马尔科夫不等式（Markov’s Inequality）是概率论中的一个基本不等式，它提供了一个关于随机变量值的概率上限。

设 $X$ 是一个非负随机变量，且 $a>0$，则马尔科夫不等式表述为：
$$\mathbb{P}(X\ge a)\le \frac{\mathbb{E}[X]}{a}$$

其中，$\mathbb{E}[X]$ 是 $X$ 的期望值。

马尔科夫不等式的作用主要体现在以下几个方面：

1. 概率上限估计：马尔科夫不等式提供了一个简单的方法来估计随机变量取值超过某个阈值的概率上限。这对于理解随机变量的行为和进行概率估计非常有用。

2. 理论工具：在概率论和统计学中，马尔科夫不等式是推导其他更复杂不等式（如切比雪夫不等式）的基础工具。通过这些不等式，可以进一步分析随机变量的分布特性。

3. 应用广泛：马尔科夫不等式在各种领域都有应用，包括但不限于统计学、信息论、计算机科学等。例如，在算法分析中，马尔科夫不等式可以用来估计算法的运行时间超过某个阈值的概率。

马尔可夫不等式（Markov’s Inequality）的推导 基于非负随机变量的期望值的定义 。以下是马尔可夫不等式的推导过程：

设 $X$ 是一个非负随机变量，且 $a>0$。需要证明：
$$\mathbb{P}(X\ge a)\le \frac{\mathbb{E}[X]}{a}$$

1. 定义期望值：
   随机变量 $X$ 的期望值定义为：
   $$\mathbb{E}[X]={\int }_0^{\infty }xf(x)dx$$
   其中 $f(x)$ 是 $X$ 的概率密度函数（对于连续随机变量）或概率质量函数（对于离散随机变量）。

2. 分解积分：
   可以将期望值的积分分解为两个部分：
   $$\mathbb{E}[X]={\int }_0^{a}xf(x)dx+{\int }_a^{\infty }xf(x)dx$$

3. 估计第二部分：
   注意到在区间 $[a,\infty )$ 上， $x\ge a$，因此：
   $${\int }_a^{\infty }xf(x)dx\ge {\int }_a^{\infty }af(x)dx=a{\int }_a^{\infty }f(x)dx$$
   其中 ${\int }_a^{\infty }f(x)dx$ 是 $X$ 大于等于 $a$ 的概率，即 $\mathbb{P}(X\ge a)$。

4. 结合两部分：
   将上述结果代入期望值的表达式中，得到：
   $$\mathbb{E}[X]\ge {\int }_0^{a}xf(x)dx+a\mathbb{P}(X\ge a)$$
   由于 ${\int }_0^{a}xf(x)dx\ge 0$，可以忽略这一项，得到：
   $$\mathbb{E}[X]\ge a\mathbb{P}(X\ge a)$$

5. 整理不等式：
   将上式两边同时除以 $a$，得到：
   $$\mathbb{P}(X\ge a)\le \frac{\mathbb{E}[X]}{a}$$