1 误差

真值定义为：

在某一时刻和某一状态下，某量的客观值或实际值。

真值一般是未知的；相对意义上来说，真值又是已知的。

误差定义为：

试验中获得的试验值与它的客观真实值在数值上的不一致。

1.1 绝对误差

绝对误差（absolute error） 定义为：

绝对误差 = 试验值 - 真值,
$$\Delta x=x-x_t.$$

当真值未知，绝对误差也未知时，可以用下式估计出绝对误差的范围：

$$|\Delta x|=|x-x_t|\le |\Delta x{|}_{\max },$$
或
$$x_t\approx x\pm |\Delta x{|}_{\max },$$
其中 $|\Delta x{|}_{\max }$ 称为绝对误差限或绝对误差上界。

1.2 相对误差

相对误差（relative error） 定义为：

相对误差 = 绝对误差 / 真值,
$$E_R=\frac{\Delta x}{x_t}=\frac{x-x_t}{x_t}.$$

若真值未知，则常将 $\Delta x$ 与试验值或平均值之比作为相对误差：

$$E_R\approx \frac{\Delta x}{x},$$
或
$$E_R=\frac{\Delta x}{\bar{x}}.$$

同样的，可以估计出相对误差的大小范围：

$$\left|E_R\right|=\left|\frac{\Delta x}{x_t}\right|\le {\left|\frac{\Delta x}{x_t}\right|}_{\max },$$
或
$$x_t=x\left(1\pm \left|E_R\right|\right).$$
其中 ${\left|\frac{\Delta x}{x_t}\right|}_{\max }$ 称为相对误差限或相对误差上界。

相对误差常常表示为百分数（%）或千分数（‰）。

1.3 算术平均误差

算术平均误差（average discrepancy） 定义为：

$$\Delta =\frac{{\sum }_{i=1}^n\left|x_i-\bar{x}\right|}{n}=\frac{{\sum }_{i=1}^n\left|d_i\right|}{n},$$
其中 $d_i$ 是试验值 $x_i$ 与算术平均值 $\bar{x}$ 之间的偏差。

算术平均误差可以反映一组试验数据的误差大小。

1.4 标准误差

标注误差（standard error） 定义为：

当试验次数 $n$ 无穷大时，总体标准差：
$$\sigma =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-({\sum }_{i=1}^n{x}_i{)}^2/n}{n}}.$$
当试验次数为有限次时，样本标准差：
$$s=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{d}_i^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n-1}}=\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-({\sum }_{i=1}^n{x}_i{)}^2/n}{n-1}}.$$

标准差表示试验值的精密度，标准差 $\downarrow$，试验数据精密度 $\uparrow$。

推导：（补充）
$$\begin{array}{rl}\sigma & =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i-\bar{x}{)}^2}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n(x_i^2-2x_i\bar{x}+{\bar{x}}^2)}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-{\sum }_{i=1}^{n}2x_i\bar{x}+{\sum }_{i=1}^n{\bar{x}}^2}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-2\bar{x}{\sum }_{i=1}^n{x}_i+n{\bar{x}}^2}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-2\bar{x}n\bar{x}+n{\bar{x}}^2}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-n{\bar{x}}^2}{n}}\\ & =\sqrt{\frac{{\sum }_{i=1}^n{x}_i^2-({\sum }_{i=1}^n{x}_i{)}^2/n}{n}}.\end{array}$$

1.5 误差来源

试验数据误差主要分为随机误差、系统误差和过失误差。

1.5.1 随机误差

随机误差（random error）：

• 定义：以不可预知的规律变化着的误差，绝对误差时正时负，时大时小。
• 产生原因：偶然因素。
• 特点：具有统计规律。
  • 小误差比大误差出现机会多。
  • 正、负误差出现的次数近似相等。
  • 当试验次数足够多时，误差的平均值趋向于零。
  • 可以通过增加试验次数减小随机误差。
  • 随机误差不可完全避免。

1.5.2 系统误差

系统误差（systematic error）：

• 定义：一定试验条件下，由某个或某些因素按照某一确定的规律起作用而形成的误差。
• 产生原因：多方面。
• 特点：
  • 系统误差大小及其符号在同一试验中是恒定的。
  • 它不能通过多次试验被发现，也不能通过取多次试验值的平均值而减小。
  • 只要对系统误差产生的原因有了充分的认识，才能对它进行校正，或设法消除。

1.5.3 过失误差

过失误差（mistake）：

• 定义：一种显然与事实不符的误差。
• 产生原因：实验人员粗心大意造成。
• 特点：
  • 可以完全避免。
  • 没有一定规律。

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【参考】

1. 课程老师的 PPT.

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【修改记录】

时间	内容
2022年4月12日15:45:11	样本标准差 $S$ 改为 $s$。