0. 写在前面

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这些问题是我保研备考线性代数的过程中，详细总结的常见面试问题。逐个搜索并记录下来，花了很大的精力！如果想要获取源文件的话，可以关注我的微信公众号：小梁说代码，获取嘿嘿嘿。感谢关注。

1. 矩阵的秩，满秩代表什么？不满秩呢？

矩阵中不为零的子式的最大阶数,叫做矩阵的秩。它代表线性独立的行或列的最大数量。

满秩的矩阵的所有行或列都是线性独立的，行列式不为零。

不满秩代表矩阵中存在线性相关的行或列。

2. 什么是线性相关？什么是线性无关？

线性相关：如果一个向量组中的某个向量可以表示为其他向量的线性组合，那么这个向量组就被称为线性相关的。换句话说，存在不全为零的系数，使得这些系数与向量组的线性组合为零向量。

线性无关：如果一个向量组中的任何向量都不能表示为其他向量的线性组合，那么这个向量组就被称为线性无关的。换句话说，唯一的系数使得这些系数与向量组的线性组合为零向量是全为零的系数。

3. 什么是向量空间？什么是线性空间？

向量空间和线性空间是同一个概念，只是名称不同。

向量空间/线性空间：是一个集合，其中的元素叫做向量，这些向量可以进行加法和标量乘法运算，并满足一系列的数学性质（如交换律、结合律等）。简单来说，它是一个可以进行向量加法和标量乘法的向量集合。

4. 什么是向量的基？

是向量空间中的一组线性无关的向量，可以表示空间中的任何其他向量。简单来说，它是构建整个向量空间的“基础”向量集合。

5. 什么是向量正交？什么是矩阵正交？

向量正交：如果两个向量的点积为零，那么这两个向量就是正交的，正交的向量在空间中是垂直的。

矩阵正交：如果一个矩阵的行向量和列向量都是单位向量，并且它们之间两两正交，那么这个矩阵就是正交矩阵，正交矩阵的行和列都是正交的单位向量。

6. 高斯分布(正态分布)？

高斯分布（正态分布）是一个常见的连续概率分布。正态分布的数学期望值或期望值 μ 等于位置参数，决定了分布的位置；其方差 σ² 的开平方或标准差 σ 等于尺度参数，决定了分布的幅度。

高斯分布（正态分布）的特点是大部分数据集中在均值附近，而离均值越远的值出现的概率越小。高斯分布（正态分布）描述了许多自然现象中观察到的数据的分布特性。

7. 什么相似矩阵？什么是正定矩阵？

相似矩阵：如果存在一个可逆矩阵 P，使得 A = P^-1BP，那么矩阵 A 和 B 被称为相似矩阵。简单来说，相似矩阵在某种意义上具有相同的特性，例如它们有相同的特征值。

正定矩阵：对于一个对称矩阵 A，如果对于任何非零向量 x，都有 x^TAx > 0，那么矩阵 A 被称为正定矩阵。简单来说，正定矩阵的所有特征值都是正的，它描述了一个总是“向上凸”的二次形式。

8. 矩阵范数(一阶二阶范数)

矩阵范数是一种将矩阵映射到标量的函数，它可以用来衡量矩阵的大小。一阶范数和二阶范数是两种常见的矩阵范数。

一阶范数（也称为曼哈顿范数）是将矩阵中所有元素的绝对值相加得到的结果。

二阶范数（也称为弗罗贝尼乌斯范数）是将矩阵中所有元素的平方和开根号得到的结果。

9. 矩阵的特征值与特征向量有什么关系？特征值特征向量的含义和作用？

矩阵的特征值和特征向量是矩阵的重要性质。特征向量是指在矩阵变换下，仅被伸缩而不改变方向的向量。特征值是对应于特征向量的标量，它表示在该方向上的伸缩倍数。

更具体地说，如果 A 是一个 n×n 的矩阵，那么一个非零向量 v 是 A 的一个特征向量，当且仅当存在一个标量 λ 使得 Av=λv。这个标量 λ 就是 v 对应的特征值。

特征值和特征向量在许多领域都有广泛的应用，例如在物理学、工程学、计算机科学等领域。它们可以用于解决许多问题，例如求解微分方程、计算矩阵的幂等等。

10. 矩阵运算下Ax=b 中什么情况下x有解？

要确定 Ax=b 是否有解，我们需要考察系数矩阵和增广矩阵的秩

系数矩阵的秩与增广矩阵的秩相同：即系数矩阵 A 的秩与由 A 和 b 组成的增广矩阵的秩相等。

系数矩阵的秩等于未知数的数量：如果系数矩阵 A 的秩等于未知数 x 的数量，那么方程组有唯一解。

系数矩阵的秩小于未知数的数量：如果系数矩阵 A 的秩小于未知数 x 的数量，但与增广矩阵的秩相同，那么方程组有无穷多个解。

简而言之，

11. 什么是张量？张量与矩阵有什么区别？

张量：张量是一个可以表示在多个维度上的数据的数学对象。在物理和数学中，张量经常被用来描述复杂的关系，如物体的形状和方向。

与矩阵的区别：

维度：矩阵是二维的，而张量可以是任意维度。例如，标量是0维张量，向量是1维张量，矩阵是2维张量，以此类推。

灵活性：张量可以表示更高维度的数据，而矩阵只能表示二维数据。

应用：在深度学习和其他领域，张量用于处理和表示更复杂的数据结构，如图像、声音和文本。

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度学习和其他领域，张量用于处理和表示更复杂的数据结构，如图像、声音和文本。

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