导数与偏导
1. 导数 2 基本导数与微分表 3 偏导数 3.1 多变量函数 3.2 偏导数 4 多变量函数的最小值条件 5 参考资料
1. 导数
函数
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x) 的导函数
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)的定义如下所示：
该公式是指，当
∆
x
∆x
∆x 无限接近0时，
f
′
(
x
)
f'(x)
f′(x)最接近的值是多少。
例如：
当
f
(
x
)
=
3
x
f(x) = 3x
f(x)=3x 时，
当
f
(
x
)
=
x
2
f (x) = x^2
f(x)=x2 时，
常用的求导公式有：
(
k
)
′
=
0
、
(
k
x
)
′
=
k
、
(
x
k
)
′
=
k
x
k
−
1
、
(
e
x
)
′
=
e
x
、
(
e
−
x
)
′
=
−
e
−
x
(k)'=0、(kx)'=k、(x^k)'=kx^{k-1}、(e^x)'=e^x、(e^{-x})'=-e^{-x}
(k)′=0、(kx)′=k、(xk)′=kxk−1、(ex)′=ex、(e−x)′=−e−x（k为常数）
另一种表示方法：
f
′
(
x
)
=
d
y
d
x
f'(x) = \frac{dy}{dx}
f′(x)=dxdy
由于导函数 f ′ ( x ) f'(x) f′(x) 表示切线斜率，故：当函数f(x)在x = a处取得最小值时，f’(a) = 0。
2 基本导数与微分表
(1) 𝑦 = 𝑐 𝑦 = 𝑐 y=c（常数） 则： 𝑦 ′ = 0 ， 𝑑 𝑦 = 0 𝑦′=0，𝑑𝑦=0 y′=0，dy=0
(2) 𝑦 = x a 𝑦 = x^a y=xa ( a a a为实数) 则： 𝑦 ′ = a x a − 1 ， d y = a x a − 1 d x 𝑦′ = ax^{a-1}，dy = ax^{a-1}dx y′=axa−1，dy=axa−1dx
(3)
y
=
a
x
y= a^x
y=ax 则：
y
′
=
a
x
ln
a
，
d
y
=
a
x
ln
a
𝑑
𝑥
y′ = a^x\ln{a}，dy=a^x\ln{a}𝑑𝑥
y′=axlna，dy=axlnadx
特例:
(
e
x
)
′
=
e
x
，
d
(
e
x
)
=
e
x
d
x
(e^x)' = e^x，d(e^x) = e^xdx
(ex)′=ex，d(ex)=exdx
(4)
y
=
log
a
x
y=\log_ax
y=logax 则：
𝑦
′
=
1
𝑥
ln
𝑎
，
d
y
=
1
𝑥
ln
𝑎
d
x
𝑦′ = \frac1{𝑥\ln𝑎}，dy=\frac1{𝑥\ln𝑎}dx
y′=xlna1，dy=xlna1dx
特例:
𝑦
=
ln
𝑥
，
y
′
=
1
x
，
d
y
=
1
x
d
x
𝑦 = \ln{𝑥}，y′ = \frac1x，dy = \frac1xdx
y=lnx，y′=x1，dy=x1dx
(5) y = sin x y=\sin x y=sinx 则： y ′ = cos 𝑥 ， d ( sin 𝑥 ) = cos x d x y' = \cos 𝑥，d(\sin 𝑥) = \cos xdx y′=cosx，d(sinx)=cosxdx
(6) 𝑦 = cos 𝑥 𝑦 = \cos𝑥 y=cosx 则： 𝑦 ′ = − sin 𝑥 ， 𝑑 ( cos 𝑥 ) = − sin 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = −\sin𝑥，𝑑(\cos𝑥) = −\sin𝑥𝑑𝑥 y′=−sinx，d(cosx)=−sinxdx
(7) 𝑦 = tan 𝑥 𝑦 = \tan𝑥 y=tanx 则： 𝑦 ′ = 1 c o s 2 𝑥 = s e c 2 𝑥 ， 𝑑 ( tan 𝑥 ) = sec 2 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = \frac1{cos^2𝑥} = sec^2𝑥，𝑑(\tan𝑥) = \sec^2𝑥𝑑𝑥 y′=cos2x1=sec2x，d(tanx)=sec2xdx
(8) 𝑦 = cot 𝑥 𝑦 = \cot𝑥 y=cotx 则： 𝑦 ′ = − 1 s i n 2 𝑥 = − c s c 2 𝑥 ， 𝑑 ( cot 𝑥 ) = − csc 2 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = -\frac1{sin^2𝑥} = −csc^2𝑥，𝑑(\cot𝑥) = −\csc^2𝑥𝑑𝑥 y′=−sin2x1=−csc2x，d(cotx)=−csc2xdx
(9) 𝑦 = sec 𝑥 𝑦 = \sec𝑥 y=secx 则： 𝑦 ′ = sec 𝑥 tan 𝑥 ， 𝑑 ( sec 𝑥 ) = sec 𝑥 tan 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = \sec𝑥\tan𝑥，𝑑(\sec𝑥) = \sec𝑥\tan𝑥𝑑𝑥 y′=secxtanx，d(secx)=secxtanxdx
(10) 𝑦 = c s c 𝑥 𝑦 = csc𝑥 y=cscx 则： 𝑦 ′ = − csc 𝑥 cot 𝑥 ， 𝑑 ( csc 𝑥 ) = − csc 𝑥 cot 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = −\csc𝑥\cot𝑥，𝑑(\csc𝑥) = −\csc𝑥\cot𝑥𝑑𝑥 y′=−cscxcotx，d(cscx)=−cscxcotxdx
(11) 𝑦 = arcsin 𝑥 𝑦 = \arcsin𝑥 y=arcsinx 则： 𝑦 ′ = 1 1 − x 2 ， 𝑑 ( arcsin 𝑥 ) = 1 1 − x 2 𝑑 𝑥 𝑦′ = \frac1{\sqrt{1-x^2}}，𝑑(\arcsin𝑥) = \frac1{\sqrt{1-x^2}}𝑑𝑥 y′=1−x21，d(arcsinx)=1−x21dx
(12) 𝑦 = arccos 𝑥 𝑦 = \arccos𝑥 y=arccosx 则： 𝑦 ′ = − 1 1 − x 2 ， 𝑑 ( arccos 𝑥 ) = − 1 1 − x 2 𝑑 𝑥 𝑦′ = -\frac1{\sqrt{1-x^2}}，𝑑(\arccos𝑥) = -\frac1{\sqrt{1-x^2}}𝑑𝑥 y′=−1−x21，d(arccosx)=−1−x21dx
(13) 𝑦 = arctan 𝑥 𝑦 = \arctan𝑥 y=arctanx 则： 𝑦 ′ = 1 1 + x 2 ， 𝑑 ( arctan 𝑥 ) = 1 1 + x 2 𝑑 𝑥 𝑦′ = \frac1{1+x^2}，𝑑(\arctan𝑥) = \frac1{1+x^2} 𝑑𝑥 y′=1+x21，d(arctanx)=1+x21dx
(14) 𝑦 = arccot 𝑥 𝑦 = \text{arccot}\space𝑥 y=arccot x 则： 𝑦 ′ = − 1 1 + x 2 ， 𝑑 ( arccot x ) = − 1 1 + x 2 𝑑 𝑥 𝑦′ = -\frac1{1+x^2}，𝑑(\text{arccot}\space x) =-\frac1{1+x^2} 𝑑𝑥 y′=−1+x21，d(arccot x)=−1+x21dx
(15) 𝑦 = sh 𝑥 𝑦 = \sh𝑥 y=shx 则： 𝑦 ′ = ch 𝑥 ， 𝑑 ( sh 𝑥 ) = ch 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = \ch𝑥，𝑑(\sh𝑥) = \ch𝑥𝑑𝑥 y′=chx，d(shx)=chxdx
(16) 𝑦 = ch 𝑥 𝑦 =\ch𝑥 y=chx 则： 𝑦 ′ = sh 𝑥 ， 𝑑 ( ch 𝑥 ) = sh 𝑥 𝑑 𝑥 𝑦′ = \sh𝑥，𝑑(\ch𝑥) = \sh𝑥𝑑𝑥 y′=shx，d(chx)=shxdx
3 偏导数
3.1 多变量函数
有两个以上的自变量的函数称为多变量函数。
3.2 偏导数
求导的方法也同样适用于多变量函数的情况。但是，由于有多个变量，所以必须指明对哪一个变量进行求导。在这个意义上，关于某个特定变量的导数就称为偏导数。
例如，让我们来考虑有两个变量 x、y 的函数 z = f(x, y)。只看变量 x， 将 y 看作常数来求导，以此求得的导数称为“关于 x 的偏导数”。
4 多变量函数的最小值条件
光滑的单变量函数 y = f (x) 在点 x 处取得最小值的必要条件是导函数在该点取值 0，这个事实对于多变量函数同样适用。例如对于有两个变量的函数，可以如下表示。
根据上述 (1)，函数取得最小值的必要条件是 x = 0，y = 0。此时函数值 z 为 0。由于
z
=
x
2
+
y
2
≥
0
z = x^2 + y^2 ≥ 0
z=x2+y2≥0，所以我们知道这个函数值 0 就是最小值。
5 参考资料
《深度学习的数学》
《AndrewNG机器学习笔记v5.4—黄海广》
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