归一化（Normalization）是一种数据预处理技术，旨在将不同量纲、不同取值范围的数据转换到相同的尺度上，以便进行更加公平、有效的比较或分析。

通过归一化，数据被调整到一定的标准范围内，常见的范围有 [0, 1] 或 [-1, 1]，以消除不同特征在数量级上的差异。

一、常见的归一化方法

归一化的方法主要有以下几种，取决于具体的应用场景和数据特征：

1. Min-Max 归一化（Min-Max Normalization）

Min-Max 归一化是将数据线性映射到 [0, 1] 范围内。它的计算公式如下：

 

其中：

是原始数据，

是数据的最小值，

是数据的最大值，

是归一化后的数据，值域在[0，1]之间。

优点：保持数据间的比例关系，简单易行，适合有固定上下界的数据场景。

缺点：对极端值（outliers）敏感，如果数据中存在极端值，所有数据都可能被压缩到很小的区间。

例子：假设某个特征的数据范围为 [100, 500]，如果要将它归一化到 [0, 1]，对于某个数据点 200，则归一化计算为：

 

2. Z-score 归一化（标准化，Z-score Normalization）

Z-score 归一化通过减去均值再除以标准差，使得数据呈标准正态分布，均值为 0，标准差为 1。其公式为：

 

其中：

是原始数据，

是数据的均值，

是数据的标准差，

是归一化后的数据，具有零均值和单位标准差。 

优点：不受极端值的影响，适合处理具有正态分布的数据。

缺点：如果数据分布不是高斯分布，效果可能较差；不能保证数据范围在 [0, 1] 之间。

例子：假设数据的均值为 200，标准差为 50，某个数据点为 300，计算 Z-score 归一化为：

 

3. 最大值归一化（Max Abs Scaling）

最大值归一化是将数据除以它的绝对最大值，使数据的范围归一化到 [-1, 1] 之间。其公式为：

 

其中：

是数据的最大绝对值，

是归一化后的数据，范围在 [-1, 1] 之间。

优点：简单快速，适合在数据分布中心为零时使用。

缺点：仍然对极端值敏感。

例子：假设数据的最大绝对值为 500，某个数据点为 250，归一化结果为：

 

4. 小数定标归一化（Decimal Scaling Normalization）

小数定标归一化通过将数据除以一个 10 的整数次幂，使归一化后的数据范围在 [-1, 1] 之间。其公式为：

 

其中：

是数据的最大值的位数（即） 。

优点：适合当数据范围比较固定且易于计算时使用。

例子：假设数据的最大值为 987，最大位数为 3，则将每个数据除以进行归一化，例如数据点 250：

 

5. 向量归一化（Vector Normalization）

向量归一化通常用于将向量的模长标准化，使整个向量的长度为 1。常用于文本处理、图像处理等领域。公式为：

其中是向量  的 欧几里得范数，即：

优点：在处理向量（如图像、文本等）的任务中非常有用，可以消除向量长度差异带来的影响。

例子：假设有一个向量[3，4]，其模长为,归一化后得到的向量为：

二、不同归一化方法的应用场景

• Min-Max 归一化：常用于数据范围已知，且目标是将数据归一化到固定范围（如 [0, 1]）的场景，广泛应用于神经网络等需要定量计算的数据模型中。

• Z-score 归一化：适合数据分布为正态分布或需要消除量纲影响的场景，常用于聚类分析和 PCA（主成分分析）等模型。

• 最大值归一化：适用于数据值围绕中心对称分布，且希望将数据映射到 [-1, 1] 区间的情况，常用于 SVM 等机器学习算法。

• 小数定标归一化：适合数据的取值范围较大，且位数变化相对固定的场景。

• 向量归一化：适用于向量数据，如文本分类、图像处理等领域，特别是当要消除向量大小的影响时。