一、分析问题

1、什么是杨辉三角

杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中出现。

 

2、基本特点

1. 每个数等于它上方两数之和。
2. 每行数字左右对称，由1开始逐渐变大。
3. 第n行的数字有n项。
4. 前n行共[(1+n)n]/2 个数。
5. 第n行的m个数可表示为 C(n-1，m-1)，即为从n-1个不同元素中取m-1个元素的组合数

3、解题思路

所以，根据特点一和特点五，我们就有了两种实现杨辉三角的思路

思路一：根据上一行的数推出下一行的数

思路二：直接根据C(n-1，m-1)公式算出该位置的数

二、方法一

1、解题思路

根据上一行的数推出下一行的数，所以就要记录下每行的数据，那么就想到了：可以用二维数组来记录每行的数据

2、知识补充

①：二维数组

//先定义数据类型，第一个中括号内定义行数，第二个定义列数
int arr[4][3];
//定义了一个4行3列的整形数组

可以把二维数组想象成一个表格，（下标从0开始）

若要给A处赋值为99

arr[3][1] = 99;

若要获取“77”

int n;
n = arr[2][1];

②"%6d"

printf("%6d",n);//打印的数字长度为6，不足的在左侧用空格代替

目的：让数字之间 间隔开来，毕竟距离产生美嘛~

3、代码实现

以生成一个9行的杨辉三角为例子

首先要定义一个二维数组（杨辉三角特点三：第n行的数字有n项），所以二维数组要九行九列

#include<stdio.h>
#define N 9    // 定义常量N 赋值 9
int main()
{
    //定义九行九列的二维数组
	int n[N][N];
    return 0；
}

杨辉三角最外列全是1，所以我们先给数组全赋值为1 

    int n[N][N] = {1};
    int i,j;
    //数组全部赋值为1
    for (i = 0; i < N; i++) 
	    for (j = 0; j < N; j++)
		    n[i][j] = 1;

加上遍历数组的代码

//遍历数组
for (i = 0; i < N; i++){
	for (j = 0; j < N; j++)
		printf("%6d",n[i][j]);//打印的数字长度为6，不足的在左侧用空格代替
    printf("\n");    // 每行结束后，换行
}

先把把杨辉三角左侧的空格全部去掉，变成了一个阶梯状

第一行，1个数、第二行，2个数，第n行，n个数

 

把刚刚的代码改一下

#include<stdio.h>
#define N 9
int main()
{
	//定义九行九列的二维数组
	int n[N][N] = { 1 };
	int i, j;
	//数组全部赋值为1
	for (i = 0; i < N; i++)
		for (j = 0; j <= i; j++)    //让最大列数==行数
			n[i][j] = 1;
	//遍历数组
	for (i = 0; i < N; i++) {
		for (j = 0; j <= i; j++)    //让最大列数==行数
			printf("%6d", n[i][j]);//打印的数字长度为6，不足的在左侧用空格代替
		printf("\n");    // 每行结束后，换行
	}

分析，每个数等于它上方两数之和，即

2 == 1+1；3 == 1+2；6 == 3+3

所以，第 i 行第 j 列 的数 = 第 i-1 行第 j-1 列 的数 + 第 i-1 行第 j 列 的数

即，arr[i][j] = arr[i-1][j-1]+arr[i-1][j]

//赋值
for (i = 1; i < N; i++)           //每行第一个数确定是1，所以下标从1开始（即从第二个数开始）
	for (j = 1; j <= i; j++)
		n[i][j] = n[i-1][j-1]+ n[i - 1][j];

下面，就要在每行前面，加上对应的空格了

因为我们的每个数字长度为6，所以想要让上下两行错位的话，就要在最左侧错开3格的距离

所以我们以三个空格的距离为单位，那每行要打印多少个单位呢 ？

我们可以看出，倒数第一行不用打印空格

倒数第二行打印一个单位

倒数第三行打印两个单位

即，第n行打印（行数-n）个单位

又因为编程里面下标从0开始，所以第n行打印（行数-n-1）个单位

可以用for循环来控制

//遍历数组
for (i = 0; i < N; i++) {
	for (j = 0; j < N - 1 - i; j++)
		printf("   ");
	for (j = 0; j <=i; j++)    //让最大列数==行数
		printf("%6d", n[i][j]);//打印的数字长度为6，不足的在左侧用空格代替
	printf("\n");    // 每行结束后，换行
}

 

4、完整代码

#include<stdio.h>
#define N 9
int main()
{
	//定义九行九列的二维数组
	int n[N][N] = { 1 };
	int i, j;
	//数组全部赋值为1
	for (i = 0; i < N; i++)
		for (j = 0; j <=i; j++)    //让最大列数==行数
			n[i][j] = 1;
	//赋值
	for (i = 1; i < N; i++)  //每行第一个数确定是1，所以下标从1开始（即从第二个数开始）
		for (j = 1; j <= i; j++)
			n[i][j] = n[i - 1][j - 1] + n[i - 1][j];
	//遍历数组
	for (i = 0; i < N; i++) {
		for (j = 0; j < N - 1 - i; j++)
			printf("   ");
		for (j = 0; j <=i; j++)    //让最大列数==行数
			printf("%6d", n[i][j]);//打印的数字长度为6，不足的在左侧用空格代替
		printf("\n");    // 每行结束后，换行
	}
	
	return 0;
}

三、方法二 

1、解题思路

直接根据C(n-1，m-1)公式算出该位置的数

编程里下标是从0开始的，所以(  C(a,b) = a! / ( b! * (a-b)! )  )

那应该如何用代码实现这个公式呢？

首先想到的，应该是用循环来实现，但是这里可以用更简单的方法来写，那就是自定义函数、递归函数

2、知识补充

①自定义函数

在一个程序中，除了必要的main函数、内置函数，我们还可以自定义函数来实现某一特定功能

// 数据类型 函数名称 (定义要传入的参数)
int add(int m, int n)//如果不需要传入参数就可以不定义参数
{    // 一个简单的加法函数
	return m + n;
} 

引用时，在主函数内直接写 函数名称(要传入的参数) ; 即可

//例如
#include<stdio.h>
int add(int m, int n)
{
	return m + n;
}
int main()
{
	int a = add(5, 6);
	printf("%d",a);
	return 0;
}

运行结果就是 11

②：函数递归

自定义函数的返回值也可以是自己本身，所以可以用函数在计算阶乘

int fac(int n)
{
    if ( n == 1)
        return 1;
    else
        return n*fac(n-1);
}

 当传入参数 4 时；

从而完成阶乘运算

3、代码实现

首先我们要先写一个能计算阶乘的函数（即，递归函数）

int fac(int n)
{
    if ( n == 1)
        return 1;
    else
        return n*fac(n-1);
}

然后我们在写一个函数来实现 C(a,b) = a! / ( b! * (a-b)! ) 

int C(int a, int b)
{
    return fac(a) / (fac(b) * fac(a - b));
}

然后剩下的，跟方法一的思路差不多，还是用for循环嵌套

int main()
{
    // 定义行数为n
    int i,j,n = 9;  //打印九行
    for (i = 0; i < n; i++) {
		for (j = 0; j < n - 1 - i; j++)  //打印空格
			printf("   ");
		for (j = 0; j <=i; j++)    //让最大列数==行数
			printf("%6d", C(i,j));//打印的数字长度为6，不足的在左侧用空格代替
		printf("\n");    // 每行结束后，换行
	}
    return 0;
}

但此时还有一个问题，编程中下标是从0开始的，所以阶乘函数要做一点修改

就是当传入0时，返回值为1

int fac(int n)
{
    if ( n == 1 || n == 0)
        return 1;
    else
        return n*fac(n-1);
}

效果

4、完整代码

#include<stdio.h>
// 阶乘函数
int fac(int n)
{
    if (n == 1 || n == 0)
        return 1;
    else
        return n * fac(n - 1);
}

int C(int a, int b)
{
    return fac(a) / (fac(b) * fac(a - b));
}

int main()
{
    // 定义行数为n
    int i,j,n = 9;  //打印九行
    for (i = 0; i < n; i++) {
        for (j = 0; j < n - 1 - i; j++)  //打印空格
            printf("   ");
        for (j = 0; j <= i; j++)    //让最大列数==行数
            printf("%6d", C(i, j));//打印的数字长度为6，不足的在左侧用空格代替
        printf("\n");    // 每行结束后，换行
    }
    return 0;
}

over！