一.向量范数

1.定义：

对于任意向量x,y以及复数α∈C，函数 f(x)=||x|| 满足以下三个条件：

1.非负性
||x|| ≧ 0, ||x||=0 ⇿ x=0 (n*1)

注意符号，可能会导致不满足非负性
例如：|x1|+|2x2|-5|x3|
注意是否所有x分量为0时，整体也为0
例如：|x1|+|2x2+x3|

2.齐次性
||αx||=|α|·||x||

注意函数中带高次方的情况，是否满足齐次性

3.三角不等式
||x+y|| ≤ ||x||+||y||

称函数||*||为C上的一个向量范数（连续函数）

2.常用向量范数

（写的时候把x1,x2…等等称作元素了，可能不太好。。。）

名称	等式	提示
p-范数		绝对值-p次方-求和-开方
1-范数		所有元素的模的和
2-范数		所有元素模平方和-再开方
∞-范数		所有元素的模的 最大值

3.向量加权范数

对给定的任意向量范数||*||，定义出加权的范数：

• W：对角矩阵
  其对角元素，是其每个分量的权系数

求加权范数时，先将矩阵W乘进去，再带公式

4.向量范数的等价性定理

（图中不清楚的地方：下标为α，β，c2>0）

• P-范数等价性特例：（主要是1/2/∞范数）
  

二.矩阵范数

1.定义

对于任意矩阵A,B以及复数α∈C，函数 f(A)=||A|| 满足以下三个条件：

1.非负性
||A||>=0, ||A||=0 ⇿ A=0
2.齐次性
||αA||=|α|·||A||
3.三角不等式
||A+B|| <= ||A||+||B||

称函数||*||为C(C:m×n)上一个矩阵范数

• 向量范数、矩阵范数定义对比：（由向量转为矩阵，需要注意从n×1到m×n）

（由于编辑器中的 | 会被认作表格边界，所以用 / 代替了 | ）

	非负性	齐次性	三角不等式
向量范数：f(x)=//x//,x和y为向量	//x//≧0,//x//=0 ⇿ x=0 (n*1)	//αx//=/α/·//x//	//x+y// ≤//x//+//y//
矩阵范数：f(A)=//A//，A和B为矩阵	//A//≧0, //A//=0 ⇿ A=0	//αA//=/α/·//A//	//A+B// ≤//A//+//B//

2.推广得到的常用矩阵范数

为了便于对照和理解，把上面的向量范数和矩阵范数的表放在一起，更好作为对照
其中一些表示需要 矩阵范数相容性 的知识，在后面会写到

类别	名称	等式	提示
向量范数：	p-范数		绝对值-p次方-求和-开方
	1-范数		所有元素的模的和
	2-范数		所有元素模平方和-再开方
	∞-范数		所有元素的模的 最大值
矩阵范数：	m1范数		所有元素模的和
	F范数		所有元素模 的平方和-开方
	m∞范数		所有元素模 的最大值

3.矩阵范数相容性

相比于向量范数，矩阵范数的相容性是向量范数所没有的，原因在于矩阵的乘法
相容性：
对于任意矩阵A∈C(m×l)，B∈C(l×n)，满足：

通过证明，矩阵范数的M1范数和F范数都满足相容性，但举例可知M∞范数不具有相容性；
因此，对于M∞范数有特别构造：

以上构成A的一种相容范数

• 特例：**单位矩阵**的范数
  （依然用 / 代替 | ）

内容	结果
//A// m1	n
//A// F	n^(1/2) (即：n的开方)
//A// m∞	n

4.矩阵范数的等价性定理

依然将矩阵范数和向量范数的等价性定理放在一起进行比较：
（依然用 / 代替 | ，第二行中β，阿尔法为下标）

向量范数等价性定理	矩阵范数等价性定理
设//·//β 和//·//α 为C(C:n)上的任意两种向量范数	设//·//β 和//·//α 为C(C:m×n)上的任意两种矩阵范数
存在两个无关正常数c1>0,c2>0	存在两个无关正常数c1>0,c2>0
使得：	使得：
并称 //·//β 和 //·//α 为C上的等价范数	并称 //·//β 和 //·//α 为C上的等价范数