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红黑树

红黑树的概念

红黑树，是一种二叉搜索树，但在每个结点上增加一个存储位表示结点的颜色，可以是Red或Black。

通过对任何一条从根到叶子的路径上各个结点着色方式的限制，红黑树确保没有一条路径会比其他路径长出俩倍，因而是接近平衡的。

红黑树的性质

1. 每个结点不是红色就是黑色
2. 根节点是黑色的
3. 如果一个节点是红色的，则它的两个孩子结点是黑色的 (不能出现连续的红节点 父子节点的颜色: 黑 + 黑 黑 + 红 红 + 黑)
4. 对于每个结点，从该结点到其所有后代叶结点的简单路径上，均包含相同数目的黑色结点 (每条路径都包含相同数量的黑色节点)
5. 每个叶子结点都是黑色的(此处的叶子结点指的是空结点)

为什么满足上面的性质，红黑树就能保证：其最长路径中节点个数不会超过最短路径节点个数的两倍？

最短路径： 因为每一条路径均包含相同数目的黑色结点，所以路径最短就是全部都是黑节点。

最长路径： 因为红黑树当中不会出现连续的红色结点，并且每一条路径均包含相同数目的黑色结点所以最长路径就是一黑一红间隔。

补充说明：

规则五每个叶子结点都是黑色的意思是，在求路径的时候是从根节点到空时一条路径，而不是到叶子节点结束，只有在求路径相关的问题才会用到，平时不常用。

这里是特殊情况，全黑也满足红黑树的性质，一共有8条路径。

---

红黑树节点的定义

为了方便后序的旋转操作，我们将红黑树的结点定义为三叉链结构，并且这里还新加入了一个成员变量，用于表示结点的颜色，这里我们可以使用枚举来定义结点的颜色，这样可以增加代码的可读性和可维护性。

enum Color
{
	Red,  	//红色
	Black	//黑色
};

template <class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;  // 左子节点指针
    RBTreeNode<K, V>* _right;  // 右子节点指针
    RBTreeNode<K, V>* _parent;  // 父节点指针

    pair<K, V> _kv;  // 键值对
    Color _color;  // 节点颜色

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_color(Red)
		,_kv(kv)
	{}
};

为什么构造结点时，默认将结点的颜色设置为红色？

如果我们插入的是黑色结点，那么插入路径上黑色结点的数目就比其他路径上黑色结点的数目多了一个，即破坏了红黑树的性质4，那么需要调整所以路径黑色节点的数量代价太大

如果插入的是红色的节点，那么就会出现连续的红色结点，即破坏了红黑树的性质3，此时我们需要对红黑树进行调整即可。

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红黑树的插入颜色变化

当插入一个节点的时候如果父亲的节点是红色就需要继续进行调整，当父亲的颜色是红色的时候，父亲不可能是根，因为根一定是黑色，所以祖父节点一定存在，并且因为父亲节点为红色，所以祖父节点一定时黑色。

因为新节点的默认颜色是红色，因此：如果其双亲节点的颜色是黑色，没有违反红黑树任何性质，则不需要调整。

但当新插入节点的双亲节点颜色为红色时，就违反了性质三不能有连在一起的红色节点，此时需要对红黑树分情况来讨论。

约定：cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点，u为叔叔节点

情况一: cur为红，p为红，g为黑，u存在且为红

如果g是根节点，调整完成后，需要将g改为黑色如果g是子树，g一定有双亲，且g的双亲如果是红色，需要继续向上调整。

情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑

1、u不存在，此时cur是一定新增。

如果cur为红，p为红，g为黑，u不存在是向上调整的结果，

此时左边路径至少有两个黑色节点，左边路径有一个黑色节点，在新增之前就不是红黑树，故不可能，只能是cur新增的结果。

处理方式：

2，u存在且为黑，一定是由情况一变化过来的，

如果cur是新增，那么右边路径有两个黑色节点，左边路径有一个黑色节点，在新增之前就不是红黑树，故不可能，只能是不断向上调整变成的。

处理方式：

补充说明

还有一点我想说如果向上调整只能是由如图的情况变化而来的

当然，这里的cur四个位置的新增都可以，如果要向上新增，必须要求g变成红色，只有情况一可以通过调整颜色达到平衡，此时g才是红色。

对于情况二: cur为红，p为红，g为黑，u不存在/u存在且为黑，只能通过旋转+变色，但是调整之后祖父节点是黑色，这个后面会讲，先记着·，如果父节点是黑色就不会向上调整，因为此时已经符合红黑树的条件，无需继续向上调整。

红黑树的插入

上面的分析看不懂没关系，只要记住一下两种情况就可以：

当插入后需要调整的时候，cur为当前节点，p为父节点，g为祖父节点关系都是确定的，唯一变化的就是uncle的关系，所以只要重点分析uncle即可。

1，如果uncle存在且为红，直接变色即可

2，如果uncle不存在，或者存在且为黑，旋转 + 变色

代码如下：

bool insert(const pair<K,V>& kv)
{
 	if (_root == nullptr)
    {
        // 如果根节点为空，创建一个新节点作为根节点，并将其颜色设为黑色
        _root = new Node(kv);
        _root->_color = Black;
        return true;
    }

    Node* parent = nullptr;
    Node* cur = _root;

    // 在树中查找插入位置
    while (cur)
    {
        if (cur->_kv.first > kv.first)
        {
            // 键值比当前节点小，向左子树查找
            parent = cur;
            cur = cur->_left;
        }
        else if (cur->_kv.first < kv.first)
        {
            // 键值比当前节点大，向右子树查找
            parent = cur;
            cur = cur->_right;
        }
        else
        {
            // 键值已存在，返回false
            return false;
        }
    }

    // 创建新节点并插入到正确位置
	cur = new Node(kv);
	if (parent->_kv.first > kv.first)
	{
		parent->_left = cur;
	}
	else
	{
		parent->_right = cur;
	}

	cur->_parent = parent;

	while (parent && parent->_color == Red)
	{
		Node* grandfather = parent->_parent;

		if (grandfather->_left == parent)
		{
			//    g
			//  p   u
			Node* uncle = grandfather->_right;
			//u存在且为红，变色继续往上处理
			if (uncle && uncle->_color == Red)
			{
				parent->_color = Black;
				uncle->_color = Black;
				
				grandfather->_color = Red;

				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else if (uncle == nullptr || uncle->_color == Black)
			{
				//      g
				//   p	   u
				//c
				//u存在且为黑或者不存在 -> 旋转 + 变色
				if (parent->_left == cur)
				{
					RotateR(grandfather);

					parent->_color = Black;
					grandfather->_color = Red;

				}
				//      g
				//   p	   u
				//		c
				//u存在且为黑或者不存在 -> 旋转 + 变色
				else
				{
					RotateL(parent);
					RotateR(grandfather);

					cur->_color = Black;
					grandfather->_color = Red;
				}

				//p是黑色不需要继续往上
				break;
			}
		}
		else
		{
			//    g
			//  u   p
			Node* uncle = grandfather->_left;
			if (uncle && uncle->_color == Red)
			{
				uncle->_color = parent->_color = Black;
				grandfather->_color = Red;

				cur = grandfather;
				parent = cur->_parent;
			}
			else if (uncle == nullptr || uncle->_color == Black)
			{
				//    g
				// u     p
				//         c
				if (parent->_right == cur)
				{
					RotateL(grandfather);

					parent->_color = Black;
					grandfather->_color = Red;
				}
				else
				{
					//    g
					// u     p
					//    c
					RotateR(parent);
					RotateL(grandfather);

					cur->_color = Black;
					grandfather->_color = Red;
				}

				break;
			}
		}

	}
	//如果是情况一不断向上调整,当cur = _root的时候,需要把根变为黑
	_root->_color = Black;
	return true;
}

拷贝构造

我们看一下这个代码是否有问题

Node* _Copy(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return nullptr;
	}

	Node* newnode = new Node(root->_kv);
	newnode->_color = root->_color;
	newnode->_parent = root->_parent;

	newnode->_left = _Copy(root->_left);
	newnode->_right = _Copy(root->_right);

	return newnode;
}

乍一看好像没问题，但是仔细一想就会发现爹不是一个爹呀，不能把别人的父亲当成自己的爹，所以要增加一个参数传自己的父亲。

Node* _Copy(Node* root,Node* parent)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return nullptr;
	}

	Node* newnode = new Node(root->_kv);
	newnode->_color = root->_color;
	newnode->_parent = parent;

	newnode->_left = _Copy(root->_left,newnode);
	newnode->_right = _Copy(root->_right,newnode);

	return newnode;
}

该开始根的父亲是nullptr，所以直接传过去就ok了。

RBTree(const RBTree<K, V>& t)
{
	_root = _Copy(t._root, nullptr);
}

红黑树的验证

红黑树的检测分为两步：

1. 检测其是否满足二叉搜索树(中序遍历是否为有序序列)

void InOrder()
{
	_InOrder(_root);
}

void _InOrder(Node* root)
{
	if (root == nullptr)
	{
		return;
	}

	_InOrder(root->_left);
	cout << root->_kv.first << " : " << root->_kv.second << endl;
	_InOrder(root->_right);
}

2. 检测其是否满足红黑树的性质

bool IsBalance()
{
    if (_root == nullptr)
    {
        // 如果根节点为空，认为是平衡的
        return true;
    }

    if (_root->_color == Red)
    {
        // 根节点为红色，不符合红黑树性质
        return false;
    }

    int refNum = 0;  // 记录从根节点到所有叶子节点路径上的黑色节点个数

    Node* cur = _root;
    while (cur)
    {
        if (cur->_color == Black)
        {
            refNum++;  // 统计从根节点到叶子节点路径上的黑色节点个数
        }

        cur = cur->_left;  // 遍历到最左边的节点
    }

    return Check(_root, 0, refNum);  // 调用辅助函数进行检查
}

bool Check(Node* root, int BlackNum, const int refNum)
{
    if (root == nullptr)
    {
        // 如果遍历到空节点，检查路径上的黑色节点个数是否符合预期
        if (refNum != BlackNum)
        {
            return false;
        }

        return true;
    }

    if (root->_color == Red && root->_parent->_color == Red)
    {
        // 如果当前节点和父节点都是红色，不符合红黑树性质
        return false;
    }

    if (root->_color == Black)
    {
        BlackNum++;  // 遇到黑色节点，路径上的黑色节点个数加1
    }

    // 递归检查左右子树
    return Check(root->_left, BlackNum, refNum) && Check(root->_right, BlackNum, refNum);
}

这段代码实现了检查红黑树是否符合平衡性质的功能。其中 IsBalance 方法用于检查整棵树，首先判断根节点的颜色是否为红色，然后统计从根节点到叶子节点路径上的黑色节点个数，最后调用辅助函数 Check 进行递归检查。

Check 方法递归地检查每个节点，包括以下情况：

1，当遍历到空节点时，检查路径上的黑色节点个数是否符合预期。
2，当当前节点和父节点都是红色时，不符合红黑树性质，返回 false。
3，遇到黑色节点时，路径上的黑色节点个数加1。

最终，通过递归检查左右子树的方式，判断整棵树是否符合红黑树的平衡性质。

全部代码实现

#pragma once
#include <iostream>
using namespace std;

enum Color
{
	Red,  	//红色
	Black	//黑色
};

template <class K,class V>
struct RBTreeNode
{
	RBTreeNode<K, V>* _left;
	RBTreeNode<K, V>* _right;
	RBTreeNode<K, V>* _parent;

	pair<K, V> _kv;
	Color _color;

	RBTreeNode(const pair<K, V>& kv)
		:_left(nullptr)
		,_right(nullptr)
		,_parent(nullptr)
		,_color(Red)
		,_kv(kv)
	{}
};

template<class K,class V>
class RBTree
{
	typedef RBTreeNode<K,V> Node;
public:
	RBTree() = default;

	RBTree(const RBTree<K, V>& t)
	{
		_root = _Copy(t._root, nullptr);
	}

	Node* Copy()
	{
		return _Copy(_root);
	}

	~RBTree()
	{
		Destroy(_root);
	}

	const RBTree<K, V>& operator=(RBTree<K, V> t)
	{
		swap(_root, t._root);

		return *this;
	}



	Node* find(const K& key)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return;
		}

		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > key)
			{
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < key)
			{
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return cur;
			}
		}

		return nullptr;
	}

	bool IsBalance()
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			return true;
		}

		if (_root->_color == Red)
		{
			return false;
		}

		int refNum = 0;

		Node* cur = _root;
		while (cur)
		{
			if (cur->_color == Black)
			{
				refNum++;
			}

			cur = cur->_left;
		}

		return Check(_root, 0,refNum);
	}

	bool Check(Node* root, int BlackNum,const int refNum)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			if (refNum != BlackNum)
			{
				return false;
			}

			return true;
		}

		if (root->_color == Red && root->_parent->_color == Red)
		{
			return false;
		}

		if (root->_color == Black)
		{
			BlackNum++;
		}

		return Check(root->_left,BlackNum,refNum) && Check(root->_right,BlackNum,refNum);
	}

	bool insert(const pair<K,V>& kv)
	{
		if (_root == nullptr)
		{
			_root = new Node(kv);
			_root->_color = Black;
			return true;
		}

		Node* parent = nullptr;
		Node* cur = _root;

		while (cur)
		{
			if (cur->_kv.first > kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_left;
			}
			else if (cur->_kv.first < kv.first)
			{
				parent = cur;
				cur = cur->_right;
			}
			else
			{
				return false;
			}
		}

		cur = new Node(kv);
		if (parent->_kv.first > kv.first)
		{
			parent->_left = cur;
		}
		else
		{
			parent->_right = cur;
		}

		cur->_parent = parent;

		while (parent && parent->_color == Red)
		{
			Node* grandfather = parent->_parent;

			if (grandfather->_left == parent)
			{
				//    g
				//  p   u
				Node* uncle = grandfather->_right;
				if (uncle && uncle->_color == Red)
				{
					parent->_color = Black;
					uncle->_color = Black;
					
					grandfather->_color = Red;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else if (uncle == nullptr || uncle->_color == Black)
				{
					//      g
					//   p	   u
					//c
					//u存在且为红，变色继续往上处理
					if (parent->_left == cur)
					{
						RotateR(grandfather);

						parent->_color = Black;
						grandfather->_color = Red;

					}
					//      g
					//   p	   u
					//		c
					//u存在且为黑或者不存在 -> 旋转 + 变色
					else
					{
						RotateL(parent);
						RotateR(grandfather);

						cur->_color = Black;
						grandfather->_color = Red;
					}

					//p是黑色不需要继续往上
					break;
				}
			}
			else
			{
				//    g
				//  u   p
				Node* uncle = grandfather->_left;
				if (uncle && uncle->_color == Red)
				{
					uncle->_color = parent->_color = Black;
					grandfather->_color = Red;

					cur = grandfather;
					parent = cur->_parent;
				}
				else if (uncle == nullptr || uncle->_color == Black)
				{
					//    g
					// u     p
					//         c
					if (parent->_right == cur)
					{
						RotateL(grandfather);

						parent->_color = Black;
						grandfather->_color = Red;
					}
					else
					{
						//    g
						// u     p
						//    c
						RotateR(parent);
						RotateL(grandfather);

						cur->_color = Black;
						grandfather->_color = Red;
					}

					break;
				}
			}

		}

		_root->_color = Black;
		return true;
	}

	void InOrder()
	{
		_InOrder(_root);
	}
private:
	void Destroy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		Destroy(root->_left);
		Destroy(root->_right);

		delete root;
	
	}

	/*Node* _Copy(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return nullptr;
		}

		Node* newnode = new Node(root->_kv);
		newnode->_color = root->_color;
		newnode->_parent = root->_parent;

		newnode->_left = _Copy(root->_left);
		newnode->_right = _Copy(root->_right);

		return newnode;
	}*/

	Node* _Copy(Node* root,Node* parent)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return nullptr;
		}

		Node* newnode = new Node(root->_kv);
		newnode->_color = root->_color;
		newnode->_parent = parent;

		newnode->_left = _Copy(root->_left,newnode);
		newnode->_right = _Copy(root->_right,newnode);

		return newnode;
	}

	void _InOrder(Node* root)
	{
		if (root == nullptr)
		{
			return;
		}

		_InOrder(root->_left);
		cout << root->_kv.first << " : " << root->_kv.second << endl;
		_InOrder(root->_right);
	}

	void RotateL(Node* parent)
	{
		Node* subR = parent->_right;
		Node* subRL = subR->_left;
		Node* ppnode = parent->_parent;

		parent->_right = subRL;
		if (subRL)
			subRL->_parent = parent;

		parent->_parent = subR;
		subR->_left = parent;

		if (ppnode == nullptr)
		{
			_root = subR;
			subR->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subR;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subR;
			}

			subR->_parent = ppnode;
		}

	}

	//           p
	//      subL		
	//	cur		 subLR
	void RotateR(Node* parent)
	{
		Node* subL = parent->_left;
		Node* subLR = subL->_right;
		Node* ppnode = parent->_parent;

		parent->_left = subLR;
		if (subLR)
			subLR->_parent = parent;

		subL->_right = parent;
		parent->_parent = subL;

		if (ppnode == nullptr)
		{
			_root = subL;
			subL->_parent = nullptr;
		}
		else
		{
			if (ppnode->_left == parent)
			{
				ppnode->_left = subL;
			}
			else
			{
				ppnode->_right = subL;
			}

			subL->_parent = ppnode;
		}
	}

	Node* _root = nullptr;
};

红黑树与AVL树的比较

红黑树和AVL树都是高效的平衡二叉树，增删改查的时间复杂度都是O($lo{g}_{2}N$)，红黑树不追求绝对平衡，其只需保证最长路径不超过最短路径的2倍，相对而言，降低了插入和旋转的次数，所以在经常进行增删的结构中性能比AVL树更优，而且红黑树实现比较简单，所以实际运用中红黑树更多

红黑树的应用

1. C++ STL库 – map/set、mutil_map/mutil_set
2. Java 库
3. linux内核
4. 其他一些库