一、总体标准偏差和样本标准偏差

假设我们测量了变量$x$，测得的结果是$x_1,x_2,\cdots ,x_n$。令$\bar{x}$是它们的算术平均值，$\mu$是$x$的真实值。

我们使用标准（偏）差（Standard Deviation）来度量数据分布的分散程度。标准差越大，数据分布越离散，反之越集中。

我们在小学/初中学过标准差的计算公式$$\sigma =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^N(x_i-\mu {)}^2}{N}}$$其中$\mu$是总体的平均值。但是物理实验中采用的是$$S=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$$其中$\bar{x}$是样本的平均值。那为什么分母变成$n-1$了呢？包括我在内的很多人都不理解。

实际上，$\sigma$叫做总体标准偏差（Population Standard Deviation），而$S$叫做样本标准偏差（Sample Standard Deviation），是两种不同的标准偏差。它们的区别何在？总体标准偏差就是你已经知道了所有的数据，比如班级的成绩，然后你要计算它的离散程度。这在物理测量当中是不可能出现的，因为你可以测量无限次。样本标准偏差就是你要用一些数据（样本）来估计整体情况，相当于以偏概全。物理实验中就是这样一种情况，你测得一组数据，然后用这组数据近似表示真实值。在这种情形下，如果我们测得一组数据$x_1,x_2,\cdots ,x_n$，用总体标准偏差$\sigma$来表征离散程度的话，就出现问题了：总体平均值，也就是真实值$\mu$，我们是不知道的。那我们用$\bar{x}$代替$\mu$，就会导致：我们计算的是$x_1,x_2,\cdots ,x_n$围绕样本的平均值$\bar{x}$的离散程度，而不是围绕真实值$\mu$的离散程度。对于一组数$x_1,x_2,\cdots ,x_n$和一个变量$t$，令$f(t)=\sum _{i=1}^n(x_i-t{)}^2$，这是一个开口向上的二次函数，在$t=-\frac{b}{2a}=\frac{\sum _{i=1}^{n}2x_i}{2n}=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}=\bar{x}$的时候取得最小值。也就是说，$\sum _{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2\le \sum _{i=1}^n(x_i-\mu {)}^2$。这就意味着，我们低估了数据的离散程度。我们需要将分母改为$n-1$，来稍稍增大偏差的值。

那为什么是$n-1$呢？纯统计学的严格证明颇为复杂，但我们可以用一种别样的思考方式。现在我们获得的样本有$n$个测量结果，就是有$n$条独立的信息。我们已经知道$\bar{x}$，如果再知道$x_1-\bar{x},x_2-\bar{x},\cdots ,x_{n-1}-\bar{x}$，那$x_n-\bar{x}$自然就知道了。现在我们把这些偏差的平方加起来，应该只有$n-1$条独立的信息，所有除以$n-1$才说得通。专业的名词叫做有$n-1$个“自由度”。

其实到这里你也许还是没有理解。是的，我也没有理解。在系统学习统计学之前是不可能理解的。但是很多人对采用$n-1$作为分母的说法是“约定俗成的”，即用$n-1$更符合统计规律。所以我们也不用在乎那么多了，记住在物理实验的时候用$n-1$作为分母来算标准偏差就好了。

最后，我想说的是，当$n\to \infty$的时候，即测量无限次，那$\bar{x}$就是$\mu$，$\sigma$和$S$的比值就会趋近于$1$，这时总体标准偏差和样本标准偏差就是一回事了。

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二、标准偏差和标准误

还是讨论物理实验中的问题。我们刚才讲了标准偏差（Standard Deviation），它的公式是$$S=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}$$关于分母为什么是$n-1$就已经够让我们头疼了，现在又冒出来一个标准误（Standard Error of Mean），这玩意又是什么呢？

标准误的含义用来估计样本平均值和真实值有多少差异的，用${\sigma }_{\bar{x}}$表示。例如，$\bar{x}=0.370$，${\sigma }_{\bar{x}}=0.002$，那么测量结果就写成$0.370\pm 0.002$。

对于标准偏差和标准误的区别，知乎上有一个我感觉很好的解释：
举个栗子，现在我们测量了$200$次，分为$20$组，每组$10$个数取一个平均值，那这$20$个平均值的标准偏差就是这$200$个数据的标准误。

标准误的计算公式是$${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{S}{\sqrt{n}}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n(n-1)}}$$
为什么要除以$\sqrt{n}$呢？我们考虑$n\bar{x}=x_1,x_2\cdots ,x_n$的标准偏差，而$x_1,x_2\cdots ,x_n$是相互独立的，所以它们的标准偏差都等于$S$，其中$S$是$x$的标准偏差。那么${\sigma }_{n\bar{x}}^2=n{S}^2$，即$n^2{\sigma }_{\bar{x}}^2=n{S}^2$，${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{S}{\sqrt{n}}$。

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本文到这里就结束了，还是留下了太多没有解决的问题，以后慢慢补上吧，总之物理实验直接套公式就行了，不用操那么多心~

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2022/11/28更新：现在学了概率论与数理统计，有了新的理解，请看这里–>【概率论】关于为什么样本标准偏差分母是n-1的进一步理解。