[CSP-J 2024] 小木棍（民间数据）

题目描述

小 S 喜欢收集小木棍。在收集了 $n$ 根长度相等的小木棍之后，他闲来无事，便用它们拼起了数字。用小木棍拼每种数字的方法如下图所示。

现在小 S 希望拼出一个正整数，满足如下条件：

• 拼出这个数恰好使用 $n$ 根小木棍；
• 拼出的数没有前导 $0$；
• 在满足以上两个条件的前提下，这个数尽可能小。

小 S 想知道这个数是多少，可 $n$ 很大，把木棍整理清楚就把小 S 折腾坏了，所以你需要帮他解决这个问题。如果不存在正整数满足以上条件，你需要输出 $-1$ 进行报告。

输入格式

本题有多组测试数据。

输入的第一行包含一个正整数 $T$，表示数据组数。

接下来包含 $T$ 组数据，每组数据的格式如下：

一行包含一个整数 $n$，表示木棍数。

输出格式

对于每组数据：输出一行，如果存在满足题意的正整数，输出这个数；否则输出 $-1$。

样例 #1

样例输入 #1

5
1
2
3
6
18

样例输出 #1

-1
1
7
6
208

提示

【样例 1 解释】

• 对于第一组测试数据，不存在任何一个正整数可以使用恰好一根小木棍摆出，故输出 $-1$。
• 对于第四组测试数据，注意 $0$ 并不是一个满足要求的方案。摆出 $9$、$41$ 以及 $111$ 都恰好需要 $6$ 根小木棍，但它们不是摆出的数最小的方案。
• 对于第五组测试数据，摆出 $208$ 需要 $5+6+7=18$ 根小木棍。可以证明摆出任何一个小于 $208$ 的正整数需要的小木棍数都不是 $18$。注意尽管拼出 $006$ 也需要 $18$ 根小木棍，但因为这个数有前导零，因此并不是一个满足要求的方案。

【数据范围】

对于所有测试数据，保证：$1\le T\le 50$，$1\le n\le 10^5$。

测试点编号	$n\le$	特殊性质
$1$	$20$	无
$2$	$50$	无
$3$	$10^3$	A
$4,5$	$10^5$	A
$6$	$10^3$	B
$7,8$	$10^5$	B
$9$	$10^3$	无
$10$	$10^5$	无

特殊性质 A：保证 $n$ 是 $7$ 的倍数且 $n\ge 100$。

特殊性质 B：保证存在整数 $k$ 使得 $n=7k+1$，且 $n\ge 100$。

【解析】

先说暴力解，这道题乍一看没什么思路，在考试中遇到这样的情况可以先写个暴力解，这道题有两种暴力解的思路：
【思路一，枚举】可以枚举每个数，看它由几根小木棍组成，最先出现的木棍个数即为答案，详见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t, n;
int a[10] = {6, 2, 5, 5, 4, 5, 6, 3, 7, 6}; //a[i]表示数字i由几根小木棍构成
int ans[10000005];
int main() {
    for(int i = 1; i <= 1e7; i++) { //枚举每个数字
        int sum = 0; //小木棍个数
        int t = i;
        while(t > 0) { //循环计算每一位的小木棍个数
            sum += a[t % 10]; //求和
            t /= 10;
        }
        if (ans[sum] == 0) { //如果是第一次出现
            ans[sum] = i; //即为答案
        }
    }
    cin >> t;
    while(t--) {
        cin >> n;
        if (ans[n] == 0) ans[n] = -1; //没有答案，变成-1
        cout << ans[n] << "\n";
    }
    return 0;
}

【思路二，搜索】代码略：

第二步可以分析特殊性质：
【特殊性质A】n是7的倍数且n>=100,
由于单个数字最多由7根小木棍组成数字8，而位数越少，数越小，所以n为7的倍数且大于等于100，由n/7个8组成的数字最小。
【特殊性质B】n是7的倍数多1，且n>=100，则可以确定是有10开头，后边（n-1-7）/7个8。
特殊性质AB可以解决3,4，5,6，7,8这6个测试点，详见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t, n;
int main() {
    cin >> t;
    while(t--) {
        cin >> n;
        if (n % 7 == 0) {
            for(int i = 1; i <= n / 7; i++) {
                cout << 8;
            }
            cout << "\n";
        } else if (n % 7 == 1) {
            cout << 10;
            for(int i = 1; i <= (n - 8) / 7; i++) {
                cout << 8;
            }
            cout << "\n";
        }
    }
    return 0;
}

这样结合打表道姓前50，可以解决8个测试点了。
【正解】
结合前50的打表答案，可以分析出答案是有规律的，而且根据n%7的余数相关，详见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int t, n;
int ans[22] = { 0, -1, 1, 7, 4, 2, 6, 8, 10, 18, 22, 20, 28, 68, 88, 108, 188, 200, 208, 288, 688, 888};
int main() {
    cin >> t;
    while(t--) {
        cin >> n;
        if (n <= 21) {
            cout << ans[n] << "\n";
        } else {
            int cnt;
            if (n % 7 == 0) {
                cnt = n / 7;
            } else if (n % 7 == 1) {
                cout << 10;
                cnt = (n - 8) / 7;
            } else if (n % 7 == 2) {
                cout << 1;
                cnt = (n - 2) / 7;
            } else if (n % 7 == 3) {
                cout << 200;
                cnt = (n - 17) / 7;
            } else if (n % 7 == 4) {
                cout << 20;
                cnt = (n - 11) / 7;
            } else if (n % 7 == 5) {
                cout << 2;
                cnt = (n - 5) / 7;
            } else if (n % 7 == 6) {
                cout << 6;
                cnt = (n - 6) / 7;
            }
            for(int i=1;i<=cnt;i++){
                cout<<8;
            }
            cout<<"\n";
        }
    }
    return 0;
}