Benders/DW分解算法常常用于具有分块结构的大规模线性规划问题中。
因为在求解矩阵中，一个约束条件对应一行，因此添加约束条件的方法自然叫做行生成算法（Benders分解）。相对应的，添加变量的方法就叫做列生成算法（DW分解）。

1. Benders分解

1.1 问题描述

Benders分解算法，常常用于有一部分约束条件有明显的”对角线分块“结构，可以拆下来求解的情形:

Benders求解的基本思路是：使用子问题（primal problem）来寻找合适的约束不断添加到松弛主问题（relaxed master problem）中，具体可以参考论文，这里做一下简单的概述：
假设Benders分解问题的标准型为：
$\max wb+vd$
s.t. $wA+vB\le c$
$w,v\ge 0$，$w$为主问题变量，对偶变量为子问题变量。在分块结构中，对偶问题也是分块的，变量可以拆分开来求解。

1.2 主问题

原问题等价于
max ⁡ w ≥ 0 { w b + max ⁡ v : v B ≤ c − w A , v ≥ 0 v d } \max_{w\ge0}\{wb+\max_{v:vB\le c-wA,v\ge0}vd\} maxw≥0​{wb+maxv:vB≤c−wA,v≥0​vd}

等价于
max ⁡ w ≥ 0 { w b + min ⁡ x : B x ≥ d , x ≥ 0 ( c − w A ) x } \max_{w\ge 0}\{wb+\min_{x:Bx\ge d,x\ge 0}(c-wA)x\} maxw≥0​{wb+minx:Bx≥d,x≥0​(c−wA)x}

内部的min问题是个线性规划问题，枚举可行域{$x:Bx\ge d,x\ge 0$}的极点便可以求解了。我们逐步找新的极点作为约束添加进松弛主问题（RMP）：

max $z$
s.t. $z\le wb+(c-wA)x_i$
$w\ge 0$

或者换一个理解方式：每次移动到新的极点时，必须是对原问题的目标函数有改进：
max $wb$
s.t. $(c-wA)x_i\ge 0$
$w\ge 0$

两者是等价的。

1.3 子问题

将求出来的$w$带入下式(DSP)求解$x$：
$\min (c-wA)x+wb$
s.t. $Bx\ge d$
$x\ge 0$
求出来的$x$是原问题的一个极点，将其添加到松弛主问题上继续求解。
在Benders分解中，松弛主问题和对偶子问题分别可以给出原问题的上界UB和下界LB，进行迭代直至LB = UB。

2. DW分解

2.1 问题描述

DW分解和Benders分解步骤非常相似，完全是对偶形式。具体可以参考这篇https://imada.sdu.dk/u/jbj/DM209/Notes-DW-CG.pdf
Benders分解的图转过来就是DW分解的情形：

Benders分解每次求出来的极点用于给主问题添加有效约束，而DW分解每次求出来的极点用于给主问题添加基变量。DW问题模型是：
$\min cx$
s.t. $Ax\le b$（主问题约束，包含connecting constraints）
$Dx\le d$（包含independent constraints）
$x\ge 0$

2.2 主问题

回顾一下Benders的松弛主问题：
max $z$
s.t. $z-(b-A{x}_i)w\le c{x}_i,i=\mathrm{1...}m$
$w\ge 0$

求对偶即可得DW分解的松弛主问题：
$\min c\Sigma x_i{u}_i$
s.t.$\Sigma u_i=1$
$\Sigma (b-A{x}_i)u_i\ge 0$
$u_i\ge 0$

2.3 子问题

构造定价子问题(pricing sub problem, PSP)求解新的极点$x$，一般使用单纯形法的判别规则，令$u_i=\arg {\max }_{i}u$，然后求${\min }_j(B^{-1}b{)}_{ij}$，对应对应新的基变量$u_j$，将其添加到松弛主问题上继续求解。注意单纯型法本身就是一种列生成的方法。

3. 例子

举一个例子：

前两个约束比较复杂，而后四个约束有明显的”对角线分块“结构，因此将前两个约束和后四个约束分开，转化为对偶问题用Benders分解求解，主问题为下式：

3.1 第1轮迭代

$x=(0,0,0,0)$是复杂问题（前两个约束）的一个可行解，求解主问题

得到$w=(0,0)$，$UB=0$，求解子问题：
$\min -2x_1-x_2-x_3+x_4$
s.t.

分块求解($x_1,x_2$)和($x_3,x_4$)，可以得到$x=(2,1.5,3,0)$，最优值为$LB=-8.5$

3.2 第2轮迭代

使用新的$x$添加一条约束，得到新的主问题：

得到$w=(-1.7,0)$，最优值为$UB=-3.4$，求解子问题
$\min -3.4-0.3x_1-x_2-2.7x_3+x_4$
s.t.

得到$x=(0,2.5,0,0)$，最优值为$LB=-5.9$

3.3 第3轮迭代

使用新的$x$添加一条约束，得到新的主问题：

得到$w=(-1.2,0)$，最优值为$UB=-4.9$，求解子问题
$\min -2.4-0.8x_1-x_2+0.2x_3+x_4$
s.t.

得到$x=(2,1.5,0,0)$，最优值为$LB=-5.5$
不断迭代下去即可，直到LB=UB

3.4 参考代码(julia)

using JuMP,GLPK
c = [-2,-1,-1,1]
bm = [2,3] # 主问题变量
b = [2,5,2,6] # 子问题变量
Am = [[1,0,1,0],[1,1,0,2]]
A = [[1,0,0,0],[1,2,0,0],[0,0,-1,1],[0,0,2,1]]

# 松弛主问题为前两个变量，主问题给出max的上界
rmp = Model(GLPK.Optimizer)
@variable(rmp,w[1:length(bm)]<=0)
@objective(rmp, Max, sum(bm.*w))
optimize!(rmp)
w_val = JuMP.value.(w)
ub = objective_value(rmp)

# 子问题为消去w1和w2后的对偶问题，给出的是下界
m = Model(GLPK.Optimizer)
@variable(m,x[1:length(b)]>=0)
@objective(m, Min, ub+sum((c.-sum(w_val.*Am)).*x))
@constraint(m, cons[i = 1:length(b)], sum(A[i].*x) <= b[i])
optimize!(m)
x_val = JuMP.value.(x)
lb = objective_value(m)
@info lb,ub

# 迭代直至ub=lb
while ub>lb
    # 固定子问题变量，更新主问题变量。
    # 要求目标函数不变差，因此松弛主问题中添加一个新的约束条件
    @constraint(rmp, sum(x_val.*(c.-sum(w.*Am)))>=0)
    optimize!(rmp)
    w_val = JuMP.value.(w)
    ub = objective_value(rmp)

    # 固定主问题变量，更新子问题变量。
    @objective(m, Min, ub+sum((c.-sum(w_val.*Am)).*x))
    optimize!(m)
    x_val = JuMP.value.(x)
    lb = objective_value(m)
    @info lb,ub
end
@info x_val

输出结果如下：