概要: 

        在 积分概念 中，将 积分区间为 数轴上 一个区间的情形，称为： 积分 ，物理意义为 面积；

        在 积分概念中， 将 积分区间 为 平面内 闭区域 的情形，称为： 二重积分， 物理意义为 体积；

        在 积分概念中， 将 积分区间 为 空间内闭区域 的情形， 称为：  三重积分， 物理意义为 质量；

        在 积分概念中， 将 积分区间 为  一段 曲线，  称为：  曲线积分(线的质量 或 变力沿有向曲线所作的功) ；
        在 积分概念中， 将 积分区间 为  曲面闭区域， 称为：  曲面积分，物理意义为： 曲面的质量 或 流体流向曲面一侧的流量，即 单位时间内流体流向一侧的总质量。 

对面积的曲面积分： 

   1.形式定义：

                 ，其中，f(x,y,z)称为 被积函数，  Σ 称为 积分曲面。

              若曲面分片光滑，即： Σ = Σ1+Σ2， 有： 

   2.解析：   面密度 （特定体积内的质量的度量） *  小块曲面的 面积  求和。 

   3.计算法：  

                 ，其中，Dxy 表示 曲面在 xOy平面的投影。

            理解： dS = ：

                            

，   详见百度百科

对坐标的曲面积分：

    1.形式定义：

                

               流向  Σ 指定侧 的流量  表示为： 

               分片光滑有向曲面：Σ=Σ1+Σ2，则： 

               反向曲面： 

     2.计算法：

               若面积区域取上侧：  

               若面积区域取下侧： 

两类曲面积分的联系：

      1.理解：  通过   法向量的方向余弦  相联系；  

      2.有向曲面元:  dS = n*dS = (dydz,dzdx,dxdy),  n =(cosα，cosβ，cosγ)为 点(x,y,z)处 的单位法向量。 

高斯公式：

       1.概要：  格林公式，表达了 平面闭区域上的二重积分 与其边界曲线的曲线积分的关系；

                       高斯公式， 表达了 空间闭区域上的 三重积分 与其边界曲线 上的曲面积分的关系；

        2.形式定义：

                    一,   ，其中，Σ 和 Ω的整个边界曲线 的外侧。 

                    二,  ，其中，Σ 和 Ω的整个边界曲线 的外侧。  cosα，cosβ，cosγ  是 Σ 在点 (x,y,z) 处 的法向量的方向余弦。 

        3.应用：

                 利用高斯公式计算曲面积分。 （将二重积分 以 三重积分的方式来解决）

        4.格林第一公式：

                   ，其中，v对n的偏导，代表 函数 v(x,y,z)函数  沿 Σ 的外法线 方向的 方向导数。  称为 拉普拉斯算子。

沿任意闭曲线的曲面积分为零的条件：

              1.单连通：对空间区域Ω，如G内 任一闭曲线 所围成的区域全属于 G，则称： G 是 二维单连通区域；

                               如 Ω内，任一闭曲线 总可以 张成  一片 完全属于G的 曲面，则称： G 是 一维单连通区域；

                                eg: 球面所围成的区域，既是二维单连通，又是 一维 单连通；

                                      环面所围成的区域，是 二维单连通，但不是一维 单连通；

                                      同心球 之间的区域  是一维单连通，但不是 二维单连通的。 

               2.曲面积分为零的充要条件：

                                在G 内 恒成立，G为 空间二维单连通区域。 

 通量与散度：

               1.通量(流量)：

                       设 有向量场  A(x,y,z) = P(x,y,z)i+Q(x,y,z)j+R(x,y,z)k,  n 为  有向曲面Σ  在点 (x,y,z) 的单位法向量， 则称 积分：

                             称为  向量场 A 通过 曲面 Σ 向着 指定侧 的通量（流量）。

                2.高斯公式的物理意义：

                           公式右端： 速度场 v 通过 闭曲面 Σ 流向外侧的流体流量；

                           公式左端： 分布在 Ω内 的 流体源头 在单位时间内 所产生的 流体总质量。 

                3.通量密度（散度）：

                           , 其中，V 表示闭区域Ω 的体积，1/V 表示 单位体积内 所产生的 流体质量的 平均值。

                                记作： div v(M)，  即 div v(M) = 。   div v(M)  可看作：  稳定流动的不可压缩流体 在点M 的 源头强度。 

                 4.一般散度：

                             对于一般的向量场：  A(x,y,z) =P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j+ R(x,y,z)k，  称为 向量场A 的散度， 记作： div A ,即：   div A = .     利用 向量微分算子  ，A 的散度  div A 也 可表达为：  Δ*A,  即 div A = Δ*A.   若  向量场 A 的散度  处处为 零， 称 向量场A 为  无源场。

斯托克斯公式

       1.概要：

              格林公式 表达了 平面闭区域  上的 二重积分  与其 边界曲线上的  曲线积分之间的关系；

              斯托克斯公式  把 曲面 Σ 上的 曲面积分  与 沿着Σ 的边界曲线 的 曲线积分 联系起来。

        2.形式定义：

               一.   ，其中，τ 为 分段光滑的空间有向闭曲线，Σ 是 以 τ  为边界的分片光滑的 有向曲面， τ的正向 与 Σ 的侧 符合 右手规则。 

                   右手规则： 当 右手 除 拇指外的 四指 依 τ 的 绕行方向时，拇指 所指 的方向 与 Σ 上 法向量的指向相同。

                二. 

                三.  ，其中，n = （cosα，cosβ，cosγ）为有向曲线Σ 在点(x,y,z)的单位法向量。 

                    当 Σ表示  xOy上的一块平面闭区域的时候， 斯托克斯公式就变成了格林公式。  格林公式  是  斯托克斯 公式的一种特殊形式。 

       3.应用：

               利用斯托克斯公式求  曲线积分。 （将 一重积分以特殊的方式 转化为二重积分）。

空间曲线与路径无关的条件：

        1.充要条件：

                    在G 内恒成立。 

                   其中，G 是一维单连通区域。 

         2.全微分的充要条件：

                     

                此时有： ，其中 M0（x0,y0,z0）为 G内某一点。 

环流量与旋度：

       1.环流量：

               设有向量场： A(x,y,z)= P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k,  T 是 A 定义域内的 一条 分段光滑的 有向闭曲线，τ 是 T 在 点(x,y,z)处的单位切向量， 则积分： 

                      称为：  向量场A 沿有向闭曲线 T 的环流量。 

                 其具有这样的性质：

         2.旋度（环量密度）：

                设有一向量场， A(x,y,z)= P(x,y,z)i + Q(x,y,z)j + R(x,y,z)k,  则 向量场：  称为： 向量场A 的旋度， 记作： rot A.    即 rotA =

                利用向量微分算子 Δ， rot A可表示为：  Δ*A, 即

                         rot A = Δ*A =   

          3.无旋场：  向量场A 的旋度 rot A 处处为零。 

          4.调和场：  一个无源 且  无旋 的 向量场 。

          5.旋度的由来：   blahblahblah... ,   总之 就是跟 旋转角速度有点关系吧。 。。。 

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2019.3.21 补充：

  曲面积分的对偶性：

不规则空间曲面表达式 在坐标系上投影的求法:

    1.将所投平面的 另一维 的元  消除。   如： 在xOy 平面的投影，则消掉 z；

    2.令得到的式子（一个至多二维的表达式）为0，所代表的图形即是投影图形。 

 网路上的解释：