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前言

这是一个系列笔记，在理解图卷积神经网络的时候需要用到傅立叶变换，傅立叶变换的基础是傅立叶级数公式，而傅立叶级数公式中又包含欧拉公式，这篇文章是第二篇。

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一、傅立叶级数的由来

数学家们猜测一些周期函数可以写成三角函数的和，即像图中表示的那样（黑色斜线：周期为2Π的函数；红色曲线：各个三角函数的和）。

而傅里叶则猜测任意周期函数都可以写成三角函数的和。

二、傅立叶级数公式

分析公式（即为什么周期函数可以写成三角函数的和呢？）：
1、常数项C，用来调整整体位置。
2、因为任意函数都可以分解为奇函数和偶函数之和，所以正弦、余弦函数是组成任意函数的基础，他们之间经过合理的加减组合，可以成为任意函数，必须有！

3、调整振幅（振幅是正弦、余弦函数前边的系数），为了使其尽可能的逼近原函数。
4、正弦、余弦函数内的系数是为了让他们周期为T，即所有三角函数的和组成的函数要与他们要逼近函数的周期相同。

三、频域和时域

有关于为什么要讲到频域和时域，是因为在后边详细推导傅立叶级数公式的时候会用到。

在上一个笔记里，我们讲到了欧拉公式：
传送门：傅立叶变换之（一）——欧拉公式

一看到这个，我们就应该想出来这么一幅图：
即欧拉公式代表的就是单位圆上的点。
我们把欧拉公式的虚部(也就是纵坐标)记录下来，得到的就是正弦函数。（欧拉公式整体看成是我们熟知的a+bi就可以了，虚部不就是对应欧拉公式中的正弦函数吗？）

同理，我们把实部（也就是横坐标）记录下来，就是余弦函数的曲线。

这两种看待欧拉公式的角度，一个可以观察到旋转的频率，所以称之为频域；另一种可以看到流逝的时间，所以称之为时域。

四、傅立叶级数公式的进一步求解

4-1、抛砖引玉

假设有函数：

根据上一点对频域和时域的讲解，这里我们把它转化到频域中去。
由欧拉公式${\mathrm{e}}^{it}=\cos (t)+i\sin (t)$可以得到：
$${\mathrm{e}}^{it}+{\mathrm{e}}^{i2t}=（\cos (t)+\cos (2t)）+i（\sin (t)+\sin (2t)）$$
即g(x)函数是 ${\mathrm{e}}^{it}+{\mathrm{e}}^{i2t}$ 的虚部。

我们令:
$$G(t)={\mathrm{e}}^{it}+{\mathrm{e}}^{i2t}$$
从线性代数的角度来说：$G(t)$是基${\mathrm{e}}^{it}$和${\mathrm{e}}^{i2t}$的线性组合。
注意：基是描述、刻画向量空间的基本工具。
接下来看如何求正交向量（基）中其中一个向量前边的系数：
假设有:
$$\vec{w}=2\vec{u}+3\vec{v}$$
其中$\vec{u}=(-1,1)$, $\vec{v}=(1,1)$。
因为他们是正交向量，所以：
$$\vec{u}\cdot \vec{v}=0$$
结论一(只有正交基才使用)：
$\vec{u}$的系数a可以计算为：
$$\frac{\vec{w}\cdot \vec{u}}{\vec{u}\cdot \vec{u}}=2$$
同理：
$\vec{v}$的系数b可以计算为：
$$\frac{\vec{w}\cdot \vec{v}}{\vec{v}\cdot \vec{v}}=3$$
反推：
$$\vec{w}\cdot \vec{u}=a\cdot \vec{u}\cdot \vec{u}$$
$$(2\vec{u}+3\vec{v})\cdot \vec{u}=a\cdot \vec{u}\cdot \vec{u}$$
因为他们是正交向量，所以乘积为0，等式成立。

os：先记住这个结论就好了，不要问那么多为什么，我是个数学渣渣能推到这已经很不容易了，先糊弄过去。

结论二(函数向量点积的定义)：

os：同样的先记住这个结论。

4-2、傅立叶级数公式进化

傅立叶级数公式可以写为：

也就是说f（x）的基为：

那么可以得到：

C也可以通过点积来表示：

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参考文章：
如何理解傅立叶级数公式？
傅里叶系列（一）傅里叶级数的推导
Cmd Markdown 公式指导手册

总结

马上就下班了，今天的摸鱼就到此结束吧。