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1. 概率中的伯特兰悖论

伯特兰悖论（Bertrand paradox）是概率论经典解释中的一个问题。Joseph Bertrand 在他的著作 “Calcul des probabilités, 1889” 中引入了它，作为一个例子来表明，如果在可能性的范围是无限的情况下不加批判地应用无差别原理（principle of indifference），它可能不会产生明确的、明确定义的概率结果。

1.1 Bertrand 对问题的表述

伯特兰悖论一般表述如下：考虑一个内切于圆的等边三角形。假设随机选择圆的弦。弦长于三角形一条边的概率是多少？

伯特兰给出了三个论点（每个论点都使用无差别原则），所有论点显然都是有效的，但产生了不同的结果：

图 随机和弦，选择方法1； 红色=比三角形边长，蓝色=比三角形边短。

1. “随机端点”方法：在圆的圆周上随机选择两个点并绘制连接它们的弦。为了计算所讨论的概率，想象一下三角形旋转，使其顶点与弦端点之一重合。观察到，如果另一个弦端点位于与第一个点相对的三角形边的端点之间的圆弧上，则该弦比三角形的一条边长。弧长是圆周长的三分之一，因此随机弦长于内切三角形边长的概率为 1/3。

图 随机和弦，选择方法 2。

2. “随机径向点”方法：选择圆的半径，在半径上选择一点并通过该点构造垂直于半径的弦。为了计算所讨论的概率，想象一下三角形旋转，使得一条边垂直于半径。如果所选点比三角形边与半径相交的点更靠近圆心，则弦长于三角形边。三角形的边平分半径，因此随机弦比内接三角形的边长的概率为 1/2。

图 随机和弦，选择方法 3。

3. “随机中点”法：在圆内任意选择一点，以该点为中点构造弦。如果选定的点落在半径为大圆半径 1/2 的同心圆内，则弦比内切三角形的边长。小圆的面积是大圆面积的四分之一，因此随机弦比内切三角形的边长的概率是 1/4。

这三种选择方法的不同之处在于它们赋予弦（即直径）的权重。通过“正则化（regularizing）”问题以排除直径，而不影响结果概率，可以避免此问题。但如上所述，在方法 1 中，每个弦都可以以一种方式选择，无论它是否是直径；方法 2 中，每个直径可以有两种选择，而每个弦只能有一种选择；在方法 3 中，每个中点的选择都对应于一个弦，但圆心除外，圆心是所有直径的中点。

显示模拟伯特兰分布的散点图，使用上述方法随机选择中点/和弦。

图 使用方法 1 随机选择和弦的中点。 图 使用方法 2 随机选择和弦的中点。 图 使用方法 3 随机选择和弦的中点。 图 随机选择和弦，方法 1。 图 随机选择和弦，方法 2。 图 随机选择和弦，方法 3。

还发现了其他选择方法。事实上，它们存在一个无限的家族。

1.2 经典解决方案

该问题的经典解决方案（例如，在 Bertrand 自己的作品中提出）取决于“随机”选择和弦的方法。争论的焦点是，如果指定了随机选择的方法，问题就会有一个明确的解（由无差别原理确定）。Bertrand 提出的三种解决方案对应于不同的选择方法，在缺乏进一步信息的情况下，没有理由优先选择其中一种；因此，上述问题没有唯一的解决方案。

同一问题有三种不同答案，究其原因在于圆内“取弦”时规定尚不够具体，不同的“等可能性假定”导致了不同的样本空间，具体如下：其中“均匀分布”应理解为“等可能取点”。

解法一中假定弦的另一端在圆周上均匀分布，圆周上的点组成样本空间 ${\Omega }_1$。
解法二中假定弦的中点在直径上均匀分布，直径上的点组成样本空间 ${\Omega }_2$。
解法三中假定弦的中点在大圆内均匀分布，大圆内的点组成样本空间 ${\Omega }_3$。

可见，上述三个答案是针对三个不同样本空间引起的，它们都是正确的，贝特朗悖论引起人们注意，在定义概率时要事先明确指出样本空间是什么。

实际上，所谓“悖论”一点也不悖。这只是反映了选择不同的坐标会导致不同的概率分配这一事实。至于哪一个分配是“正确”的，决定于事先确定的模型的如何应用或阐释。

就以上悖论而言，造成这种现象的主要是在于条件的限制。若题目中出现“随机”,“均匀分布”,“等可能”这些字眼，则对应着此悖论中 1，2，3 条的结果。

1.3 Jaynes 的解决方案——使用“最大无知”原则

Edwin Jaynes 在 1973 年的论文“The Well-Posed Problem”中，提出了伯特兰悖论的解决方案，该方案基于“最大无知（maximum ignorance）”原则，即我们不应该使用问题表述中没有给出的任何信息。Jaynes 指出伯特兰的问题没有指定圆的位置或大小，并认为因此任何明确且客观的解决方案都必须与大小和位置“无关”。换句话说：解决方案必须是尺度和平移不变的。

举例说明：假设将和弦随机放置在直径为 2 的圆上，例如从远处向其扔吸管，然后通过扩展/限制将它们转换为和弦。现在，将另一个直径较小的圆放入较大的圆中。然后，小圆上的弦分布需要与大圆上的弦的受限分布相同（再次使用生成吸管的延伸/限制）。因此，如果较小的圆在较大的圆内移动，则受限分布不应改变。很容易看出，方法 3 会有变化：红色小圆圈上的弦分布看起来与大圆圈上的分布有质的不同：

方法 1 也会发生同样的情况，尽管在图形表示中更难看到。方法 2 是唯一一种既具有尺度不变性又具有平移不变性的方法；方法 3 只是尺度不变，方法 1 两者都不是。

然而，Jaynes 不仅仅使用不变性来接受或拒绝给定的方法：这将留下另一种尚未描述的方法可以满足他的常识标准的可能性。Jaynes 使用描述不变性的积分方程来直接确定概率分布。在这个问题中，积分方程确实有唯一解，正是上面所说的“方法2”，即随机半径法。

在 2015 年的一篇文章中，Alon Drory 认为 Jaynes 原理也可以产生 Bertrand 的其他两个解决方案。Drory 认为，上述不变性的数学实现并不是唯一的，而是取决于人们使用的随机选择的基本过程（如上所述，Jaynes 使用了一种扔稻草的方法来选择随机和弦）。他表明，伯特兰的三个解决方案中的每一个都可以使用旋转、缩放和平移不变性导出，并得出结论，Jaynes 的原理与无差别原理本身一样需要解释。

例如，我们可以考虑向圆投掷飞镖，并以所选点为中心绘制弦。那么平移、旋转和尺度不变的唯一分布就是上面所谓的“方法 3”。

同样，“方法 1”是一种场景的唯一不变分布，其中使用旋转器选择弦的一个端点，然后再次使用它来选择弦的方向。这里所讨论的不变性包括两个自旋中每一个自旋的旋转不变性。它也是独特的尺度和旋转不变分布，适用于将一根杆垂直放置在圆圆周上的一点上，并允许下降到水平位置（条件是它部分落在圆内）。

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wiki: Bertrand paradox

百度百科：贝特朗悖论

2. 博弈论中的伯特兰悖论

在经济学和商业中，伯特兰悖论（以其创始人 Joseph Bertrand 命名）描述了一种情况，其中两个参与者（公司）达到纳什均衡状态，其中两家公司收取的价格等于边际成本（“MC”））。矛盾的是，在 Cournot competition 等模型中，企业数量的增加与价格向边际成本的趋同相关。在这些寡头垄断的替代模式中，少数企业通过收取高于成本的价格来赚取正利润。假设两家公司 A 和 B 销售同质商品，每家公司的生产和分销成本相同，因此顾客仅根据价格来选择产品。由此可见，需求具有无限的价格弹性。A 和 B 都不会设定比对方更高的价格，因为这样做会将整个市场拱手让给他们的竞争对手。如果定价相同，两家公司将分享市场和利润。

另一方面，如果任何一家公司降低价格，哪怕只是一点点，它都将获得整个市场并获得更大的利润。由于 A 和 B 都知道这一点，他们都会试图削弱竞争对手，直到产品以零经济利润出售。这就是纯策略纳什均衡。最近的工作表明，在垄断利润无限的假设下，可能存在额外的具有正经济利润的混合策略纳什均衡。对于有限垄断利润的情况，已经表明，在混合均衡中，甚至在更一般的相关均衡情况下，价格竞争下的正利润是不可能的。

伯特兰悖论很少出现在实践中，因为真正的产品几乎总是以除价格之外的某种方式进行区分（品牌名称，如果没有其他的话）；企业的制造和分销能力受到限制，而且两家企业很少有相同的成本。

伯特兰的结果是自相矛盾的，因为如果企业数量从 1 个增加到 2 个，价格就会从垄断价格下降到竞争价格，并且随着企业数量的进一步增加而保持在同一水平。这不太现实，因为在现实中，由少数具有市场力量的公司组成的市场通常会收取超过边际成本的价格。实证分析表明，大多数有两个竞争者的行业都获得了正利润。悖论的解决方案试图得出更符合古诺竞争模型解决方案的解决方案，在该模型中，市场中的两家公司赚取的利润介于完全竞争和垄断水平之间。

伯特兰悖论并不严格适用的一些原因：

• 容量限制。有时企业没有足够的能力来满足所有需求。 这是 Francis Edgeworth 首先提出的观点，并引发了 Bertrand–Edgeworth model。
• 整数定价。高于 MC 的价格被排除，因为一家公司可以以任意小的价格低于另一家公司。如果价格是离散的（例如必须采用整数值），那么一家公司必须比另一家公司便宜至少一美分。这意味着价格比 MC 高 1 美分现在是一种均衡：如果另一家公司将价格定为比 MC 高 1 美分，那么另一家公司可以压低价格并占领整个市场，但这不会为其带来任何利润。它更愿意与其他公司以 50/50 的比例分享市场并赚取严格的正利润。
• 产品差异化。如果不同企业的产品存在差异化，那么消费者可能不会完全转向价格较低的产品。
• 动态竞争。反复互动或反复价格竞争可以导致价格高于MC达到均衡状态。
• 更多的钱更高的价格。从重复的互动中得出结论：如果一家公司将价格定得稍高，那么他们仍然会获得大约相同的购买量，但每次购买的利润更多，因此另一家公司将提高价格，依此类推（仅在重复游戏中） ，否则价格动态朝另一个方向）。
• 寡头垄断。如果两家公司能够就价格达成一致，那么遵守协议符合他们的长期利益：降价带来的收入不到遵守协议带来的收入的两倍，并且只会持续到另一家公司降低自己的价格为止。
• 努力购买。如果消费者根据自己的情况购买一种产品与另一种产品所需的努力存在差异（例如前往库存产品的商店的旅行时间不同），这可能会导致消费者更喜欢一种产品而不是另一种产品 其他即使产品本身完全相同。
• 社会相互依存。如果冷漠的消费者被视为在基于忠诚度和其他人的选择的产品之间进行战略选择，那么公司就可以在不直接违反伯特兰假设的情况下实现具有正利润的价格均衡。
• 善意。即使在价格竞争的市场中面临其他相同的产品，两家公司本身也是不同的实体，可能会通过品牌商誉影响消费者对产品的选择。
• 现状。消费者对保持现状有一种观察到的偏见，因此即使当具有相同产品的新公司进入市场时，消费者也倾向于继续从原来的公司购买。
• 客户异质性。虽然产品可能是同质的，但异质消费者仍然可以创造一个市场，在这个市场中，两个价格竞争的企业可以实现价格均衡并获得正利润。

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wiki: Bertrand paradox (economics)