离散系统的时域分析

在学习这一章的时候，读者要时刻将离散系统与连续系统进行对照类比，很多求解的思路与方法是相类同的，只需要进行连续量到离散量的转换即可。

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离散系统与差分方程

差分方程的建立

1. 差分的定义

（1）移位序列
设有一个序列f(k)，则…,f(k+2),f(k+1),…,f(k-1),f(k-2),…这些被称作是f(k)的移位序列。

（2）差分运算
①一阶差分的定义

我们主要使用【后向差分】是因为，后向移位序列（表示信号的延迟）在现实生活中更好理解。

②m（m≥2）阶差分的定义

2. 差分的性质

3. 差分方程

在连续系统的时域分析中，我们通过建立并求解线性常系数微分方程来求解系统及其响应；在离散系统中，我们把目光聚焦在差分方程的建立与求解上。

（1）定义与概念
①文字定义：
差分方程就是由未知的输出序列项（及其移位序列项）和输入序列项（及其移位序列项）构成的等式方程。

②数学表示：

• n阶差分方程描述的系统就称为n阶系统
• 描述LTI离散系统的方程是线性常系数差分方程

（2）差分方程建立的实例

差分方程的模拟框图

类比之前讨论连续系统的模拟框图，我们首先需要厘清差分模拟框图中需要哪些基本的系统组件。

1. 基本部件单元

2. 模拟框图↔差分方程
（1）从模拟框图到差分方程

我们的最终目的是希望可以由差分方程绘制出相应的模拟框图；于是我们反其道而行之，先从框图到差分方程的对应关系中去寻找相关结论。

①：看到框图后，首先关注求和器的位置，列写的两个等式都是基于这两个求和器得到的；
②：框图中有多少个移位器，就相应说明该差分方程是多少阶的；
③：通常在最左边的移位器的左侧设辅助变量；如果模拟框图中只有一个求和器（上图左侧的求和器不存在的话），通常列写差分方程无需设立辅助变量；
⑤：输出信号通常在模拟框图中最右边的求和器之后，需要时刻记住我们求解的是y(k)与输入信号f(k)之间的关系；
⑦：根据⑥中的两个等式，可以通过【代入-化简】手段组合成一个方程，也可以根据LTI系统的性质进行组合，核心理念就是——如果在f(k)的作用下的输出时x(k)，那么想要得到y(k)=a·x(k-k₁)+b·x(k-k₂)这样的输出，就需要向系统输入a·f(k-k₁)+b·f(k-k₂)的激励信号。

（2）从差分方程到模拟框图

一言以蔽之，上述【从模拟框图到差分方程】的逆过程就是建立模拟框图的方法步骤。

• 首先需要将复杂的（输入信号f(k)含有其移位序列）差分方程进行简化：通过引入辅助变量、利用LTI系统特性；
• 根据方程的阶数来设置移位器的个数
• 根据分解得到的每个方程，每个方程对应一个加法器，按照数乘和加(减)法运算来布置整个模拟框图。

差分方程的经典解法

1. 递推迭代法
差分方程本质上就是递推的代数方程，在已知初始条件和激励的情况下，利用【迭代法】就可以求得相应的数值解。

• 迭代法一般无法得到差分方程的闭式解
• 方程是几阶的，就需要知道几个初始条件

2. 经典法

求解差分方程的经典法可以类比求解线性微分方程的经典方法来理解和记忆：解的结构同样划分为一般解和特解。

【例】求解差分方程

①：根据差分方程列写出对应的特征方程——λ²+4λ+4=0，求解出来的是一个二重根-2；
②：根据特征根与齐次解的对应关系，列写出齐次解的一般形式（含有未知参数，最后会根据初值条件进行求解）；
③：根据激励的形式，写出特解的一般形式，此处也含有未知参数，直接把特解代入到差分方程中，即可求出未知参数；
④：全解y(k)的表达式其实就反映出了输出信号关于输入的变化规律，但未知参数的存在也表明了该变化规律还没有定下一个起点；通过代入初值条件即可确定这个变化规律是从何处开始生效的，所以也把初值条件称为【临界条件】。

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离散系统的响应(及结构)

零输入响应

1. 定义
（线性时不变）离散系统的激励为零，仅由系统的初始状态所引起的响应，用y_zi(k）来表示。
零输入响应求解的方程结构形如：
y_zi(k)+a_n-1y_zi(k-1)+…+a₀y_zi(k-n)=0

根据上述方程，所谓零输入响应的求解，本质上就是求解一个齐次差分方程，其方法也是一致的，因此零输入响应求解的关键就在于确定初始值。

2. 初始值的确定
在差分系统中，n阶线性时不变离散系统的初始状态用y(-1),y(-2),…,y(-n)来进行描述；且恒有下式成立：
$$y(-l)=y_{zi}(-l)+y_{zs}(-l)$$

• 在零输入条件下，其初始值可以由下式确定：$$y_{zi}(-l)=y(-l),l=0,1,2,...,n-1$$

上式说明，在小于零的时刻中，零输入的初值就是整个系统的初值；

因为在小于零的时刻中，根据零状态的定义（没有历史状态，在大于等于0的时刻才在系统中加入某种输入信号），y_zs(-l)=0,l=0,1,…,n-1

3. 求解方法

• 求特征方程的特征根；
• 设定齐次解的一般形式；
• 直接代入初始状态y_zi(-l),l=0,1,2,…,n-1求解待定系数。

请读者回忆一下求解连续系统的相应响应时，我们还讨论了【从初值状态求解初始值】的方法，这是因为我们求解的响应都是反映系统在时刻t≥0之后的变化规律，因此我们需要的也是时刻t≥0的初始条件；

但是此处我们可以直接把k=-1,-2,…-n的条件代入方程来求解未知系数；因为在零输入条件下，方程是齐次的，系统的响应与输入无关——
其一，系统在跨越0时刻不会发生响应的突变；
其二，我们可以理解为此时系统响应的规律适用性其实更强，可以延伸到小于零的时刻；
其三，从计算层面来看，我们在利用齐次方程来从-1，-2，…，-n时刻求解出0,1,2,…n-1时刻的初始值的过程也是与输入信号无关的。

零状态响应

1. 定义
当系统的初始状态y_zs(-l) = 0，l=1,2,…,n为零，仅由激励f(k)引起的响应，用y_zs（k）来表示。

2. 初始值的确定
当给定初始状态y_zs(-l)=0,l=1,2,…,n的值后，需要根据迭代法求解出相应的初始值y_zs(j),j=0,1,2,…,n

3. 求解方法

因为从方程的形式上来看，求解零状态响应就相当于求解一个非齐次的差分方程，其解的结构也是由齐次解和特解组成的。

• 求解齐次解
• 求解特解，并代入原方程中求解未知系数
• 将初始值代入到全解结构中，求解出剩下的待定系数

【例】求解离散系统的零输入(状态)响应

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离散的基本信号及其响应

重要的离散信号(及表示)

1. 离散信号的表示

在第一章《【信号与系统|吴大正】1：信号与系统概述》中我们对信号进行了分类，所谓离散(时间)信号就是仅仅在一些离散的瞬间才有定义的信号。

此外，我们还辨析了【离散信号】【连续信号】【数字信号】【模拟信号】之间的关系

（1）图形表示

（2）解析表示

（3）集合表示

2. 单位脉冲序列

• 注意：单位脉冲序列δ(k)是在k=0处信号值为1，其余地方的信号值都为0；并不是只在k=0处有定义。

3. 单位阶跃序列

基本信号的响应(定义与求解)

单位脉冲响应

1. 定义

2. 求解方法

【思路】：
基本信号δ(k)根据定义，仅仅在k=0处等于1，在k>0的时候为零。所以此时求解基本响应h(k)就等同于求解系统的零输入（因为输入信号为零，所以在k>0的时候可以看做是零输入）响应。

由此，将求解h(k)的问题转换成求解一个齐次方程，在k>0时；
k=0时的值h(0)就可以按照零状态的条件由差分方程确定。

• 迭代法求解初始值
• 经典法求解系统的“齐次解”
• 将初始值代入齐次解的一般形式，求出未知系数

3. 示例

单位阶跃响应

1. 定义

2. 求解方法

【思路】：
求解单位阶跃响应的过程更一般化，因为施加的输入信号ε(k)在k>0时总是有值的，因此求解的过程可以看做是求解一个非齐次线性差分方程组，使用经典法按照步骤即可。

• 迭代法求解出初始值
• 根据特征值设定出相应的齐次解
• 求解出特解（特解的未知系数可以直接代入原方程得出）
• 将初始值代入到一般解的形式中，求出剩下的未知系数

3. 示例

h(k)与g(k)间的关系

1. 关系定义
理解其二者的关系，有以下两个原则可辅助：

• 基本响应之间的关系可以参照基本信号之间的关系来理解

δ(·)与ε(·)之间的微积分(和差)关系，可以类比到h(·)与g(·)之间

• 离散系统与连续系统之间的运算也可以类比对应

连续系统中的微分对应离散系统中的差分，连续系统中的积分对应离散系统的累加和

2. 利用关系简化计算

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离散信号与卷积和

序列的时域分解

卷积和

公式定义

• 一言以蔽之，卷积和定义的本质之下就是离散信号的时域分解
  

• 可以类比在连续系统中，我们把连续信号的时域分解（积分）定义为卷积积分
  
• 无论是定义卷积还是定义卷积和，其操作都是在对信号进行时域分解，而分解的目的在于将任意输入信号转换成基本信号的组合，从而可以使得【任意输入对系统产生的响应】这一问题的求解有思路可循。
  

• 因果序列的卷积和运算
  

求解方法（图解、不进位乘法）

1. 图解法
（1）方法论

（2）示例

用图解法来求解离散信号的卷积过程，同样可以对连续信号卷积积分的图解法进行类比。

不管是卷积积分还是卷积和，图解法都很适合求解卷积在某个特定点上的值。

E.g.1 求解某特定点上的卷积和

E.g.2 求解任意点的卷积和

2. 不进位乘法
（1）基本思想

（2）示例

性质

1. 常见性质及公式

2. 利用性质求解卷积

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离散系统的算子描述

在信号与系统中（不论是离散还是连续），引入算子的目的在于将微分(或差分)方程转换成代数方程，运用代数的求解技巧来求解方程。

差分算子

1. 一般定义

2. 离散系统的差分算子

传输算子

1. 传输算子的定义

2. 传输算子的性质

3. 传输算子的求解及意义

• 引入传输算子有利于通过系统框图列写系统的响应
• 传输算子和差分方程可以建立一一对应的关系，可以从其中一个导出另一个