线性空间与线性变换之“基与维数”

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【目录】

1. 基与维数的定义
2. 基与维数的相关命题
   • <线性空间不一定存在基>
   • <n维线性空间中的任意n+1个向量均为线性相关的>
   • <n维线性空间中的任意n个线性无关的向量均可作为空间中的一组基>
   • 常见的向量空间及其基的求解
3. 向量坐标及其相关概念
   • 坐标的定义
   • 有关坐标的相关定理

本节内容中最需要理解的一个思想就是——将抽象线性空间中的向量转换成具体的列向量空间

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一.基与维数的定义

1. 线性空间的一组基
   

这个定义可以和线性代数中的两个概念进行类比
①向量组的极大线性无关向量组
向量组中的一组线性无关的向量，且向量组中的其他向量均可以用这几个向量线性表示，那么这一组向量就成为原向量组的极大线性无关向量组。

②齐次线性方程组的基础解系
齐次线性方程组的基础解系就是它的一组解向量，这组向量本身线性无关，且解集合中的任何一个解可以由这组向量线性表示。

2. 向量空间的维数

类比一下极大线性无关向量组的秩的概念

向量空间的基中的向量的个数就称为向量空间的维数。

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二.基与维数的重要命题

1. 若dimV = n，则V中任意n+1个向量线性相关。

根据线性相关的第三条性质：
“若t>s，β1，β2，…，βt可由α1，α2，…，αs线性表示，则β1，…，βt一定是线性相关的”

已知a1,a2,…,an是V的一组基，根据基的定义，V中的任意n+1个向量都可以由a1,a2,…,an线性表示，那么V中的且n+1>n，那么V中的任意n+1个向量一定是线性相关的。

2. 线性空间的基不一定存在

①如：零空间V = {θ}

零空间中只含有一个零向量，可以验证该集合是符合数乘与加法的封闭性的，所以零空间肯定是一个线性空间。

但是由前一节中所讨论过的性质可得，含有零向量的向量组一定是线性相关的，故肯定找不到零空间的基。
便于理解地，我们定义dimV = 0

②如：V = F[x]

先来复习一遍我一直学不会的这个集合的文字定义：系数定义在数域F上的关于x的多项式集合。


论证：证明该空间找不到基，我们需要使用上文中的命题1【若dimV = n，则V中任意n+1个向量线性相关。】，只要我们找不到符合这样的要求的n即可。
选取V中的一组向量1,x,x²,x³,…,xⁿ,…（含有无穷个向量）
该向量组的任意一个子向量组都是线性无关的，找不到线性相关的向量组，故不存在基。
同样地，我们可以定义dimV = ∞，因为我们可以找到无穷多个向量，其内任意有限个向量构成的向量组都是线性无关的。

【例】常见的线性空间及其基

要记住 F^sxn这类线性空间，后续常用它来进行举例，这样的空间dim = s*n，其中其基可以用集合{Eij}来表示，每一个矩阵都称为矩阵单元。

注意区分Fn[x]和F[x]的区别，Fn[x]中的每一个多项式都严格地低于n次，所以dimFn[x] = n

再来对比分析一下例4和例5，在例4中，可以找到一组基为1和i（复数单位，也即根号-1）
至于怎么理解例4对应的线性空间的基是1和i，可以想到复数（例4实际上表示的就是全体复数和0的集合）可以统一用a+bi的形式表示，将a和b看成坐标，那么1和i自然就是坐标基。


但是例5中的数域F有了一些不同，所以对于例5而言，基是1，空间的维数是1.

【在弹幕中看到了一句话，有助于我们分析不同线性空间的基和维数，“F数域规定了你可以采用的组合方式”，当明确了组合方式，就可以明确进行线性组合的各个基】

又回到我们在第一节中讨论过的这个特殊的线性空间（注意这个空间定义的数乘和加法运算是非常规的，不清楚的移步《线性空间与线性变换（1）》）

在这个空间中，所有的非1正实数都可以作为向量的基，比如我们令2为基，可以证明任何一个R+中的数都可以由2线性表示（在《线性空间与线性变换（1）》）中我们已经证明过3可以由2进行线性表示）.

不能选取1为基是因为在该线性空间中，1是零向量。

3. 若dimV = n,则V中任意n个线性无关的向量均构成V的基。

在证明一组向量是线性空间的基的时候，按照基的定义进行证明即可：
①满足线性无关条件 ②满足可以线性表示的条件

论证：
按照题意，空间V中存在n个线性无关的向量α1，α2，…，αn，那么已经满足了线性无关的条件。
接下来要证明可以线性表示，即证明对于空间中的任意一个向量η，η可以由α1，α2，…，αn线性表示，也就是α1，α2，…，αn，η是线性相关的^[1]。

根据前文的命题1，可知在n维线性空间中任意n+1个向量都是线性相关的。
故证毕。

[1]:在《线性空间与线性变换（1）》中同样论述过该性质定理：“若α1，α2，…,αs线性无关，但β，α1，α2，…,αs线性先关，则β可由α1，α2，…,αs线性表示，而且，线性表示的方法是唯一的”

【例】

法一的思路就是按照基的定义去证明——
①首先要证明这几个向量是线性无关的，那就是对于线性组合表达式为0，有且只有系数全为0才能满足。
②再去证明线性空间中的任意一个向量都可以用这几个向量去线性表示：即对于任意的a,b,c，右下角对应的方程都应该有解。

按照法二的思路，就是充分利用结论3——
则①证明对应的向量空间的维度为3
②证明该3个向量是线性无关的

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三. 坐标的相关概念

1. 坐标的定义
   

在看到“坐标”这个概念的时候，一定要明确，坐标是和基相互关联的，一个坐标是基于某一个基成立的。

2. 有关向量坐标定义的注意事项

①线性空间的基是有序的

在定义线性空间的基时我们曾说可以借鉴极大线性无关向量组的定义，但是对于极大线性无关向量组来说，各个向量的顺序并不重要。
而因为线性空间的基和向量的坐标是相对应的，所以基中的向量的顺序是会影响向量的坐标顺序的。

②基的几何意义

引入基的概念最本质的目的就是把几何问题转换成代数问题，进行求解。
将两个向量之间的关系和运算转换成两个向量的坐标之间的关系和运算。

还有一个好处，基的建立和提取往往是从原线性空间中提取出来的，具有一定的抽象性；但是一个向量对应的向量是我们很熟悉的线性空间Fⁿ的元素，将一个抽象事物转换成了我们熟悉的一个具象的事物。

3. 有关坐标的相关定理

假设η，ηi∈V在基α1，α2，…，αn下的坐标分别是X及Xi，i = 1,2,…,n.

①有关零向量

该定理的白话理解就是零向量的各维坐标均为0.

这里要注意θ的一般性和特殊性，θ是线性空间中定义的零向量，对于一个抽象的线性空间中的向量η来说，θ向量是一般的，要根据空间和空间上定义的运算来决定；对于一个具体的线性空间（坐标对应的Fⁿ）来说，这里的θ就是特殊的，即为n维零向量。

②、③线性组合与线性相关性

证明略去，这里注意定理的左边对应的都是抽象线性空间中元素之间的关系，定理的右边对应的都是具体线性空间Fⁿ中的元素关系；因此，引入基和坐标的概念的确将抽象线性空间的运算转移到了具体线性空间中的关系。

【例子】-证明抽象线性空间的向量组的线性相关性

根据【抽象线性空间↔具体线性空间】的思路
①先找到F3[x]空间中的一组基1，x，x²
②将三个向量f1,f2,f3分别转化成基下的坐标向量
③判断这三个基向量组成的向量组是否线性相关。

【判断Fⁿ中向量组线性相关性的方法】
法一：将这三个向量组成矩阵，
然后通过初等行变换将矩阵变成阶梯型矩阵，求解该矩阵的秩是否等于向量组中向量的个数
或者对矩阵进行行列式的求解，求解其行列式是否为0

法二：按照线性相关性的定义，使用定义式将三个向量写成k1α1+k2α2+k3α3=0的形式，然后求解这个向量方程，观察是否有非零解。
<使用定义的方法本质上和将向量组成矩阵进行求解的方法是一致的>

【例子】-找到抽象向量组的极大线性无关组

同样按照上面例子中的转换思路，将抽象线性空间中的向量运算转换成Fⁿ的线性运算

对于一个F^2x2的线性空间，我们无法按照之前那样将列向量增广成一个矩阵来进行运算，所以——

①先将各个向量的在某一个基下的坐标表示出来，从而得到四个列向量

②问题转换成了求Fⁿ中的向量组的极大线性无关组
a.将列向量增广成矩阵
b.对矩阵进行行初等变换，转换成阶梯型矩阵
c.主元对应的列号就是坐标对应的向量组的无关向量组
d.根据前面讨论过的定理，坐标的线性无关组可以转换成抽象空间中的向量组的极大线性无关向量组。

<拓展>
既然根据上文的证明已经知道A和B就是这个向量组A，B，C，D的极大线性无关向量组，那么我们想要把C和D都用A和B线性表示出来。

同样的，对于抽象线性空间的向量的线性表示可以转换成其对应坐标空间的线性表示，那么只需要把我们上面求解出来的阶梯矩阵进一步化简，转换成最简形矩阵即可。（也就是除了主元必须为1以外，主元所在列的其他元素都要转换为0）

从而可以通过向量坐标之间的线性关系求解出向量本身的线性关系

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4. “向量在某一组基下的坐标表示”の形式记号

（1）一个向量在某一组基下的线性表示

（2）一个向量组可以由另一个向量组线性表示

①单独看每一个β向量，都可由α组向量进行线性表示

②可以将一组向量均引入，那么就用矩阵来进行表示

③通式记号

注意这里的表示只是一种记号方式，并不是严格的矩阵定义，因为α和β向量均不一定是严格的列向量。

（3）形式记号的性质

【例】-形式记号表示的一些特征
充分性证明

首先可以感受一下，引入了相关记号后，进行证明会变得简洁很多。

核心思路是图中的右上部分红框所示：一个向量组线性相关↔对应的齐次线性方程组是有非零解的。
采用反证法，假设A不是逆矩阵，根据推导能够推出β组向量是线性相关的，与题意产生了矛盾，所以得到结论：A就是可逆矩阵。

这里还要注意一下，在这里的证明过程中。零向量θ表示的就是全零向量。

必要性证明