文章目录

Part.I Introdction

本篇博文的目的是：对RTKLIB中LAMBDA固定整周模糊度的算法实现做一个尽量详尽的总结。由于笔者水平有限，不当之处还望不吝赐教。

Chap.I 预备知识

LAMBDA 全称 Least-square AMBiguity Decorrelation Adjustment，最小二乘降相关平差。主要分为以下两步：（1）为降低模糊度参数之间相关性而进行的多维整数变换；（2）在转换后的空间内进行模糊度搜索，然后再将结果转换回模糊度空间中，进而求得模糊度整数解。详细的原理可以参看[2]，本文主要介绍 RTKLIB 中有关 LAMBDA 搜索的实现，并附以一个示例进行验证。

Chap.II 内容概览

下面的讲的内容，后来看的时候觉得比较多，就整理了一下，做了个图，比较直观，如下。

在这里插入图片描述
若有错误之处，烦请告知，原图位于 GREAT.drawio/draft

Part.II 代码详解

RTKLIB 中的 LAMBDA 实现是在lambda.c文件中的，里面主要的函数有

  • lambda：外部交互接口，相当于主控制函数
  • LD：LTDL 分解，注意是上三角分解
  • gauss：整数高斯变换
  • perm：permutation 置换排列，难道是转置？没看懂
  • reduction：求出降相关矩阵 Z
  • search：MLAMBDA （修正的 LAMBDA）搜索
  • matmul：降相关，得到的 Z 和浮点模糊度 a ^ \hat a a^ 和方差-协方差矩阵 Q a ^ Q_{\hat a} Qa^​ 相乘得到变换后的浮点模糊度 z ^ \hat z z^ 及其方差-协方差矩阵 Q z ^ Q_{\hat z} Qz^​
  • solve：变换回去，得到所需要的候选模糊度

下面是几个主要的函数传参

Chap.I lambda

extern int lambda(int n, int m, const double *a, const double *Q, double *F,double *s)
  • n: @param[in] 待固定的模糊度个数
  • m: @param[in] 待搜索的候选模糊度向量个数
  • a: @param[in] 实数模糊度向量n*1
  • Q: @param[in] 方差-协方差矩阵n*n
  • F: @param[out] 候选模糊度组m*n
  • s: @param[out] 整数模糊度向量与实数模糊向量的距离（二次方残差）m*1

RTKLIB 中的 lambda 函数内容如下：

extern int lambda(int n, int m, const double *a, const double *Q, double *F,
                  double *s)
{
    int info;
    double *L,*D,*Z,*z,*E;
    
    if (n<=0||m<=0) return -1;
    L=zeros(n,n); D=mat(n,1); Z=eye(n); z=mat(n,1); E=mat(n,m);
    
    /* LD factorization */
    if (!(info=LD(n,Q,L,D))) {
        
        /* lambda reduction */
        reduction(n,L,D,Z);
        matmul("TN",n,1,n,1.0,Z,a,0.0,z); /* z=Z'*a */
        
        /* mlambda search */
        if (!(info=search(n,m,L,D,z,E,s))) {
            // F 搜出来的备选模糊度
            info=solve("T",Z,E,n,m,F); /* F=Z'\E */
        }
    }
    free(L); free(D); free(Z); free(z); free(E);
    return info;
}

各个步骤很清晰的呈现在代码中，牛的。

Chap.II LD

static int LD(int n, const double *Q, double *L, double *D)
  • @note Q a ^ a ^ = U D U T Q_{\hat a \hat a}=UDU^T Qa^a^​=UDUT，实际上 U 在函数中是用 L 表示的
  • n: @param[in] 待固定的模糊度个数
  • Q: @param[in] 方差-协方差矩阵n*n
  • L: @param[out] 对Q分解得到的上三角矩阵n*n，实际上用U表示更合适，因为是上三角阵
  • D: @param[out] 对Q分解得到的对角矩阵，只保留了对角线元素1*n

Chap.III reduction

static void reduction(int n, double *L, double *D, double *Z)
  • @note 得到整数高斯变换阵（降相关阵）Z， Q z ^ z ^ = Z Q a ^ a ^ Z T = L z D L z T Q_{\hat z \hat z}=ZQ_{\hat a \hat a}Z^T=L_zDL_z^T Qz^z^​=ZQa^a^​ZT=Lz​DLzT​
  • n: @param[in] 待固定的模糊度个数
  • L: @param[in/out] 对Q分解得到的上三角矩阵n*n，传出前后会发生变化
  • D: @param[in/out] 对Q分解得到的对角矩阵，只保留了对角线元素1*n，传出前后会发生变化
  • Z: @param[out] 降相关矩阵Z阵，n*n，Z的所有元素都是整数，并且其行列式为1
  • @note ：reduction 函数中调用了gauss和perm，对它们的理解还需进一步加强。

Chap.IV search

static int search(int n, int m, const double *L, const double *D, const double *zs, double *zn, double *s)
  • n: @param[in] 待固定的模糊度个数
  • m: @param[in] 待搜索的候选模糊度向量组个数
  • L: @param[in] 对Q分解得到的上三角矩阵n*n，并且经过reduction处理
  • D: @param[in] 对Q分解得到的对角矩阵，只保留了对角线元素1*n，并且经过reduction处理，目前存在如下关系： Q z ^ z ^ = Z Q a ^ a ^ Z T = L z D L z T Q_{\hat z \hat z}=ZQ_{\hat a \hat a}Z^T=L_zDL_z^T Qz^z^​=ZQa^a^​ZT=Lz​DLzT​
  • zs: @param[in] 降相关后的浮点模糊度 z ^ \hat z z^ n*1
  • zn: @param[out] 搜索到的候选模糊度向量组 m*n
  • s: @param[out] 各候选模糊度向量到浮点模糊度向量的距离 m*1
    s = ( z ˉ − z ^ ) T Q z ^ z ^ − 1 ( z ˉ − z ^ ) = ( a ˉ − a ^ ) T Q a ^ a ^ − 1 ( a ˉ − a ^ ) s=(\bar z-\hat z)^TQ_{\hat z\hat z}^{-1}(\bar z-\hat z)=(\bar a-\hat a)^TQ_{\hat a\hat a}^{-1}(\bar a-\hat a) s=(zˉ−z^)TQz^z^−1​(zˉ−z^)=(aˉ−a^)TQa^a^−1​(aˉ−a^)

Chap.V matmul & solve

这两个函数实际上是通用函数，在这里充当矩阵变换的作用。

matmul("TN", n, 1, n, 1.0, Z, a, 0.0, z);

这个函数的作用是得到降相关后的浮点模糊度向量（实际上是降相关矩阵与原浮点模糊度向量的乘积） z ^ = Z a ^ \hat z=Z\hat a z^=Za^

solve("T", Z, E, n, m, F);

这个函数将搜索得到的 z ˉ \bar z zˉ 的集合 E 转换回去得到 a ˉ \bar a aˉ 的集合 F。

F = Z − 1 E F=Z^{-1}E F=Z−1E

Part.III 一个实例

下面考虑一个三维的情况：
在这里插入图片描述

Chap.I 测试函数

笔者将RTKLIB有关LAMBDA搜索的程序移植到C++程序中，写了如下的测试代码：

void t_gtest::RLAMBDA_test() {

    t_glambda2* lambda = new t_glambda2();
    int n = 3, m = 7, iN = n, iMaxCan = m;
    double a[3] = { 5.45,3.10,2.97 };
    double Q[9] = { 6.290,5.978,0.544, 5.978,6.292,2.340, 0.544,2.340,6.288 };

    int piA[3] = { 0 };
    /*for (int i = 0; i < iN; i++) {
        piA[i] = round(pdA[i]);
        pdA[i] -= piA[i];
    }*/
    cout << "原始方差-协方差矩阵：" << endl;
    printArr(Q, iN, iN);
    cout << "浮点模糊度：" << endl;
    printArr(a, 1, iN);
    cout << "-----------------------------------" << endl;

    double s[8] = { 0 };
    double* F = new double[iN * iMaxCan]{ 0 };
    int info;
    double* L, * D, * Z, * z, * E;

    L = lambda->zeros(n, n); D = lambda->mat(n, 1); Z = lambda->eye(n); 
    z = lambda->mat(n, 1); E = lambda->mat(n, m);

    /* LD factorization */
    if (!(info = lambda->LD(n, Q, L, D))) {
        cout << "-----------------------------------" << endl;
        cout << "LD 之后 L 阵：" << endl;
        printArr(L, iN, iN);
        cout << "LD 之后 D 阵：" << endl;
        printArr(D, 1, iN);
        /* lambda reduction */
        lambda->reduction(n, L, D, Z);
        cout << "-----------------------------------" << endl;
        cout << "reduction 之后 L 阵：" << endl;
        printArr(L, iN, iN);
        cout << "reduction 之后 D 阵：" << endl;
        printArr(D, 1, iN);
        cout << "reduction 之后 Z 阵：" << endl;
        printArr(Z, iN, iN);
        lambda->matmul("TN", n, 1, n, 1.0, Z, a, 0.0, z); /* z=Z'*a */
        cout << "-----------------------------------" << endl;
        cout << "matmul 之后 z 阵：" << endl;
        printArr(z, 1, iN);
        cout << "matmul 之后 a 阵：" << endl;
        printArr(a, 1, iN);
        cout << "matmul 之后 Z 阵：" << endl;
        printArr(Z, iN, iN);
        /* mlambda search */
        if (!(info = lambda->search(n, m, L, D, z, E, s))) {
            cout << "-----------------------------------" << endl;
            cout << "search 之后 E 阵：" << endl;
            printArr(E, m, n);
            cout << "search 之后 s 阵：" << endl;
            printArr(s, 1, m);
            cout << "search 之后 z 阵：" << endl;
            printArr(z, 1, iN);
            info = lambda->solve("T", Z, E, n, m, F); /* F=Z'\E */
            cout << "-----------------------------------" << endl;
            cout << "solve 之后 F 阵：" << endl;
            printArr(F, m, n);
            cout << "solve 之后 E 阵：" << endl;
            printArr(E, m, n);
            cout << "solve 之后 Z 阵：" << endl;
            printArr(Z, n, n);
        }
    }
    free(L); free(D); free(Z); free(z); free(E); free(F);

    if (lambda != NULL)
    {
        delete lambda;
        lambda = NULL;
    }
}

Chap.II 结果输出

程序运行之后有如下输出：

原始方差-协方差矩阵：
6.29  5.978  0.544  
5.978  6.292  2.34  
0.544  2.34  6.288  
浮点模糊度：
5.45  3.1  2.97  
-----------------------------------
-----------------------------------
LD 之后 L 阵：
1  1.06537  0.086514  
0  1  0.372137  
0  0  1  
LD 之后 D 阵：
0.0898576  5.4212  6.288  
-----------------------------------
reduction 之后 L 阵：
1  0.267668  0.367412  
0  1  0.13099  
0  0  1  
reduction 之后 D 阵：
4.31016  1.13526  0.626  
reduction 之后 Z 阵：
-2  3  -1  
3  -3  1  
1  -1  0  
-----------------------------------
matmul 之后 z 阵：
-4.57  10.02  2.35  
matmul 之后 a 阵：
5.45  3.1  2.97  
matmul 之后 Z 阵：
-2  3  -1  
3  -3  1  
1  -1  0  
-----------------------------------
search 之后 E 阵：
-5  10  2  
-4  10  2  
-6  10  2  
-4  10  3  
-5  10  3  
-3  10  2  
-5  9  2  
search 之后 s 阵：
0.218331  0.307273  0.59341  0.714614  0.77989  0.860234  1.03198  
search 之后 z 阵：
-4.57  10.02  2.35  
-----------------------------------
solve 之后 F 阵：
5  3  4  
6  4  4  
4  2  4  
6  3  1  
5  2  1  
7  5  4  
4  2  3  
solve 之后 E 阵：
-5  10  2  
-4  10  2  
-6  10  2  
-4  10  3  
-5  10  3  
-3  10  2  
-5  9  2  
solve 之后 Z 阵：
-2  3  -1  
3  -3  1  
1  -1  0

Chap.III 结果分析 & 验证

结合程序输出，对结果用 Matlab 进行了验证

验证代码如下：

%% -------- RTKLIB 检验 --------
clc;clear
a_hat=[5.45,3.10,2.97]';
Q=[6.290 5.978 0.544;5.978 6.292 2.340;0.544 2.340 6.288];
% 原始模糊度方差与相关系数，要看的话记得打断点，后面会覆盖掉
a_11=sqrt(Q(1,1)); ro_12=1/sqrt(Q(1,1)*Q(2,2)/(Q(1,2)*Q(1,2)));
a_22=sqrt(Q(2,2)); ro_13=1/sqrt(Q(1,1)*Q(3,3)/(Q(1,3)*Q(1,3)));
a_33=sqrt(Q(3,3)); ro_23=1/sqrt(Q(2,2)*Q(3,3)/(Q(2,3)*Q(2,3)));

Z2=[-2 3 -1;3 -3 1;1 -1 0]; det(Z2);                % 行列式为 1
U2=[1  1.06537  0.086514; 0  1  0.372137;0  0  1];  % 上三角
D2=diag([0.0898576  5.4212  6.288]);
Q-U2*D2*U2'                                         % UDUT 分解正确性检验，结果为0
z_hat=Z2*a_hat;                                     % 变换之后的浮点模糊度
Q_z=Z2*Q*Z2';                                       % 变换之后的协方差矩阵
% Z变换后的模糊度方差与相关系数
a_11=sqrt(Q_z(1,1)); ro_12=1/sqrt(Q_z(1,1)*Q_z(2,2)/(Q_z(1,2)*Q_z(1,2)));
a_22=sqrt(Q_z(2,2)); ro_13=1/sqrt(Q_z(1,1)*Q_z(3,3)/(Q_z(1,3)*Q_z(1,3)));
a_33=sqrt(Q_z(3,3)); ro_23=1/sqrt(Q_z(2,2)*Q_z(3,3)/(Q_z(2,3)*Q_z(2,3)));
% RTKLIB reduction 函数之后 L 和 D 变为
L_z=[1  0.267668  0.367412;0  1  0.13099;0  0  1 ];
D_z=diag([4.31016  1.13526  0.626]);
Q_z-L_z*D_z*L_z'                                    % Z变换之后正确性检验，结果为0
% 求整数解和浮点解之间的距离
a_bar=[5 3 4]';                                     % 最后得到整数解
z_bar=[-5 10 2]';
(z_bar-z_hat)'*inv(Q_z)*(z_bar-z_hat)               % RTKLIB 吐出的是它
(a_bar-a_hat)'*inv(Q)*(a_bar-a_hat)					% 和上面相等

比较有意思的一点是变换前后搜索空间与各模糊度相关系数的变化，笔者觉得这才是 LAMBDA 的灵魂和精髓。
在这里插入图片描述
在这里插入图片描述
下面是用 Matlab 绘制的三维搜索空间的变化（注意坐标轴刻度和椭球形状）
在这里插入图片描述

Reference

  1. 基于 Matlab 的方差-协方差矩阵可视化表示（椭圆、椭球）
  2. 【GNSS】LAMBDA 模糊度固定方法
  3. Teunnissen P J G. The least-square ambiguity decorrelation adjustment: a method for fast GPS integer ambiguity estimation [J]. J. Geodesy, 1995, 70(1): 65-82.
  4. De Jonge P, Tiberius C. The LAMBDA method for integer ambiguity estimation: implementation aspects[J]. Publications of the Delft Computing Centre, LGR-Series, 1996, 12(12): 1-47.
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