Part.I Introduction

高中及大学时代，苦『积分』久矣，当时如掌握了此『黑科技』，课堂作业岂不是秒秒钟搞定。本文将介绍如何用 Python 求积分，包括求一重积分、二重积分等等。

需要的包有

• sympy：符号工具包
• scipy：科学计算包

from sympy import *
from scipy.stats import *

Part.II 基础知识

在正式开始之前，首先需要了解下面的一些基础知识。

Chap.I 特殊量的表示

在求积分的过程中，会用到许多像『无穷大』、『PI』等特数量，它们在sympy库中是如何表示的呢？下面一个表格对它们进行了汇总

代码表示	符号	含义
pi	$\pi$	圆周率
oo	$\infty$	无穷大
-oo	$-\infty$	负无穷大
exp(x)	$e^x$	自然常数的 x 次幂
log(x)	$ln(x)$	以自然常数为底的对数 $lo{g}_{e}x$
erf(x)	$\mathrm{erf}(x)$	误差函数 $\mathrm{erf}(x)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{-t^2}dt$
erfc(x)	$\mathrm{erfc}(x)$	误差函数补 $\mathrm{erfc}(x)=1-\mathrm{erfc}(x)$
erfi(x)	$\mathrm{erfci}(x)$	虚误差函数 $\mathrm{erfci}(x)=-i\mathrm{erf}(ix)=\frac{2}{\sqrt{\pi }}{\int }_0^x{e}^{t^2}dt$

Chap.II integrate 函数简析

求积分的函数 integrate() 在scipy 包中被定义，它的常用方法汇总如下表所示

代码	含义
integrate(f(x),x)	计算不定积分 $\int f(x)dx$
integrate(f(x),(x,a,b))	计算定积分 ${\int }_a^{b}f(x)dx$
integrate(f(x,y),x,y)	计算双重不定积分 $\int \int f(x,y)dxdy$
integrate(f(x,y),(x,a,b),(y,c,d))	计算双重定积分 ${\int }_c^d{\int }_a^{b}f(x,y)dxdy$

更高重积分同理

Part.III 求积分实例

这部分介绍几个求积分的实例。

Chap.I 一重积分

求不定积分

求下面的不定积分
$$F(x)=\int \frac{x{e}^x}{(e^x+1{)}^2}dx$$
代码如下

def singleIntegral_a():
    """ 一重不定积分 """
    x = symbols('x')
    print(integrate(x*exp(x)/(exp(x)+1)**2, x))
    return

结果为

x - x/(exp(x) + 1) - log(exp(x) + 1)

即
$$F(x)=x-\frac{x}{e^x+1}-ln\left(e^x+1\right)$$

---

求定积分
$$F(x)={\int }_0^1{x}^2+e^x+1dx$$
代码如下

def singleIntegral_b():
    """ 一重定积分 """
    x = symbols('x')
    fmt=integrate(x**2 + exp(x) + 1, (x, 0, 1))
    print(fmt)
    print(fmt.evalf())
    return

结果为

1/3 + E
3.05161516179238

Chap.II 二重积分

求不定积分
$$\int e^{x^2+y^2}dx$$
代码如下：

def doubleIntegral_a():
    """ 二重不定积分 """
    x, y = symbols('x y')
    fmt = integrate(exp(x**2+y**2),x,y)
    print(fmt)
    #print(fmt.evalf())
    return

结果为

pi*erfi(x)*erfi(y)/4

即
$$F(x)=\frac{\pi }{4}\cdot \mathrm{erfci}(x)\cdot \mathrm{erfci}(y)$$

如果设定范围 $x\in [0,1],y\in [1,2]$，则代码为

def doubleIntegral_a():
    """ 二重不定积分 """
    x, y = symbols('x y')
    fmt = integrate(exp(x**2+y**2),(x, 0, 1), (y, 1, 2))
    print(fmt)
    print(fmt.evalf())
    return

结果为

-pi*erfi(1)**2/4 + pi*erfi(1)*erfi(2)/4
21.9251145961748

---

求定积分
$$F(x)={\int }_0^1{\int }_0^{3-2y}xydxdy$$
代码如下：

def doubleIntegral_b():
    """ 二重定积分 """
    x, y = symbols('x y')
    fmt = integrate(x * y, (x, 0, 3 - 2*y), (y, 0, 1))
    print(fmt)
    print(fmt.evalf())
    return

结果为

3/4
0.750000000000000

Reference

• 用 python 的库 sympy 求积分
• Python 求高斯误差函数 erf 和 erfc
• 【微积分】常用积分公式