这里采用工科数学分析中对闭包的定义。

前置知识：
定义 设$A$是$R^n$中的一个点集，$a\in R^n$。若$\exists A$中的点列 { x n } \{x_n\} {xn​}（$x_k\ne a,k=1,2,\dots$）使得$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_k=a$，则称$a$是$A$的一个聚点或极限点。$A$的所有聚点的集合称为$A$的导集，记作$A^{\prime }$。集合$\bar{A}=A\cup A^{\prime }$称为$A$的闭包。

定义 若$A^{\prime }\subseteq A$，则称$A$为闭集。

定理1 $a\in A^{\prime }⟺\forall \epsilon >0,\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$（$\varnothing$表示空集）。
证明：$⟹$： ∵ ∃ { x n } \because\exists\{x_n\} ∵∃{xn​}使得$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_k=a$，$\therefore \forall \epsilon >0$，$\exists N\in N^{+}$，使得$\forall k>N$，恒有$x_k\in \mathring{U}(a,\epsilon )$。而 { x n } ⊆ A \{x_n\}\subseteq A {xn​}⊆A，故$x_k\in A$，于是$\forall \epsilon >0$，$\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$。
$⟸$：由$\forall \epsilon >0$，$\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A\ne \varnothing$，要找到 { x n } \{x_n\} {xn​}（$x_k\ne a,k=1,2,\dots$）使得$\underset{k\to \infty }{\lim }{x}_k=a$。$\forall k\in N^{+}$，取${\delta }_k=\frac{1}{k}$，必存在$x_k\in \mathring{U}(a,{\delta }_k)\cap A$。这样就确定了点列 { x n } \{x_n\} {xn​}。$\forall \epsilon >0$，$\exists N=\lceil \frac{1}{\epsilon }\rceil \in N^{+}$，$\forall k>N$，都有$\Vert x_k-a\Vert <\frac{1}{k}<\frac{1}{N}<\epsilon$。$\therefore \underset{k\to \infty }{\lim }{x}_k=a$。∎

定义 设$A\subseteq R^n,a\in R^n$，若$\exists \delta >0$，使得$U(a,\delta )\subseteq A$，则称$a$是集合$A$的内点。由$A$的所有内点组成的集合称为$A$的内部，记作$A^{\circ }$或$\text{int}A$。

定义 若$A\subseteq A^{\circ }$，则称$A$为开集。

引理 邻域一定是开集。
证明：设有$a$的邻域$U(a,\delta )$。任取$p\in U(a,\delta )$，记$p$到$a$的距离$d(p,a)=\rho$。令$S=U(p,\delta -\rho )$，$\forall q\in S$，$q$到$a$的距离$d(q,a)<d(q,p)+d(p,a)<\delta -\rho +\rho =\delta$，故$q\in U(a,\delta )$。于是$S\subseteq U(a,\delta )$，而$S$是$p$的邻域，故$p$是$U(a,\delta )$的内点。因为$p$取遍$U(a,\delta )$中的点，故$U(a,\delta )$为开集。∎

定理2（对偶原理） $A\subseteq R^n$为开集的充要条件是$A$的补集$A^C$为闭集。
证明：必要性：设$A$是开集，则$A^{\circ }\subseteq A$。根据闭集的定义，只要证明$(A^C{)}^{\prime }\subseteq A^C$。分类讨论：
(1) 若$(A^C{)}^{\prime }=\varnothing$，显然有$(A^C{)}^{\prime }\subseteq A^C$。
(2) 若$(A^C{)}^{\prime }\ne \varnothing$，设$a\in (A^C{)}^{\prime }$，则由定理1知$\forall \epsilon >0$，$\mathring{U}(a,\epsilon )\cap A^C\ne \varnothing$。由内点的定义知$x\notin A^{\circ }=A$，即$x\in A^C$，故$(A^C{)}^{\prime }\subseteq A^C$。
充分性：设$A^C$是闭集，即$(A^C{)}^{\prime }\subseteq A^C$。为了证明$A$是开集，只要证明$A\subseteq A^{\circ }$。设$a\in A$，则$a\notin A^C$。由于$(A^C{)}^{\prime }\subseteq A^C$，必有$a\notin (A^C{)}^{\prime }$。根据定理1的否命题，必$\exists {\delta }_0>0$，使得$\mathring{U}(a,{\delta }_0)\cap A^C=\varnothing$，故$\mathring{U}(a,{\delta }_0)\subseteq A$，又由$x\in A$，知$x\in A^{\circ }$，所以$A\subseteq A^{\circ }$。∎

下面是我们要证明的结论。
定理3 设$A$是$R^n$中的一个点集，则$\bar{A}=A\cup A^{\prime }$是闭集。
证明：由定理2我们知道，只要证明证明${\bar{A}}^C$为开集即可。任取$a\in R^n$，且$a\notin \bar{A}$。因此$a$不属于$A$，也不是$A$的聚点（$a\notin A^{\prime }$）。因为$a$不是$A$的聚点，所以由定理1的否命题知存在$a$的一个去心邻域$\mathring{U}(a)$使得$\mathring{U}(a)\cap A=\varnothing$。取 U ( a ) = U ˚ ( a ) ∪ { a } U(a)=\mathring{U}(a)\cup \{a\} U(a)=U˚(a)∪{a}。要证${\bar{A}}^C$为开集，只需证$U(a)\cap \bar{A}=\varnothing$。而已经有$U(a)\cap A=\varnothing$，且$\bar{A}=A\cup A^{\prime }$，故只需证$U(a)\cap A^{\prime }=\varnothing$，即$U(a)$中没有$A$的聚点。采用反证法。倘若$\exists p\in U(a)$且$p$是$A$的聚点，则根据定理1知$\forall \mathring{U}(p)$都有$\mathring{U}(p)\cap A\ne \varnothing$。根据引理知$U(a)$为开集，即$\exists U(p,\delta )$使得$U(p,\delta )\subseteq U(a)$。而又有$\mathring{U}(p,\delta )\cap A\ne \varnothing$，故$U(p,\delta )\cap A\ne \varnothing$，又$U(p,\delta )\subseteq U(a)$，因此$U(a)\cap A\ne \varnothing$，与$U(a)\cap A=\varnothing$矛盾。因此$U(a)$中没有$A$的聚点，$U(a)\cap \bar{A}=\varnothing$。由于$a$是任取的，根据开集的定义可知${\bar{A}}^C$是开集，所以$\bar{A}$是闭集。∎

参考：Stack Exchange