基本概念

        有限元计算微分方程由于计算机本身的从存储限制及方程的复杂性，采用数值方法来逼近真实解。有限元算法基础——欧拉法、拉格朗日算法，以欧拉法为例，主要分为forward Euler Method及backward Euler Method
    Forward Euler Method——显示算法，也即Explicit Method。
    Backward Euler Method——隐式算法，也即Implicit Method。

算法区别

1.概述

• 在显式算法中，$T(n+1)$时刻的值由$T(n)$时刻决定，也就是说当前时刻的值由上一时刻的值决定。
• 1、求解常微分方程：$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$
  2、初始条件：$y(t_0)=y_0$
  3、设$h$为每一步的时间步长，在tn时刻：$t_n=t_0+nh$
  4、$T(n+1)$时刻数值：$y_{n+1}=y_n+hf(t_n,y_n)$
• 在隐式算法中，$T(n+1)$时刻的值不仅由$T(n)$时刻决定，还由当前时刻$T(n+1)$决定；也就是说当前时刻的值由上一时刻和当前时刻的值共同决定；隐式算法往往需要求解二次方程。
• 1、求解常微分方程：$\frac{dy}{dt}=f(t,y)$
  2、初始条件：$y(t_0)=y_0$
  3、设$h$为每一步的时间步长，在tn时刻：$t_n=t_0+nh$
  4、$T(n+1)$时刻数值：$y_{n+1}=y_n+hf(t_{n+1},y_{n+1})$

2.收敛性

• 显示算法不存在收敛性的问题（因为不进行收敛计算），每个时刻的值由上一时刻所确定，但当时间步取得较大时，就会脱离真实值。
• 隐式算法是无条件收敛的，在隐式算法中，在求解二次方程的同时，会通过牛顿法对每一步进行迭代收敛，直至收敛到指定的偏差。

3.时间步长的依赖性

        显示算法的准确性严重依赖于计算时间步长，要想获得比较准确的结果，时间步需要非常小，但是显式算法是绝对收敛的，对时间步长要求不高。

4.计算效率

• 显示动力学由于是间接求得位移$x$的，要取得足够的精度，需要取很短的时间步长，所以需要进行很多步计算，但每一步计算需要的时间很短。
• 隐式动力学由于直接求得位移$x$，所以不存在收敛性问题，但由于动力学分析往往涉及非线性（几何非线性、材料非线性等），可能每一步都要进行刚度的求逆，非常耗时，但时间步长相对显示算法可以取得很大。

5.适用范围

• 显式算法：一般用于作用时间短，非线性程度高的动力学分析、准静态分析。如爆炸、碰撞、跌落及倒塌等。
• 隐式算法：一般用于作用时间较长、非线性程度不高的动力学、静力学分析及准静态分析。