集合 A = { 1 , 2 , . . . , n } A=\{1,2,...,n\} A={1,2,...,n}，它含有$n$个元素，可以说这个集合的基数是$n$，记做$$cardA$$所谓基数，是表示集合中所含元素多少的量。如果$A$的基数是$n$，也可以记做$|A|=n$，显然空集的基数是$0$，即$|\varnothing |=0$.

文氏图

设$A$为集合，若存在自然数$n$，使得$|A|=cardA=n$，则称$A$为又穷集，否则称$A$为无穷集。

例如， { a , b , c } \{a,b,c\} {a,b,c}为又穷集，而$N,Z,Q,R$为无穷集。其中有穷集的计数问题可以使用文氏图很方便地解决。

容斥定理(包含排斥定理)

设$S$是有穷集，$p_1,p_2$分别代表两种性质，对于$S$中的任何一个元素$s$，只能处于以下4种情况之一：

1. 只具有性质$p_1$
2. 只具有性质$p_2$
3. 同时具有性质$p_1,p_2$
4. 不具有性质$p_1,p_2$中的任何一种

令$P_1,P_2$分别表示$S$中具有性质$p_1,p_2$的元素的集合，可以得到：$$|{\overline{P}}_1\cap {\overline{P}}_2|=|S|-(|P_1|+|P_2|)+|P_1\cap P_2|$$这便是容斥定理的一种简单形式

如果涉及三条性质，则包含排斥原理的公式变为：$$|{\overline{P}}_1\cap {\overline{P}}_2\cap {\overline{P}}_3|=|S|-(|P_1|+|P_2|+|P_3|)+(|P_1\cap P_2|+|P_1\cap P_3|+|P_2\cap P_3|)-|P_1\cap P_2\cap P_3|$$以此类推，可以得到容斥定理的一般形式：$$\begin{array}{rl}& |{\overline{P}}_1\cap {\overline{P}}_2\cap ...\cap {\overline{P}}_n|\\ & =|S|-\sum _{i=1}^n|P_i|+\sum _{1⩽i<j⩽n}|P_i\cap P_j|-\sum _{1⩽i<j<k⩽n}|P_i\cap P_j\cap P_k|\\ & +...+(-1{)}^n|P_1\cap P_2\cap ...\cap P_n|\end{array}$$容斥定理表示$S$中不具有性质$p_1,p_2,...,p_m$的元素数量为$|{\overline{P}}_1\cap {\overline{P}}_2\cap ...\cap {\overline{P}}_n|$

因此，与之对应的，在$S$中至少具有$p_1,p_2,...,p_m$其中一条性质的元素数量为:$$\begin{array}{rl}& |P_1\cup P_2\cup ...\cup P_n|\\ & =\sum _{i=1}^n|P_i|+\sum _{1⩽i<j⩽n}|P_i\cap P_j|+\sum _{1⩽i<j<k⩽n}|P_i\cap P_j\cap P_k|\\ & -...+(-1{)}^n|P_1\cap P_2\cap ...\cap P_n|\end{array}$$即：$$|{\overline{P}}_1\cap {\overline{P}}_2\cap ...\cap {\overline{P}}_n|=|S|-|P_1\cup P_2\cup ...\cup P_n|$$