1 DCDC开关电源的分析方式

一般要求开关电源既有良好的稳态性能，又具有优秀的动态性能。针对开关电源的分析有时域分析和频域分析，目前常用的是频域分析。

2 未补偿系统

对于使用开环控制的系统，即未进行补偿的系统。系统框图如下：

其中，$G_m(s)$为PWM调制模块，在自控原理中称为执行机构；$G_{vd}(s)$为电源模块主拓扑部分，输入为占空比，输出为输出电压，在自控原理中称被控对象；
$V_c(s)$为PWM调制器的输入，即PWM调制器的调制信号，也即该系统的输入信号（控制信号）；$d(s)$为占空比；$V_o(s)$为输出电压，也即该系统的输出信号。

2.1 未补偿系统建模

以Buck电路为例进行分析，Buck电路未补偿开环系统框图如下：

$G_m(s)$为PWM调制器，其传递函数为：
$$G_m(s)=\frac{\hat{d}(s)}{{\hat{v}}_c(s)}=\frac{1}{V_m}$$
式中，$V_m$为PWM调制器中锯齿波的赋值。$\hat{d}$为占空比的扰动量，${\hat{v}}_c$为PWM调制器的调制信号的扰动量。

由于对于电源来说，其系统是一个非线性的系统。而自控原理中的分析对象都是线性系统，因此基于小信号模型的思想，针对电源系统研究，都是在稳态点附近，各扰动量的线性系统的研究。通过分析各扰动量，来分析电源的动态性能和稳态性能。具体的分析建模见**。

图中，主拓扑部分的传递函数为$G_{vd}(s)$。$G_{vd}(s)$的具体建模见**。这里直接给出结论如下。

$$G_{vd}(s)=\frac{\widehat{V_o}(s)}{\hat{d}(s)}=\frac{V_o}{D}\frac{1}{1+s\frac{L}{R}+s^{2}LC}$$
其中，$V_o$是稳定点的输出电压；$D$是稳定态的占空比；$L$是主拓扑上的电感值；$C$是主拓扑上的电容值。

则系统回路增益函数$G_o(s)$可以计算如下：
$$G_o(s)=G_m(s)G_{vd}(s)=\frac{V_o}{D{V}_m}\frac{1}{1+s\frac{L}{R}+s^{2}LC}$$

2.2 未补偿系统分析

（1）该系统具有两个极点，两个极点分别为：
$$p_{1,2}=\frac{-L\pm \sqrt{L^2-4LC{R}^2}}{2LCR}$$
两个极点均位于左边平面（实部均为负），因此系统是稳定的。

（2）再利用伯德图分析系统性能。

系统回路增益函数$G_o(s)$重写如下：
$$G_o(s)=\frac{V_o}{D{V}_m}\frac{1}{1+s\frac{L}{R}+s^{2}LC}=\frac{V_o}{D{V}_m}\frac{\frac{1}{LC}}{s^2+s\frac{1}{RC}+\frac{1}{LC}}$$
即该系统由震荡环节和比例环节组合而成。
伯德图的转折频率（震荡环节的）计算如下：
$${\omega }_n=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$
震荡环节的阻尼系数计算如下：
$$2\xi {\omega }_n=\frac{1}{RC}$$
$$\xi =\frac{1}{2{\omega }_{n}RC}=\frac{\sqrt{LC}}{2RC}=\frac{1}{2R}\sqrt{\frac{L}{C}}$$
系统的低频时：
$$L(\omega )=\frac{V_o}{D{V}_m}$$
由于在低频时，$L(\omega )>0$，因此伯德图将以$-40dB/dec$穿越$0dB$。根据最小相位系统理论，$-40dB/dec$为斜率的折线对应的相移为$-180°$。那么系统的相位裕量比较小。此时，该系统虽然时稳定的，但是存在较大的输出超调量和调节时间。在工程应用中，很难满足诸多指标。因此需要对电源进行校正。

3 系统补偿

从上节分析可知，该开环系统很难满足诸多动态和稳态指标。这里对原系统进行补偿校正。校正的方式有很多，各有特点。这里介绍有源超前-滞后补偿网络（2P2Z）。

有源超前-滞后补偿网络是一种闭环校正方式，加入该网络后系统框图如下：

其中，$G_c(s)$就是有源超前-滞后补偿模块，$H(s)$为的反馈环节。
使用运放搭建补偿模块和加法器的电路如下：

有源超前-滞后补偿的传递函数为：
$$G_c(s)=\frac{V_c(s)}{E(s)}=\frac{V_c(s)}{V_{ref}(s)-V_1(s)}=\frac{R_2+\frac{1}{s{C}_2}}{R_3+(R_1//\frac{1}{s{C}_1})}$$
整理可得，
$$G_c(s)=\frac{R_2+\frac{1}{s{C}_2}}{R_3+(R_1//\frac{1}{s{C}_1})}=\frac{(1+s{C}_2{R}_2)(1+s{C}_1{R}_1)}{(s{C}_2{R}_1)(1+s{C}_1{R}_3)}$$
根据上式，可做补偿网络伯德图的幅频图如下，为了便于清洗，横坐标未进行对数转换：

该补偿网络环节有两个零点和极点。
零点${\omega }_{z1}=\frac{1}{R_2{C}_2}$；${\omega }_{z2}=\frac{1}{R_1{C}_1}$；
极点${\omega }_{p1}=0$；${\omega }_{p2}=\frac{1}{C_1{R}_3}$
以上零极点为角频率，转换为频率则为：
零点$f_{z1}=\frac{1}{2\pi R_2{C}_2}$；$f_{z2}=\frac{1}{2\pi R_1{C}_1}$；
极点$f_{p1}=0$；$f_{p2}=\frac{1}{2\pi C_1{R}_3}$

4 补偿后系统分析

补偿后系统框图如下：

补偿后的回路函数为：
$$G_c(s)G_m(s)G_{vd}(s)H(s)=G_c(s)G_o(s)H(s)$$
补偿前系统以$-40dB/dec$穿越$0dB$。系统虽然稳定，但是动态性能比较差。而如果基于有源超前滞后设计的补偿系统，能够使得补偿后系统穿越$0dB$时在$z_2$和$p_2$之间，那么未补偿系统以$-40dB/dec$穿越$0dB$，将变为补偿后系统以$-20dB/dec$穿越$0dB$。
系统以$-20dB/dec$穿越$0dB$，根据最小相位系统理论，$-20dB/dec$折线对应相移为$-90°$。那么补偿后的系统将有较大的相位裕量而满足系统的动态性能，加快调节时间，改善超调量。
另外，补偿系统在低频时为积分性质，可以使得补偿后的系统称为无差系统，静差为零，减小低频误差。