负指数二项式展开
负指数二项式展开文章目录负指数二项式展开前言含负数的组合数负指数二项式的麦克劳林展开参考资料前言今日在学习陈希孺先生的《概率论与数理统计》一书时，看到了一个之前未闻的负二项分布，于是上溯到负指数的二项式展开，这方面从前未知，照例学习一番，写篇博客，即入即出。含负数的组合数我们通常的二项式展开的指数是非负整数，例如：(a+b)n=∑r=0nCnran−rbr(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n
负指数二项式展开
前言
今日在学习陈希孺先生的《概率论与数理统计》一书时，看到了一个之前未闻的负二项分布，于是上溯到负指数的二项式展开，这方面从前未知，照例学习一番，写篇博客，即入即出。
含负数的组合数
我们通常的二项式展开的指数是非负整数，例如：
(
a
+
b
)
n
=
∑
r
=
0
n
C
n
r
a
n
−
r
b
r
(a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}C_n^ra^{n-r}b^r
(a+b)n=r=0∑nCnran−rbr
其中
C
n
r
=
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}
Cnr=r!(n−r)!n!，又记做
(
n
r
)
\tbinom{n}{r}
(rn)。我们高中学到的二项式展开，
n
n
n和
r
r
r通常是非负整数，如果我们要展开像是
(
a
+
b
)
−
3
(a+b)^{-3}
(a+b)−3这样指数是负数的二项式，就要把上面的
n
n
n拓展到负数，而
r
r
r仍是非负整数。
n
n
n拓展到负数以后，
(
n
r
)
\tbinom{n}{r}
(rn)的计算方法还是一样的，即：
(
n
r
)
=
n
(
n
−
1
)
⋯
(
n
−
r
+
1
)
r
!
=
n
!
r
!
(
n
−
r
)
!
\tbinom{n}{r}=\frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!}
(rn)=r!n(n−1)⋯(n−r+1)=r!(n−r)!n!
假设
n
n
n,
k
k
k为正数，我们根据这个定义计算一下
(
−
n
k
)
\tbinom{-n}{k}
(k−n):
(
−
n
k
)
=
(
−
n
)
(
−
n
−
1
)
⋯
(
−
n
−
(
k
−
1
)
)
k
!
=
(
−
1
)
k
n
(
n
+
1
)
⋯
(
n
+
k
−
1
)
k
!
=
(
−
1
)
k
(
n
+
k
−
1
)
!
k
!
(
n
−
1
)
!
=
(
−
1
)
k
(
n
+
k
−
1
k
)
\begin{aligned} \tbinom{-n}{k} =&\frac{(-n)(-n-1)\cdots(-n-(k-1))}{k!}\\ =&(-1)^k\frac{n(n+1)\cdots(n+k-1)}{k!}\\ =&(-1)^k\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\\ =&(-1)^k\tbinom{n+k-1}{k} \end{aligned}
(k−n)====k!(−n)(−n−1)⋯(−n−(k−1))(−1)kk!n(n+1)⋯(n+k−1)(−1)kk!(n−1)!(n+k−1)!(−1)k(kn+k−1)
负指数二项式的麦克劳林展开
f
(
x
)
f(x)
f(x)的麦克劳林级数（Maclaurin series ）定义为：
f
(
x
)
=
f
(
0
)
+
f
′
(
0
)
x
+
f
"
(
0
)
2
!
x
2
+
⋯
+
f
(
k
)
(
0
)
k
!
x
k
+
⋯
f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{"}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\cdots
f(x)=f(0)+f′(0)x+2!f"(0)x2+⋯+k!f(k)(0)xk+⋯
假设
n
n
n为正数，以
1
(
1
+
x
)
n
\frac{1}{(1+x)^n}
(1+x)n1为例，求其二项式展开。
首先根据Maclaurin级数展开
1
(
1
+
x
)
n
\frac{1}{(1+x)^n}
(1+x)n1：
f
(
x
)
=
(
1
+
x
)
−
n
⇒
f
(
0
)
=
1
f
′
(
x
)
=
(
−
n
)
(
1
+
x
)
(
−
n
−
1
)
⇒
f
′
(
0
)
=
−
n
f
"
(
x
)
=
(
−
n
)
(
−
n
−
1
)
(
1
+
x
)
(
−
n
−
2
)
⇒
f
"
(
0
)
=
(
−
n
)
(
−
n
−
1
)
⋮
f
(
k
)
(
x
)
=
(
−
n
)
(
−
n
−
1
)
⋯
(
−
n
−
(
k
−
1
)
)
(
1
+
x
)
−
n
−
k
⇒
f
(
k
)
(
0
)
=
(
−
n
)
(
−
n
−
1
)
⋯
(
−
n
−
(
k
−
1
)
)
⋮
\begin{aligned} f(x) = (1+x)^{-n}\Rightarrow&f(0)=1\\ f^{'}(x) = (-n)(1+x)^{(-n-1)}\Rightarrow&f^{'}(0)=-n\\ f^{"}(x) = (-n)(-n-1)(1+x)^{(-n-2)}\Rightarrow&f^{"}(0)=(-n)(-n-1)\\ &\vdots\\ f^{(k)}(x) = (-n)(-n-1)\cdots(-n-(k-1))(1+x)^{-n-k}\Rightarrow&f^{(k)}(0)=(-n)(-n-1)\cdots(-n-(k-1))\\ &\vdots \end{aligned}
f(x)=(1+x)−n⇒f′(x)=(−n)(1+x)(−n−1)⇒f"(x)=(−n)(−n−1)(1+x)(−n−2)⇒f(k)(x)=(−n)(−n−1)⋯(−n−(k−1))(1+x)−n−k⇒f(0)=1f′(0)=−nf"(0)=(−n)(−n−1)⋮f(k)(0)=(−n)(−n−1)⋯(−n−(k−1))⋮
代入得：
f
(
x
)
=
1
+
(
−
n
)
x
+
(
−
n
)
(
−
n
−
1
)
2
!
x
2
+
⋯
+
(
−
n
)
(
−
n
−
1
)
⋯
(
−
n
−
(
k
−
1
)
)
k
!
x
k
=
∑
k
=
0
∞
(
−
n
k
)
x
k
=
∑
k
=
0
∞
(
−
1
)
k
(
n
+
k
−
1
k
)
x
k
\begin{aligned} f(x)&=1+(-n)x+\frac{(-n)(-n-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{(-n)(-n-1)\cdots(-n-(k-1))}{k!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\tbinom{-n}{k}x^k\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\tbinom{n+k-1}{k}x^k \end{aligned}
f(x)=1+(−n)x+2!(−n)(−n−1)x2+⋯+k!(−n)(−n−1)⋯(−n−(k−1))xk=k=0∑∞(k−n)xk=k=0∑∞(−1)k(kn+k−1)xk
参考资料
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