[CSP-J 2023] 一元二次方程【民间数据】

题目背景

众所周知，对一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0,(a\ne 0)$，可以用以下方式求实数解：

• 计算 $\Delta =b^2-4ac$，则:
  1. 若 $\Delta <0$，则该一元二次方程无实数解。
  2. 否则 $\Delta \ge 0$，此时该一元二次方程有两个实数解 $x_{1,2}=\frac{-b\pm \sqrt{\Delta }}{2a}$。

例如：

• $x^2+x+1=0$ 无实数解，因为 $\Delta =1^2-4\times 1\times 1=-3<0$。
• $x^2-2x+1=0$ 有两相等实数解 $x_{1,2}=1$。
• $x^2-3x+2=0$ 有两互异实数解 $x_1=1,x_2=2$。

在题面描述中 $a$ 和 $b$ 的最大公因数使用 $\gcd (a,b)$ 表示。例如 $12$ 和 $18$ 的最大公因数是 $6$，即 $\gcd (12,18)=6$。

题目描述

现在给定一个一元二次方程的系数 $a,b,c$，其中 $a,b,c$ 均为整数且 $a\ne 0$。你需要判断一元二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 是否有实数解，并按要求的格式输出。

在本题中输出有理数 $v$ 时须遵循以下规则：

• 由有理数的定义，存在唯一的两个整数 $p$ 和 $q$，满足 $q>0$，$\gcd (p,q)=1$ 且 $v=\frac{p}{q}$。

• 若 $q=1$，则输出 {p}，否则输出 {p}/{q}，其中 {n} 代表整数 $n$ 的值；

• 例如：

  • 当 $v=-0.5$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $-1$ 和 $2$，则应输出 -1/2；
  • 当 $v=0$ 时，$p$ 和 $q$ 的值分别为 $0$ 和 $1$，则应输出 0。

对于方程的求解，分两种情况讨论：

1. 若 $\Delta =b^2-4ac<0$，则表明方程无实数解，此时你应当输出 NO；

2. 否则 $\Delta \ge 0$，此时方程有两解（可能相等），记其中较大者为 $x$，则：

   1. 若 $x$ 为有理数，则按有理数的格式输出 $x$。

   2. 否则根据上文公式，$x$ 可以被唯一表示为 $x=q_1+q_2\sqrt{r}$ 的形式，其中：

      • $q_1,q_2$ 为有理数，且 $q_2>0$；
      • $r$ 为正整数且 $r>1$，且不存在正整数 $d>1$ 使 $d^2\mid r$（即 $r$ 不应是 $d^2$ 的倍数）；

   此时：

   1. 若 $q_1\ne 0$，则按有理数的格式输出 $q_1$，并再输出一个加号 +；
   2. 否则跳过这一步输出；

   随后：

   1. 若 $q_2=1$，则输出 sqrt({r})；
   2. 否则若 $q_2$ 为整数，则输出 {q2}*sqrt({r})；
   3. 否则若 $q_3=\frac{1}{q_2}$ 为整数，则输出 sqrt({r})/{q3}；
   4. 否则可以证明存在唯一整数 $c,d$ 满足 $c,d>1,\gcd (c,d)=1$ 且 $q_2=\frac{c}{d}$，此时输出 {c}*sqrt({r})/{d}；

   上述表示中 {n} 代表整数 {n} 的值，详见样例。

   如果方程有实数解，则按要求的格式输出两个实数解中的较大者。否则若方程没有实数解，则输出 NO。

输入格式

输入的第一行包含两个正整数 $T,M$，分别表示方程数和系数的绝对值上限。

接下来 $T$ 行，每行包含三个整数 $a,b,c$。

输出格式

输出 $T$ 行，每行包含一个字符串，表示对应询问的答案，格式如题面所述。

每行输出的字符串中间不应包含任何空格。

样例 #1

样例输入 #1

9 1000
1 -1 0
-1 -1 -1
1 -2 1
1 5 4
4 4 1
1 0 -432
1 -3 1
2 -4 1
1 7 1

样例输出 #1

1
NO
1
-1
-1/2
12*sqrt(3)
3/2+sqrt(5)/2
1+sqrt(2)/2
-7/2+3*sqrt(5)/2

提示

【样例 #2】

见附件中的 uqe/uqe2.in 与 uqe/uqe2.ans。

【数据范围】

对于所有数据有：$1\le T\le 5000$，$1\le M\le 10^3$，$|a|,|b|,|c|\le M$，$a\ne 0$。

测试点编号	$M\le$	特殊性质 A	特殊性质 B	特殊性质 C
$1$	$1$	是	是	是
$2$	$20$	否	否	否
$3$	$10^3$	是	否	是
$4$	$10^3$	是	否	否
$5$	$10^3$	否	是	是
$6$	$10^3$	否	是	否
$7,8$	$10^3$	否	否	是
$9,10$	$10^3$	否	否	否

其中：

• 特殊性质 A：保证 $b=0$；
• 特殊性质 B：保证 $c=0$；
• 特殊性质 C：如果方程有解，那么方程的两个解都是整数。

【解析】

考虑特殊性质C，轻松拿50分。
详见代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int T,M;

main() {
    scanf("%d%d",&T,&M);
    while (T--){
        int a,b,c;
        scanf("%d%d%d",&a,&b,&c);
        int dt=b*b-4*a*c;
        if (dt<0){
            printf("NO\n");
            continue;
        }
        int p1=(-b+sqrt(dt))/a/2;
        int p2=(-b-sqrt(dt))/a/2;
        int p=max(p1,p2);
        printf("%d\n",p);
    }
    return 0;
}

感谢佛山的梁老师提供的正解

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int a, b, c, T, M, fz, fm;

int gcd(int x, int y) {
	if (x % y == 0) return y;
	return gcd(y, x%y);
}

int main() {
	scanf("%d%d", &T, &M);
	while(T--) {
		scanf("%d%d%d", &a, &b, &c);
		int gen = b * b - 4 * a * c;
		if (gen < 0) {
			printf("NO\n");
		} else if (sqrt(gen) == int(sqrt(gen))) {
			fz = -b + sqrt(gen) *(a > 0 ? 1 : -1);
			fm = 2 * a;
			if (fz % fm == 0) {
				printf("%d\n", fz/fm);
			} else {
				if(fz*fm<0) printf("-");
				int k = gcd(abs(fz),abs(fm));
				printf("%d/%d\n",abs(fz)/k, abs(fm)/k);
			}
		} else {
			if (b != 0) {
				fz = -b;
				fm = 2 * a;
				if (fz % fm == 0) {
					printf("%d+",fz/fm);
				} else {
					if(fz*fm<0) printf("-");
					int k = gcd(abs(fz),abs(fm));
					printf("%d/%d+",abs(fz)/k, abs(fm)/k);
				}
			}
			int ma = 1;
			for (int i = 2; i*i <= gen; i++) {
				while(gen % (i*i) == 0) {
					ma *= i;
					gen /= i* i; 
				}
			}
			fz = ma;
			fm = abs(2 * a);
			if (fz % fm == 0) {
				if (fz != fm) printf("%d*",fz/fm);
				printf("sqrt(%d)\n",gen);
			} else {
				int k = gcd(abs(fz),abs(fm));
				if (fz/k!=1) printf("%d*",fz/k);
				printf("sqrt(%d)/%d\n",gen,fm/k);
			}
		}
	}

	return 0;
}