【Cauchy-Schwarz不等式】：

设$a_1,a_2,\dots ,a_n$及$b_1,b_2,\dots ,b_n$都是复数，那么

$${\left|\sum _{i=1}^n{a}_i{\overline{b}}_i\right|}^2\le \left(\sum _{i=1}^n{\left|a_i\right|}^2\right)\left(\sum _{i=1}^n{\left|b_i\right|}^2\right)$$

【证明】

当$n=1$显然有等号成立。当$n>1$时下面用数学归纳法来证明。

1. 当$n=2$时，不等式成立

这是因为

$$\left(a_1{\overline{b}}_1+a_2{\overline{b}}_2\right)\left({\overline{a}}_1{b}_1+{\overline{a}}_2{b}_2\right)-\left(a_1{\overline{a}}_1+a_2{\overline{a}}_2\right)\left(b_1{\overline{b}}_1+b_2{\overline{b}}_2\right)$$

$$=\left(a_1{\overline{a}}_1{b}_1{\overline{b}}_1+a_1{\overline{a}}_2{\overline{b}}_1{b}_2+{\overline{a}}_1{a}_2{b}_1{\overline{b}}_2+a_2{\overline{a}}_2{b}_2{\overline{b}}_2\right)-\left(a_1{\overline{a}}_1{b}_1{\overline{b}}_1+a_1{\overline{a}}_1{b}_2{\overline{b}}_2+a_2{\overline{a}}_2{b}_1{\overline{b}}_1+a_2{\overline{a}}_2{b}_2{\overline{b}}_2\right)$$

$$=a_1{\overline{a}}_2{\overline{b}}_1{b}_2+{\overline{a}}_1{a}_2{b}_1{\overline{b}}_2-a_1{\overline{a}}_1{b}_2{\overline{b}}_2-a_2{\overline{a}}_2{b}_1{\overline{b}}_1$$

$$={\overline{a}}_2{\overline{b}}_1\left(a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)+{\overline{a}}_1{\overline{b}}_2\left(a_2{b}_1-a_1{b}_2\right)$$

$$=-\left({\overline{a}}_1{\overline{b}}_2-{\overline{a}}_2{\overline{b}}_1\right)\left(a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)=-{\left|a_1{b}_2-a_2{b}_1\right|}^2\le 0$$

所以

$${\left|\sum _{i=1}^2{a}_i{\overline{b}}_i\right|}^2\le \left(\sum _{i=1}^2{\left|a_i\right|}^2\right)\left(\sum _{i=1}^2{\left|b_i\right|}^2\right)$$

等号成立的条件是

$$a_1{b}_2-a_2{b}_1=0$$

2. 假定当$n=k(k\ge 2)$时不等式成立，下面证明当$n=k+1$时不等式也成立

$${\left|\sum _{i=1}^{k+1}{a}_i{\overline{b}}_i\right|}^2-\left(\sum _{i=1}^{k+1}{\left|a_i\right|}^2\right)\left(\sum _{i=1}^{k+1}{\left|b_i\right|}^2\right)$$

$$=\left(\sum _{i=1}^{k+1}{a}_i{\overline{b}}_i\right)\left(\sum _{i=1}^{k+1}{\overline{a}}_i{b}_i\right)-\left(\sum _{i=1}^{k+1}{a}_i{\overline{a}}_i\right)\left(\sum _{i=1}^{k+1}{b}_i{\overline{b}}_i\right)$$

$$=\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{\overline{b}}_i\right)\left(\sum _{i=1}^k{\overline{a}}_i{b}_i\right)+a_{k+1}{\overline{b}}_{k+1}\left(\sum _{i=1}^k{\overline{a}}_i{b}_i\right)+{\overline{a}}_{k+1}{b}_{k+1}\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{\overline{b}}_i\right)+a_{k+1}{\overline{a}}_{k+1}{b}_{k+1}{\overline{b}}_{k+1}-\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{\overline{a}}_i\right)\left(\sum _{i=1}^k{b}_i{\overline{b}}_i\right)-a_{k+1}{\overline{a}}_{k+1}\left(\sum _{i=1}^k{b}_i{\overline{b}}_i\right)-b_{k+1}{\overline{b}}_{k+1}\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{\overline{a}}_i\right)-a_{k+1}{\overline{a}}_{k+1}{b}_{k+1}{\overline{b}}_{k+1}$$因为（根据$n=k$时的不等式）

$$\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{\overline{b}}_i\right)\left(\sum _{i=1}^k{\overline{a}}_i{b}_i\right)-\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{\overline{a}}_i\right)\left(\sum _{i=1}^k{b}_i{\overline{b}}_i\right)\le 0$$

而对于

$$a_{k+1}{\overline{b}}_{k+1}\left(\sum _{i=1}^k{\overline{a}}_i{b}_i\right)+{\overline{a}}_{k+1}{b}_{k+1}\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{\overline{b}}_i\right)-a_{k+1}{\overline{a}}_{k+1}\left(\sum _{i=1}^k{b}_i{\overline{b}}_i\right)-b_{k+1}{\overline{b}}_{k+1}\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{\overline{a}}_i\right)$$

$$=\sum _{i=1}^k\left(a_{k+1}{\overline{a}}_i{\overline{b}}_{k+1}{b}_i+{\overline{a}}_{k+1}{a}_i{b}_{k+1}{\overline{b}}_i-a_{k+1}{\overline{a}}_{k+1}{b}_i{\overline{b}}_i-a_i{\overline{a}}_i{b}_{k+1}{\overline{b}}_{k+1}\right)=\sum _{i=1}^k\left(-{\left|a_{k+1}{b}_i-a_i{b}_{k+1}\right|}^2\right)\le 0$$

从而

$${\left|\sum _{i=1}^{k+1}{a}_i{\overline{b}}_i\right|}^2-\left(\sum _{i=1}^{k+1}{\left|a_i\right|}^2\right)\left(\sum _{i=1}^{k+1}{\left|b_i\right|}^2\right)$$

$$=\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{\overline{b}}_i\right)\left(\sum _{i=1}^k{\overline{a}}_i{b}_i\right)-\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{\overline{a}}_i\right)\left(\sum _{i=1}^k{b}_i{\overline{b}}_i\right)+a_{k+1}{\overline{b}}_{k+1}\left(\sum _{i=1}^k{\overline{a}}_i{b}_i\right)+{\overline{a}}_{k+1}{b}_{k+1}\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{\overline{b}}_i\right)-a_{k+1}{\overline{a}}_{k+1}\left(\sum _{i=1}^k{b}_i{\overline{b}}_i\right)-b_{k+1}{\overline{b}}_{k+1}\left(\sum _{i=1}^k{a}_i{\overline{a}}_i\right)\le 0$$

即

$${\left|\sum _{i=1}^{k+1}{a}_i{\overline{b}}_i\right|}^2\le \left(\sum _{i=1}^{k+1}{\left|a_i\right|}^2\right)\left(\sum _{i=1}^{k+1}{\left|b_i\right|}^2\right)$$

等号成立的条件是，对于所有下标对$i\ne j$，都有

$$a_j{b}_i-a_i{b}_j=0$$