隐函数求导

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前言

本文是在观看B站公开课《微积分的本质》时随课的记录，对内容和格式有问题的朋友欢迎评论和私信交流~

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#1 隐函数和隐函数求导

1. 隐函数的定义

隐函数是由隐式方程所隐含定义的函数。
设F(x,y)是某个定义域上的函数，如果存在定义域上的子集D，使得对每个x∈D，存在相应的y满足满足F(x,y)=0，则称该方程确定了一个隐函数。

• 隐函数和显函数是一组相对的概念，显函数就是用y=f(x)来表示的函数。
• 隐函数本身也是函数，故也应该要满足函数的定义。圆的方程严格来说并不是隐函数，因为作为一个函数，是不允许出现一对多的情况。
  
  

通俗一点理解，隐函数就是变量受到等式制约，而使得变量之间应该具有的一种映射关系。

• 隐函数曲线——满足某种关于变量x和y的性质，所有(x,y)点的集合。

2. 隐函数求导

如果一定要给隐函数求导制定一个定义的话，那就是求解出方程中隐含的函数的导数。

【计算总结】常用的隐函数求导的方法

①隐函数→显函数，常规的函数求导

②复合函数求导法则：例如对于F(x,y) = 0这样的隐函数，两边同时对x求导，但是要把y看做是关于x的函数，使用链式法则。

③一阶微分形式不变性，等式两边同时关于x求导。<隐函数求导法则>

④把n元隐函数看成是n+!元函数，使用多元函数的偏导计算来求导。

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#2 相关变化率问题

1. 问题描述
   一个梯子倚靠在墙上，梯子长5米，梯子的顶端以1米/秒的速度下滑，试问，梯子的底端离开墙角的速度是多少？

2. 问题分析

梯子底端距离墙的距离，完全是由梯子顶端离地高度决定的。

• 因为具有这样的制约关系，所以我们肯定是可以算出两端运动速度的相互关系的。

3. 问题求解

（1）对于两端距离分别命名为x(t)和y(t)，从而可以得到一个等式关系。

（2）求解方案列举
①隐函数→显函数

按照速度的定义，只要求解出x(t)关于时间的导数，自然就得到了底端运动的速度。

②1元隐函数→2元显函数

对于x(t)²+y(t)²=5²这样的等式，是可以抽象成F(t) = 0的形式，只看等式左边，就是一个显函数。

可以直接对这个显函数进行求导，又根据导数的实际意义，因为这个函数的值总是不变，所以在任何位置任何时刻进行任何变化，这个函数的变化率都为0.

【关于等式两边求导到底在求什么呢？】

• 对等式左边求导，其实就是在问“经过一小段时间dt，y和x都会进行一些改变，那么整个表达式的值会改变多少呢”
  ——求表达式的该变量
• 右边为0，因为表达式始终是一个常数。只有每次经过dt，表达式始终都不变化才能满足原等式。

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#3 经典的圆切线问题

1. 问题描述

需要对于形如x²+y²=R²的圆方程进行切线方程的求解

2. 问题求解

针对圆的方程式进行隐函数求导，使用一阶微分形式不变性。

3. 意义解读
   ①对等式两边进行同时求导，意味着要求不论x和y同时进行了怎样的微小变动，因为它是一个圆，所以总的表达式的变化量应该为0。

②相当于是保证了x和y在变化时每一步都落在过圆的一条切线上。

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#4 隐函数求导的应用

应用：从已有的导函数中推导出未知的导函数

从指数函数中推导出对数函数的导数。

• 可以把对数函数看成是一个表达简单的隐函数
• 根据对数和指数的定义，将对数关系转换成指数关系。
• 再针对指数关系式进行隐函数求导，变量代换之后就可以得到lnx的导数为(1/x)。

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原视频指路——