泊松分布，正态分布，指数分布特征函数推导

泊松分布特征函数推导设XXX服从参数为λ\lambdaλ的泊松分布，则其特征函数为：g(t)=E(eitX)=∑x=0∞eitx⋅e−λ⋅λxx!=e−λ⋅∑x=0∞(λ⋅eit)xx!=e−λ⋅eλ⋅eit=eλ(eit−1)\begin{aligned}g(t) &= E(e^{itX}) \\&= \sum_{x=0}^{\infty}e^{itx...

犹有傲霜枝

50510人浏览 · 2019-05-21 11:57:15

犹有傲霜枝 · 2019-05-21 11:57:15 发布

泊松分布特征函数推导

设 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的泊松分布，则其特征函数为：
$\begin{aligned} g(t) &= E(e^{itX}) \\ &= \sum_{x=0}^{\infty}e^{itx}\cdot e^{-\lambda}\cdot\frac{\lambda^x}{x!} \\ &=e^{-\lambda}\cdot\sum_{x=0}^{\infty}\frac{(\lambda\cdot e^{it})^x}{x!} \\ &=e^{-\lambda}\cdot e^{\lambda\cdot e^{it}} \\ &=e^{\lambda(e^{it}-1)} \end{aligned}$

正态分布特征函数推导

设 $X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$ ，则其特征函数为：
$\begin{aligned} g(t) &= E(e^{itX}) \\ &= \int_{-\infty}^{+\infty}e^{itx}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\cdot exp\{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\}dx\\ &=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\int_{-\infty}^{+\infty}exp\{-\frac{[x-(\mu-\sigma^2it)]^2-2\mu\sigma^2it-\sigma^4i^2t^2}{2\sigma^2}\}dx\\ &=e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\{-\frac{[u-(\mu-\sigma^2it)]^2}{2\sigma^2}\}du \\ &=e^{i\mu t-\frac{1}{2}\sigma^2t^2} \end{aligned}$
其中 $\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}exp\{-\frac{[u-(\mu-\sigma^2it)]^2}{2\sigma^2}\}du=1$ 。因为对于该式，有 $U\sim\mathcal{N}(\mu-\sigma^2it), \sigma^2)$

指数分布的特征函数推导

设 $X$ 服从参数为 $\lambda$ 的指数分布，则其特征函数为：
$\begin{aligned} g(t) &= E(e^{itX}) \\ &= \int_{-\infty}^0e^{itx}\cdot0dx+\int_0^{+\infty}e^{itx}\cdot\lambda\cdot e^{-\lambda x}dx \\ &=0 + \lambda\cdot\frac{1}{it-\lambda}e^{(it-\lambda)x}|_0^{+\infty} \\ &=(\frac{it}{\lambda}-1)^{-1}[0-1]\\ &=(1-\frac{it}{\lambda})^{-1} \end{aligned}$
对于 $|e^{(it-\lambda)x}|=|e^{itx}|\cdot e^{-\lambda x}=e^{-\lambda x}$ ，所以对 $+\infty$ 时取 $0$ 。