1 1的立方体,不过,这些标准正交基不在空间的坐标轴上,而是在坐标轴上有分量。可以理解为上一种情况经过旋转得到的。正交矩阵具有特殊的性质: Q T Q = I Q^TQ=I QTQ=I 利用这个性质以及行列式的性质可以得: d e t ( Q T Q ) = d e t ( Q ) d e t ( Q ) = d e t ( I ) = 1 det(Q^TQ)=det(Q)det(Q)=det(I)=1 det(QTQ)=det(Q)det(Q)=det(I)=1,所以 d e t ( Q ) = 1   o r   − 1 det(Q)=1\ or\ -1 det(Q)=1 or 1。这的符号表示几何图形是在左手系还是在右手系。

对于长方体的情况也是适用的。这个扩展是比较简单的,仅仅是向量的发生了倍数的变化,比较困难的是我们要拜托角度的限制,允许各边成任意角度

实际上,上面的第一种情况就是行列式的性质一,第二种情况是性质二,第三种情况(长方体)是性质三第一条,而扩展到一般情况就要使用到性质三的第二条。

参考课本资料,未完待续
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