在学习数据结构中的树时，会遇到如下两个结论：

① 高度为h的m叉树至多结点数为
$$(m^h-1)/(m-1)............①$$

② 具有n个结点的m叉树的最小高度为$$\lceil lo{g}_m(n(m-1)+1)\rceil ............②$$

许多初学者并不知道是怎么推出来的，死记又费时间

本篇文章来具体推导一下公式

高度为h的m叉树至多结点数

由结论，度为 $m$ 的树中，第 $i$ 层上至多有 $m^{i-1}$ 个结点

于是可得如下表格：

高度	结点总数
1	$1$
2	$1+m$
3	$1+m+m^2$
4	$1+m+m^2+m^3$
5	$1+m+m^2+m^3+m^4$
···	$\cdot \cdot \cdot$
i	$1+m+m^2+\cdot \cdot \cdot +m^{i-1}$

现在，设高度为h的m叉树至多所需结点数为n，
那么结合上述表格，可得：
$$n=1+m+m^2+\cdot \cdot \cdot +m^{h-1}$$
由等比数列求和公式
$$S=a_1\frac{1-q^n}{1-q}$$
其中，a1为首项，q为公比，n为项数，S为等比数列前n项和。

于是原式可以化为

$$n=(m^h-1)/(m-1)$$
由于n一定是整数，所以$n\le (m^h-1)/(m-1)$ ，

即高度为h的m叉树至多结点数为
$$(m^h-1)/(m-1)............①$$

具有n个结点的m叉树的最小高度

现在开始推导具有n个结点的m叉树的最小高度。

首先由上面刚推出来的①式
$$n=(m^h-1)/(m-1)............①$$
化出关于h的表达式

$$n(m-1)=m^h-1$$$$m^h=n(m-1)+1$$$$lo{g}_m{m}^h=lo{g}_m(n(m-1)+1)$$$$h=lo{g}_m(n(m-1)+1)$$

因为h只能是正整数，所以向上取整原式。最终表达式

即具有n个结点的m叉树的最小高度：
$$h=\lceil lo{g}_m(n(m-1)+1)\rceil ............②$$




综上，本篇文章推导了以下两个式子：
① 高度为h的m叉树至多结点数为
$$(m^h-1)/(m-1)............①$$

② 具有n个结点的m叉树的最小高度为$$\lceil lo{g}_m(n(m-1)+1)\rceil ............②$$


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