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一、问题定义

1.1 矩阵乘法

对于矩阵$U_{p\times q}$和$V_{q\times r}$，$Z_{p\times r}=UV$，共需计算$pqr$次标量乘法，时间复杂度为$\Theta (pqr)$

矩阵乘法满足结合律，即$(UV)W=U(VW)$，选择不同的结合顺序，会对计算的次数产生巨大的影响。

1.2 矩阵链乘法问题

$n$个矩阵相乘称为矩阵链乘法，问题在于如何确定相乘顺序，以提高计算效率？

形式化定义如下：

输入：

• $n$个矩阵组成的矩阵链$U_{\mathrm{1..}n}=<U_1,U_2,...,U_n>$
• 矩阵链$U_{\mathrm{1..}n}$对应的维度数分别为$p_0,p_1,...,p_n$，$U_i$的维度为$p_{i-1}\times p_i$

输出：

• 找到一种添加括号的方式，以确定矩阵链乘法的计算顺序，使得最小化矩阵链标量乘法的次数

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二、求解策略

显然，最优矩阵链乘法加括号的组合中，任意一部分均为最优，具有最优子结构性质，尝试动态规划求解。

2.1 分析问题结构

形式化表示问题：

• $D[i,j]$：计算矩阵链$U_{i..j}$所需标量乘法的最小次数

原问题：

• $D[i,n]$：计算矩阵链$U_{\mathrm{1..}n}$所需标量乘法的最小次数

2.2 建立递推关系

以长度为4的矩阵链为例辅助思考，$U=U_1{U}_2{U}_3{U}_4$

对其进行加1个括号的操作，有以下几种方式：
$$\begin{gathered} U=(U_1)(U_2{U}_3{U}_4)\Rightarrow D[1,4]=D[1,1]+D[2,4]+p_0{p}_1{p}_4 \\ U=(U_1{U}_2)(U_3{U}_4)\Rightarrow D[1,4]=D[1,2]+D[3,4]+p_0{p}_2{p}_4 \\ U=(U_1{U}_2{U}_3)(U_4)\Rightarrow D[1,4]=D[1,3]+D[4,4]+p_0{p}_3{p}_4 \end{gathered}$$
而$D[1,4]$结果只需要在这3种方式中取得最大值即可。

我们不妨来看一下，求得$D[1,4]$需要哪些数据：

	1	2	3	4
1	？	？	？	目标
2				？
3				？
4				？

再次观察，对角线上的元素表示矩阵自身，不需要进行运算，所以值均为0。而左下三角的矩阵并没有实际含义，因为$j\ge i$，故当前表格更新为下表所示：

	1	2	3	4
1	0	？	？	目标
2	NULL	0		？
3	NULL	NULL	0	？
4	NULL	NULL	NULL	0

相信大家已经看出递推关系。

对于矩阵链$U_{i..j}$，求解$D[i,j]$时，为了不遗漏最优分割位置，需要枚举所有可能位置$i,i+1,..,j-1$，一共$j-i$种。

假设在$k$处进行分割，分为$U_{i..k}$和$U_{k+\mathrm{1..}j}$两部分，前者的维度为$p_{i-1}\times p_k$，后者的维度为$p_k\times p_j$，将两部分进行乘积时，需要额外增加$p_{i-1}\times p_k\times p_j$的计算次数。

因此， D [ i , j ] = min ⁡ i ≤ k < j { D [ i , k ] + D [ k + 1 , j ] + p i − 1 p k p j } D[i,j]=\min_{i\leq k <j} \left \{ D[i,k]+D[k+1,j]+p_{i-1}p_kp_j \right \} D[i,j]=mini≤k<j​{D[i,k]+D[k+1,j]+pi−1​pk​pj​}

2.3 自底向上计算

采用图中的方向进行计算：

许多教材中习惯将其逆时针旋转45度，以方便观察，在于个人习惯。

2.4 追踪最优方案

构造追踪数组$Rec[\mathrm{1..}n,\mathrm{1..}n]$，$Rec[i,j]$表示矩阵链$U_{i..j}$的最优分割位置（一次分割）。

在计算$D[i,j]$的过程中，选出最小的$k$，记录$Rec[i,j]=k$

追踪时，从$Rec[1,n]$出发，假设$Rec[1,n]=k$，则说明在$U_k$处进行了分割，分为矩阵链$D[1,k]$和$D[k+1,n]$，再分别查看$Rec[1,k]$和$Rec[k+1,n]$，便找到两部分的分割地方。如此寻找直至对角线部分。

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三、算法分析

3.1 伪代码

计算及记录部分：

追踪方案部分：

3.2 时间复杂度

时间复杂度$O(n^3)$