这篇文章介绍一种用来拟合多精度数据的神经网络。 在科学计算中，低精度的数据往往是廉价的、大量的；高精度数据则不同，他们是昂贵的、少量的，所以如何充分利用不同精度的数据来得到更加 precise 的结果便是一个需要解决的问题。这里我们利用神经网络给出了一个回答。
基本思想
想法很简单。假定 { x i , y i } i = 1 N l \{x_i,y_i\}_{i=1}^{N_l} {xi​,yi​}i=1Nl​​ 是我们有的低精度数据，其中 $x_i$ 是输入变量， $y_i$ 是预测变量； { x i , y i } i = N l + 1 N l + N h \{x_i,y_i\}_{i=N_l+1}^{N_l+N_h} {xi​,yi​}i=Nl​+1Nl​+Nh​​ 是高精度数据。 一般情况下, $N_l>N_h$， 在一些paper 中，它的取值可能是3 倍，5倍或者更多。
利用神经网络与监督学习的想法，主要有以下几个步骤：

• 给定低精度数据 { x i , y i } i = 1 N l \{x_i,y_i\}_{i=1}^{N_l} {xi​,yi​}i=1Nl​​, 我们可以训练一个低精度的神经网络， 记作 ${\mathcal{N}\mathcal{N}}_{lf}$;
• 同样，给定高精度的数据 { x i , y i } i = N l + 1 N l + N h \{x_i,y_i\}_{i=N_l+1}^{N_l+N_h} {xi​,yi​}i=Nl​+1Nl​+Nh​​， 我们同样得到了一个神经网络，记作 ${\mathcal{N}\mathcal{N}}_{hf}$。
• 问题在于由于我们的高精度数据比较少，所以我们得到的 ${\mathcal{N}\mathcal{N}}_{hf}$ 是不准确的。一个简单的想法便是利用低精度的数据。
  给定 { x i } i = N l + 1 N h + N l \{x_i\}_{i=N_l+1}^{N_h+N_l} {xi​}i=Nl​+1Nh​+Nl​​, 我们令 $z_i={\mathcal{N}\mathcal{N}}_{lf}(x_i)$， 即 $z_i$ 是预测得到的低精度数据。 我们将 { x i , z i } i = 1 N l + 1 N l + N h \{x_i,z_i\}_{i=1N_l+1}^{N_l+N_h} {xi​,zi​}i=1Nl​+1Nl​+Nh​​ 作为输入变量， { y i } i = N l + 1 N l + N h \{y_i\}_{i=N_l+1}^{N_l+N_h} {yi​}i=Nl​+1Nl​+Nh​​ 作为标签值可以训练一个新的神经网络 ${\mathcal{N}\mathcal{N}}_{lf\to hf}(x_i,{\mathcal{N}\mathcal{N}}_{lf}(x_i))$， 用来将低精度的数据转化为高精度数据
  将${\mathcal{N}\mathcal{N}}_{lf\to hf}$ 应用在 { x i } i = 1 N l + N h \{x_i\}_{i=1}^{N_l+N_h} {xi​}i=1Nl​+Nh​​, 我们便得到了所有输入点上的高精度值。

数值实验

我们考虑一个函数逼近的问题：

上图中$q_{lf}$ 代表低频数据， $q_{hf}$ 代表高频数据， 其中 $A=0.5,B=10,C=-5.$
数值结果如下：

第二个例子仍是函数逼近，

其结果为

第三个例子函数逼近：

结果为：

最后我们举一个解ODE的例子：

精确解为：

我们已知的数据为：

最后的结果为：

数值实验的GitHub代码链接为：
https://github.com/xdfeng7370/Multi-fidelity-neural-network-

参考文献

【1】 Xuhui Meng and George Em Karniadakis. A composite neural network that learns from multi- fidelity data: Application to function approximation and inverse pde problems. Journal of Computational Physics, 2019.
【2】 Mohammad Motamed. A multi-fi delity neural network surrogate sampling method for uncertainty quanti fication. 2019.