前两篇博客分别总结了numpy和Pytorch中常用的乘法函数：

numpy常用乘法函数总结：np.dot()、np.multiply()、*、np.matmul()、@、np.prod()、np.outer()-CSDN博客

• 主要是 np.dot()、np.multiply()、*、np.matmul()、@ 五种，其中 np.matmul() 和 @ 完全等价，np.multiply() 和 * 在输入数据类型为 np.array 时也完全等价

Pytorch常用乘法函数总结：torch.mul()、*、torch.mm()、torch.bmm()、torch.mv()、torch.dot()、@、torch.matmul()-CSDN博客

• torch.mul() 和 * 等价，为element-wise乘，可广播；
• torch.mm() 二维矩阵乘法，torch.bmm() 三维批量矩阵乘法，均不可广播；
• torch.mv(mat, vec) 为矩阵向量乘法，不可广播；
• torch.dot() 仅支持两个一维向量点积，返回一个标量数字；
• @ 矩阵乘法，等价于 torch.dot() + torch.mv() + torch.mm()；
• torch.matmul() 矩阵乘法，与 @ 类似，但它不止一维二维，可扩高维，可广播

本文总结TensorFlow常用的乘法函数，代码示例以TensorFlow2.x为例，其中 tf.tensordot() 这个函数的用法比较复杂；tf.einsum() 可以理解为一个通用的函数模板，在numpy和Pytorch中也有类似的函数和用法

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常用

tf.multiply() 或 *【元素对位相乘】

tf.multiply(x, y) 等价于 x*y，为矩阵的element-wise乘法，要求两个矩阵的shape一致，或其中一个维度为1（扩展为另一个矩阵对应位置的维度大小） 

import tensorflow as tf

X = tf.constant([[1, 2, 3], [4, 5 ,6]], dtype=tf.float32)
Y = tf.constant([[1, 1, 1], [2, 2 ,2]], dtype=tf.float32)
Z = tf.multiply(X, Y)       # 乘法操作，对应位置元素相乘

out：
tf.Tensor(
[[ 1.  2.  3.]
 [ 8. 10. 12.]], shape=(2, 3), dtype=float32)

tf.matmul() 或 @【矩阵乘法】

tf.matmul(x, y) 等价于 x@y，为矩阵乘法，参与运算的是最后两维形成的矩阵

• 矩阵-向量乘法不能用这个函数，会报错，应该用 tf.linalg.matvec() 
• 两个向量的点积不能用这个函数，会报错，可以用以下两种方式：
  • tf.tensordot(a, b, axes=1) 或 tf.tensordot(a, b, axes=[0, 0])
  • tf.reduce_sum(tf.multiply(a, b))

import tensorflow as tf

X = tf.constant([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], dtype=tf.float32)
Y = tf.constant([[1, 2], [1, 2], [1, 2]], dtype=tf.float32)
Z = tf.matmul(X, Y)         # 矩阵乘法操作

out：
tf.Tensor(
[[ 6. 12.]
 [15. 30.]], shape=(2, 2), dtype=float32)

---

不常用

tf.scalar_mul()【参数之一为标量】

标量和张量相乘（标量乘标量或向量或矩阵）

import tensorflow as tf

x = tf.constant(2, dtype=tf.float32)

Y1 = tf.constant(3, dtype=tf.float32)
Z1 = tf.scalar_mul(x, Y1)         # 标量×标量

Y2 = tf.constant([1, 2, 3], dtype=tf.float32)
Z2 = tf.scalar_mul(x, Y2)         # 标量×向量

Y3 = tf.constant([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], dtype=tf.float32)
Z3 = tf.scalar_mul(x, Y3)         # 标量×矩阵

out：
tf.Tensor(6.0, shape=(), dtype=float32)
tf.Tensor([2. 4. 6.], shape=(3,), dtype=float32)
tf.Tensor(
[[ 2.  4.  6.]
 [ 8. 10. 12.]], shape=(2, 3), dtype=float32)

tf.tensordot()

参考了博客 tensorflow和numpy库中tensordot详解-CSDN博客，但是规则看的有点迷糊 = = 按照我容易理解的方式归纳总结了几种情况

tf.tensordot(
    a,
    b,
    axes,
    name=None   # 操作的名称（可选）
)

其中a和b是32位或者64位的tensor张量
axes:可以取值为整数N,代表的是a的倒数N个维度和b的正数N个维度相乘求和
也可以采用元组或者列表的形式，例如axes=(1,1)或者axes=[1,1]
函数输出的结果是两个张量按照上述规则形成的n维数组

一维

axes=0（将第一个向量中的每个标量乘以第二个向量） 

import tensorflow as tf

a = tf.constant([1, 2, 3], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([4, 5, 6], dtype=tf.float32)
z = tf.tensordot(a, b, axes=0)

out：
<tf.Tensor: shape=(3, 3), dtype=float32, numpy=
array([[ 4.,  5.,  6.],
       [ 8., 10., 12.],
       [12., 15., 18.]], dtype=float32)>

axes=1（两个一维向量的点积，等价于axes=[0,0]）

import tensorflow as tf

a = tf.constant([1, 2, 3], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([4, 5, 6], dtype=tf.float32)
z = tf.tensordot(a, b, axes=1)   # 等价于 tf.tensordot(a, b, axes=[0,0])

out：
<tf.Tensor: shape=(), dtype=float32, numpy=32.0>

二维

axes=0 对每一列操作，axes=1 对每一行操作

axes=0（将第一个矩阵中的每个标量乘以第二个矩阵整体，结果4维） 

import tensorflow as tf

a = tf.constant([[1,2,3],[4,5,6]], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([[4,5,6],[7,8,9]], dtype=tf.float32)
z = tf.tensordot(a, b, axes=0)

out：
<tf.Tensor: shape=(2, 3, 2, 3), dtype=float32, numpy=
array([[[[ 4.,  5.,  6.],
         [ 7.,  8.,  9.]],

        [[ 8., 10., 12.],
         [14., 16., 18.]],

        [[12., 15., 18.],
         [21., 24., 27.]]],


       [[[16., 20., 24.],
         [28., 32., 36.]],

        [[20., 25., 30.],
         [35., 40., 45.]],

        [[24., 30., 36.],
         [42., 48., 54.]]]], dtype=float32)>

axes=1（对第二个参数转置后矩阵乘法） 

直接 tf.tensordot(a, b, axes=1) 会报错

import tensorflow as tf

a = tf.constant([[1,2,3],[4,5,6]], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([[4,5,6],[7,8,9]], dtype=tf.float32)
z = tf.tensordot(a, b, axes=1)

out：报错 
InvalidArgumentError: Matrix size-incompatible: In[0]: [2,3], In[1]: [2,3] [Op:MatMul]

把b进行转置后才不会报错，即 tf.tensordot(a, tf.transpose(b), axes=1)，等价于 tf.matmul(a, tf.transpose(b))

import tensorflow as tf

a = tf.constant([[1,2,3],[4,5,6]], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([[4,5,6],[7,8,9]], dtype=tf.float32)
z = tf.tensordot(a, tf.transpose(b), axes=1)

out：
<tf.Tensor: shape=(2, 2), dtype=float32, numpy=
array([[ 32.,  50.],
       [ 77., 122.]], dtype=float32)>

axes=2（均展平为一维向量再做向量内积） 

import tensorflow as tf

a = tf.constant([[1,2,3],[4,5,6]], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([[4,5,6],[7,8,9]], dtype=tf.float32)
z = tf.tensordot(a, b, axes=2)

out：
<tf.Tensor: shape=(), dtype=float32, numpy=154.0>

axes=[0,0]（两个矩阵的列向量对应元素依次相乘再相加） 

import tensorflow as tf

a = tf.constant([[1,2,3],[4,5,6]], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([[4,5,6],[7,8,9]], dtype=tf.float32)
z = tf.tensordot(a, b, axes=[0,0])

out：
<tf.Tensor: shape=(3, 3), dtype=float32, numpy=
array([[32., 37., 42.],
       [43., 50., 57.],
       [54., 63., 72.]], dtype=float32)>

axes=[1,1]（无需转置，直接等价于矩阵乘法）

import tensorflow as tf

a = tf.constant([[1,2,3],[4,5,6]], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([[4,5,6],[7,8,9]], dtype=tf.float32)
z = tf.tensordot(a, b, axes=[1,1])

out：
<tf.Tensor: shape=(2, 2), dtype=float32, numpy=
array([[ 32.,  50.],
       [ 77., 122.]], dtype=float32)>

等价于 tf.matmul(a, tf.transpose(b))

三维（前二维后三维）

axes=1（二维的每一行依次乘以三维的每一组，结果为3维）

假设给定的a是二维向量，b是三维向量，那么就是a的最后一个维度和b的第一个维度进行计算

import tensorflow as tf

a = tf.constant([[4,7],[5,8],[6,9]], dtype=tf.float32)     # (3,2)
b = tf.constant([[[1,2,3],[4,5,6]],[[4,5,6],[7,8,9]]], dtype=tf.float32)   # (2,2,3)
z = tf.tensordot(a, b, axes=1)

out：
<tf.Tensor: shape=(3, 2, 3), dtype=float32, numpy=
array([[[ 32.,  43.,  54.],
        [ 65.,  76.,  87.]],

       [[ 37.,  50.,  63.],
        [ 76.,  89., 102.]],

       [[ 42.,  57.,  72.],
        [ 87., 102., 117.]]], dtype=float32)>

计算过程以(4,7)为例，其他类似： 

axes=2（需要对三维转置才不会报错）

假设给定的a是二维向量，b是三维向量，直接 tf.tensordot(a, b, axes=2) 会报错

import tensorflow as tf

a = tf.constant([[4,7],[5,8],[6,9]], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([[[1,2,3],[4,5,6]],[[4,5,6],[7,8,9]]], dtype=tf.float32)
z = tf.tensordot(a, b, axes=2)

out：报错
InvalidArgumentError: Matrix size-incompatible: In[0]: [1,6], In[1]: [4,3] [Op:MatMul]

把b进行转置后才不会报错，即 tf.tensordot(a, tf.transpose(b), axes=2)

import tensorflow as tf

a = tf.constant([[4,7],[5,8],[6,9]], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([[[1,2,3],[4,5,6]],[[4,5,6],[7,8,9]]], dtype=tf.float32)
z = tf.tensordot(a, tf.transpose(b), axes=2)

out：
<tf.Tensor: shape=(2,), dtype=float32, numpy=array([154., 271.], dtype=float32)>

三维（前三维后二维） 

tensorflow中多维tensor运算（tf.multiply, tf.matmul, tf.tensordot）_tensorflow tensor 多维 不同维度索引-CSDN博客

import tensorflow as tf
a = tf.constant([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 
                 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 
                 21, 22, 23, 24], shape=[2, 3, 4])
b = tf.constant([1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12], shape=[4, 3])
 

c = tf.tensordot(a, b, axes=1)
# 同 tf.matmul，普通矩阵相乘
# shape: [2, 3, 4] x [4, 3] = [2, 3, 3]
 
 
d = tf.tensordot(a, b, axes=2) 
# 对a的后2个轴的数据进行Flatten，即a的shape变成 [2, 3X4] = [2, 12];
# 对b的前2个轴的数据进行Flatten，即b的shape变成[12]
# shape: [2, 12] x [12] = [2,]
 
 
e = tf.tensordot(a, b, axes=([1,2], [0,1]))
# 分别指定两个轴，此结果同 tf.tensordot(a, b, axes=2) 
# 对a的后2个轴（索引1，2）的数据进行Flatten，即a的shape变成 [2, 3X4] = [2, 12];
# 对b的前2个轴（索引0，1）的数据进行Flatten，即b的shape变成[12]，展开结果[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12]
# shape: [2, 12] x [12] = [2,]
 
 
f = tf.tensordot(a, b, axes=([1,2], [1,0]))
# 分别指定两个轴
# 对a的后2个轴（索引1，2）的数据进行Flatten，即a的shape变成 [2, 3X4] = [2, 12];
# 对b的前2个轴（索引1，0）的数据进行Flatten，即b的shape变成[12]
# 轴的顺序不同，展开方式不同，展开结果[1,4,7,10,2,5,8,11,3,6,9,12]
# shape: [2, 12] x [12] = [2,]
 
 
g = tf.tensordot(a, b, axes=([1], [1]))
# 指定任何轴，指定的轴形状一致
# shape: [2, 3, 4] x [4, 3] = [2, 4, 4] （消去（3，3））

再高维就不写了，看 tensorflow和numpy库中tensordot详解-CSDN博客 慢慢悟吧... 

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通用模板 .einsum()

einsum在numpy中实现为np.einsum，在PyTorch中实现为torch.einsum，在TensorFlow中实现为tf.einsum，函数格式均为 einsum(equation, inputs)，其中 equation是表示规则约定的字符串，inputs则是张量序列（在numpy和TensorFlow中是变长参数列表，在PyTorch中是列表）

详细的讲解看 tf.einsum—爱因斯坦求和约定-CSDN博客 就够了，本文在这里主要是举几个例子方便需要时查看

1、矩阵转置（transpose）

tf.einsum('ij->ji', a) 等价于 tf.transpose(a, [1, 0]) 或 tf.transpose(a)

import tensorflow as tf
a = tf.constant([[0, 1, 2], [3, 4, 5]], dtype=tf.float32)

input：
<tf.Tensor: shape=(2, 3), dtype=float32, numpy=
array([[0., 1., 2.],
       [3., 4., 5.]], dtype=float32)>

out：
<tf.Tensor: shape=(3, 2), dtype=float32, numpy=
array([[0., 3.],
       [1., 4.],
       [2., 5.]], dtype=float32)>

2、求和

tf.einsum('ij->', a) 等价于 tf.reduce_sum(a)

import tensorflow as tf
a = tf.constant([[0, 1, 2], [3, 4, 5]], dtype=tf.float32)

input：
<tf.Tensor: shape=(2, 3), dtype=float32, numpy=
array([[0., 1., 2.],
       [3., 4., 5.]], dtype=float32)>

out：
<tf.Tensor: shape=(), dtype=float32, numpy=15.0>

3、列求和

tf.einsum('ij->j', a) 等价于 tf.reduce_sum(a, axis=0)

import tensorflow as tf
a = tf.constant([[0, 1, 2], [3, 4, 5]], dtype=tf.float32)

input：
<tf.Tensor: shape=(2, 3), dtype=float32, numpy=
array([[0., 1., 2.],
       [3., 4., 5.]], dtype=float32)>

out：
<tf.Tensor: shape=(3,), dtype=float32, numpy=array([3., 5., 7.], dtype=float32)>

4、行求和

tf.einsum('ij->i', a) 等价于 tf.reduce_sum(a, axis=1)

import tensorflow as tf
a = tf.constant([[0, 1, 2], [3, 4, 5]], dtype=tf.float32)

input：
<tf.Tensor: shape=(2, 3), dtype=float32, numpy=
array([[0., 1., 2.],
       [3., 4., 5.]], dtype=float32)>

out：
<tf.Tensor: shape=(2,), dtype=float32, numpy=array([ 3., 12.], dtype=float32)>

5、矩阵-向量相乘

tf.einsum('ik,k->i', a, b) 等价于 tf.linalg.matvec(a, b)

import tensorflow as tf
a = tf.constant([[1, 2, 3], [4, 5, 6]], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([0, 1, 2], dtype=tf.float32)

input：
<tf.Tensor: shape=(2, 3), dtype=float32, numpy=
array([[1., 2., 3.],
       [4., 5., 6.]], dtype=float32)>
<tf.Tensor: shape=(3,), dtype=float32, numpy=array([0., 1., 2.], dtype=float32)>

out：
<tf.Tensor: shape=(2,), dtype=float32, numpy=array([ 8., 17.], dtype=float32)>

6、矩阵-矩阵相乘

tf.einsum('ik,kj->ij', a, b) 等价于 tf.matmul(a, b)

import tensorflow as tf
a = tf.reshape(tf.range(6), (2, 3))
b = tf.reshape(tf.range(15), (3, 5))

input：
<tf.Tensor: shape=(2, 3), dtype=int32, numpy=
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5]])>
<tf.Tensor: shape=(3, 5), dtype=int32, numpy=
array([[ 0,  1,  2,  3,  4],
       [ 5,  6,  7,  8,  9],
       [10, 11, 12, 13, 14]])>

out：
<tf.Tensor: shape=(2, 5), dtype=int32, numpy=
array([[ 25,  28,  31,  34,  37],
       [ 70,  82,  94, 106, 118]])>

7、点积（Dot product）

tf.einsum('i,i->', a, b) 
等价于 tf.tensordot(a, b, axes=1) 或 tf.tensordot(a, b, axes=[0, 0])
也等价于 tf.reduce_sum(tf.multiply(a, b))

import tensorflow as tf
a = tf.constant([0, 1, 2], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([3, 4, 5], dtype=tf.float32)

input：
<tf.Tensor: shape=(3,), dtype=float32, numpy=array([0., 1., 2.], dtype=float32)>
<tf.Tensor: shape=(3,), dtype=float32, numpy=array([3., 4., 5.], dtype=float32)>

out：
<tf.Tensor: shape=(), dtype=float32, numpy=14.0>

8、哈达玛积（逐元素相乘）

tf.einsum('ij,ij->ij', a, b) 等价于 tf.multiply(a, b)

import tensorflow as tf
a = tf.reshape(tf.range(6), (2, 3))
b = tf.reshape(tf.range(6, 12), (2, 3))

input：
<tf.Tensor: shape=(2, 3), dtype=int32, numpy=
array([[0, 1, 2],
       [3, 4, 5]])>
<tf.Tensor: shape=(2, 3), dtype=int32, numpy=
array([[ 6,  7,  8],
       [ 9, 10, 11]])>

out：
<tf.Tensor: shape=(2, 3), dtype=int32, numpy=
array([[ 0,  7, 16],
       [27, 40, 55]])>

9、外积（Outer product）

tf.einsum('i,j->ij', a, b) 等价于 tf.tensordot(a, b, axes=0)

import tensorflow as tf
a = tf.constant([0, 1, 2], dtype=tf.float32)
b = tf.constant([3, 4, 5, 6], dtype=tf.float32)

input：
<tf.Tensor: shape=(3,), dtype=float32, numpy=array([0., 1., 2.], dtype=float32)>
<tf.Tensor: shape=(4,), dtype=float32, numpy=array([3., 4., 5., 6.], dtype=float32)>

out：
<tf.Tensor: shape=(3, 4), dtype=float32, numpy=
array([[ 0.,  0.,  0.,  0.],
       [ 3.,  4.,  5.,  6.],
       [ 6.,  8., 10., 12.]], dtype=float32)>

10、batch矩阵相乘

tf.einsum('ijk,ikl->ijl', a, b) 等价于 tf.matmul(a, b)

import tensorflow as tf
a = tf.random.normal((3, 2, 5))
b = tf.random.normal((3, 5, 3))

out：
<tf.Tensor: shape=(3, 2, 3), dtype=float32, numpy=
array([[[-0.13089229,  0.2916508 ,  1.7230573 ],
        [-1.2323114 , -0.67534804, -1.7209171 ]],

       [[-0.07423151,  3.9215555 , -4.080279  ],
        [-0.05451638, -0.46641332,  1.6494975 ]],

       [[-0.23555136, -0.76107085, -1.1223997 ],
        [ 0.282961  , -0.37376913,  1.3674018 ]]], dtype=float32)>