第一章 函数与极限

第一节 映射与函数

一、映射

f从x到y的映射：$f:X\to Y$，x是原像，y是像。函数中x是自变量，y是因变量。

映射三要素：
集合X，定义域$D=D_f=X$
集合Y，值域 R f = f ( D ) = f ( X ) = { f ( x ) ∣ x ∈ X } = { y ∣ y = f ( x ) , x ∈ D } ， R f ⊆ Y R_f=f(D)=f(X)=\{f(x)|x∈X\}=\{y|y=f(x),x∈D\}，R_f⊆Y Rf​=f(D)=f(X)={f(x)∣x∈X}={y∣y=f(x),x∈D}，Rf​⊆Y，教材上用的是$\subset$
对应法则$f$

满射：Y全部用完
单射：x和y一 一对应，但Y不一定用完。
一 一映射（双射）：满射+单射。

映射，算子，泛函，变换，函数（实数集X→实数集Y）。

逆映射：
$f:X\to Y$
$g:R_f\to X$
$g=f^{-1}$
定义域：$D_{f^{-1}}=R_f$
值域：$R_{f^{-1}}=X$

mathmatica求反函数，优先使用方法2
方法1：

ClearAll["Global`*"];
(*定义函数*)f[x_] := x + 1;

(*使用 InverseFunction*)
inverse = InverseFunction[f]

方法2：

ClearAll["Global`*"];
(*定义函数*)f[x_] := x + 1;

(*求反函数*)
inverse = x /. Solve[y == f[x], x][[1]]

复合映射：
设有两个映射：$g:X\to Y_1，f:Y_2\to Z$
$f\circ g=f[g(x)]$，$R_g\subseteq D_f$，教材上用的是$\subset$，满足结合律，不满足交换律

二、函数

绝对值函数、符号函数、取整函数、狄利克雷函数

函数的几种特性：
有界性、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性

初等函数：幂指对，三反三
双曲正弦、双曲余弦、双曲正切
反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切

$y=\sqrt{x+2}+1$，求定义域和值域

(*求定义域，需要程序员构造不等式*)
domain = Reduce[x + 2 >= 0, x, Reals];
domain

(*求值域*)
y = Sqrt[x + 2] + 1;
range = FunctionRange[y, x, y];
range

mathematica 8.0不支持，暂无输出结果。

第二节 数列的极限

一、数论极限的定义

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a\iff \forall \epsilon >0，\exists 正整数N，当n>N时，有|x_n-a|<\epsilon$$

二、收敛数列的性质

1.极限唯一。
2.收敛必有界，反之不一定成立。
3.收敛数列的保号性：$$如果\underset{n\to \infty }{\lim }{x}_n=a且a>0(或a<0)，那么存在正整数N，当n>N时，都有x_n>0（x_n<0）$$
4.原数列收敛，那么子数列也收敛，反之不一定成立。

第三节 函数的极限

一、函数极限的定义

自变量趋于有限值时函数的极限：
$$\underset{x\to x_0}{\lim }f(x)=A\iff \forall \epsilon >0，\exists \delta >0，当0<|x-x_0|<\delta 时，有|f(x)-A|<\epsilon$$

自变量趋于无穷大时函数的极限：
$$\underset{x\to \infty }{\lim }f(x)=A\iff \forall \epsilon >0，\exists X>0，当|x|>X时，有|f(x)-A|<\epsilon$$

二、函数极限的性质，跟数列极限类似

1.极限唯一性
2.局部有界性
3.局部保号性
4.函数收敛，其数列也收敛

第四节 无穷小和无穷大

自然智慧即可。

第五节 极限运算法则

自然智慧即可。

第六节 极限存在准则 两个重要极限

极限存在准则：
1.夹逼准则
2.单调有界数列必有极限。单调有界是充分条件。
柯西极限存在准则，也叫柯西申敛原理。
数列 { x n } \{x_n\} {xn​}收敛的充分必要条件是：对于任意给定的正数 $\epsilon$，存在正整数$N$，使得当$m>N$，$n>N$，有$|x_n-x_m|<\epsilon$

两个重要极限：
$$\underset{x\to 0}{\lim }\frac{sinx}{x}=1$$
$$\underset{x\to \infty }{\lim }(1+\frac{1}{x}{)}^x=e$$

mathmatica求极限：

Limit[(1 + 1/x)^x, x -> Infinity]

第七章 无穷小的比较

高阶无穷小
低阶无穷小
同阶无穷小、等价无穷小
k阶无穷小

求极限的时候，$f(x)+g(x)$，$f(x)$不能用等价无穷小替换。$f(x)\ast g(x)$，$f(x)$可以用等价无穷小替换。

第八章 函数的连续性与间断点

一、函数的连续性

左右极限相等并且极限等于函数值，那就是连续。

二、函数的间断点

第一类间断点（有极限）：可去间断点、跳跃间断点。
第二类间断点（没有极限）：无穷间断点（y趋于无穷）、振荡间断点。

第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性

第十节 闭区间上连续函数的性质

$f(x)$连续，定义域是$[a,b]$。两端点的值是$f(a)=A$和$f(b)=B$
1.有界性
值域在一个闭区间里。
2.零点定理与介值定理
零点定理：$f(a)$和$f(b)$异号，即使$f(a)\ast f(b)<0$，则在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使$f(\xi )=0$。
介值定理：$f(a)=A$，$f(b)=B$，对于$A$与$B$之间的任意一个数$C$，在开区间$(a,b)$内至少有一点$\xi$，使$f(\xi )=C$。
3.一致连续性
定义：设函数$f(x)$在区间I上有定义，如果对于任意给定的正数$\epsilon$,总存在正数$\delta$,使得对于区间I上的任意两点$x_1$,$x_2$,当$|x_1-x_2|<\delta$ 时,有$|f(x_1)-f(x_2)|<\epsilon$,那么称函数$f(x)$在区间I上一致连续。
一致连续性定理：如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续,那么它在该区间上一致连续。

第二章 导数与微分

第一节 导数概念

一、引例

瞬时变化率
切线

二、导数的定义

$\Delta x=x-x_0$，$\Delta y=f(x)-f(x_0)=f(x_0+\Delta x)-f(x_0)$

$$f^{{}^{\prime }}(x_0)=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\Delta y}{\Delta x}=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x}$$
$f^{{}^{\prime }}(x_0)=y^{{}^{\prime }}{|}_{x=x_0}=\frac{dy}{dx}{|}_{x=x_0}=\frac{df(x)}{dx}{|}_{x=x_0}$

三、导数的切线意义

过点$(x_0,y_0)$切线方程：$y-y_0=f^{{}^{\prime }}(x_0)(x-x_0)$

过点$(x_0,y_0)$法线方程：$y-y_0=-\frac{1}{f^{{}^{\prime }}(x_0)}(x-x_0)$

四、函数可导性与连续性的关系

连续不一定可导。可导必连续。

第二节 函数的求导法则

一、函数的和、差、积、商的求导法则

1.$(u\pm v{)}^{{}^{\prime }}=u^{{}^{\prime }}\pm v^{{}^{\prime }}$

2.$(uv{)}^{{}^{\prime }}=u^{{}^{\prime }}v+u{v}^{{}^{\prime }}$

3.$(\frac{u}{v}{)}^{{}^{\prime }}=\frac{u^{{}^{\prime }}v-u{v}^{{}^{\prime }}}{v^2}$

二、反函数的求导法则

$[f^{-1}(x){]}^{{}^{\prime }}=\frac{1}{f^{{}^{\prime }}(y)}$或$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{(\frac{dx}{dy})}$

三、复合函数的求导法则

$y=f(u)$，$u=g(x)$，y对x求导：
$\frac{dy}{dx}=f^{{}^{\prime }}(u)\ast g^{{}^{\prime }}(x)$ 或 $\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\ast \frac{du}{dx}$

四、基本求导法则与导数公式

暂无

mathematica求导

ClearAll["Global`*"];
f[x_] := x^2 + 3*x + 5;
derivative = D[f[x], x]

第三节 高阶导数

1.$(u\pm v{)}^{(n)}=u^{(n)}\pm v^{(n)}$

2.莱布尼茨公式：
$$(uv{)}^{(n)}=\sum _{k=0}^n{C}_n^k{u}^{(n-k)}{v}^{(k)}$$

mathematica求二阶导

ClearAll["Global`*"];
h[x_] := Sin[x];
secondDerivative = D[h[x], {x, 2}]  (* 二阶导数 *)

第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数 相关变化率

一、隐函数的导数

$F(x,y)=x+y^3-1=0$，对x求导，y是对x的中间函数：$1+3y^2{y}^{{}^{\prime }}=0\to y^{{}^{\prime }}=-\frac{1}{3y^2}$

mathematica对隐函数求导

ClearAll["Global`*"];
(*定义隐函数*)F[x_, y_] := x + y^3 - 1

(*进行隐式求导*)
implicitDerivative = 
 D[F[x, y], x] + D[F[x, y], y]*Derivative[1][y][x] == 0

(*解出 y'=dy/dx*)
solution = Solve[implicitDerivative, Derivative[1][y][x]]

(*提取 dy/dx*)
dy_dx = Derivative[1][y][x] /. solution // Simplify

二、由参数方程所确定的函数的导数

参数方程：$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$

求导法则：$\frac{dy}{dx}=\frac{(\frac{dy}{dt})}{(\frac{dx}{dt})}=\frac{{\psi }^{{}^{\prime }}(t)}{{\phi }^{{}^{\prime }}(t)}$

mathematica对参数方程求导：

ClearAll["Global`*"];
x[t_] := t^2;
y[t_] := t^3;
dxdt = D[x[t], t];  (*对 x(t) 求导*)
dydt = D[y[t], t];(*对 y(t) 求导*)
slope = dydt/dxdt

三、相关变化率

无

第五节 函数的微分

一、微分的定义

二、微分的几何意义

三、基本初等函数的微分公式与微分运算法则

跟求导一样

四、微分在近似计算中的应用

$f(x)\approx f(x_0)+f^{{}^{\prime }}(x_0)(x-x_0)$，其中$f(x_0)$、$f^{{}^{\prime }}(x_0)$、$x-x_0$计算方便

第三章 微分中值定理与导数的应用

第一节 微分中值定理

一、罗尔定理

导数为0的点被称为驻点（稳定点、临界点）。

费马引理：设函数$f(x)$在点$x_0$的某邻域$U(x_0)$内有定义，并且在$x_0$处可导，如果对任意的$x\in U(x_0)$，有
$f(x)⩽f(x_0)$ (或$f(x)⩾f(x_0)$)，
那么$f^{{}^{\prime }}(x_0)=0$。

罗尔定理：如果函数$f(x)$满足
1.在闭区间$[a,b]$上连续;
2.在开区间$(a,b)$内可导;
3.在区间端点处的函数值相等,即$f(a)=f(b)$,
那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi <b)$,使得$f^{\prime }(\xi )=0$。

二、拉格朗日中值定理

如果函数$f(x)$满足
1.在闭区间$[a,b]$上连续;
2.在开区间$(a,b)$内可导;
那么在$(a,b)$内至少有一点$\xi (a<\xi <b)$，是等式
$$f(b)-f(a)=f^{\prime }(\xi )(b-a)$$
成立。

这个定理也叫有限增量定理，微分中值定理。

有限增量公式：$\Delta y=f^{\prime }(x+\theta \Delta x)\bullet \Delta x(0<\theta <1)$

三、柯西中值定理

如果函数$f(x)$及$F(x)$满足
1.在闭区间$[a,b]$上连续;
2.在开区间$(a,b)$内可导;
3.在任一$x\in (a,b)$，$F^{\prime }(x)\ne 0$,
$$\frac{f(b)-f(a)}{F(b)-F(a)}=\frac{f^{\prime }(\xi )}{F^{\prime }(\xi )}$$
成立。

第二节 洛必达法则

$\frac{0}{0}$或$\frac{\infty }{\infty }$

第三节 泰勒公式

泰勒公式：$f(x)=f(x_0)+f^{\prime }(x_0)(x-x_0)+\frac{f^{\prime \prime }(x_0)}{2!}(x-x_0{)}^2+\cdot \cdot \cdot +\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}(x-x_0{)}^n+R_n(x)$

佩亚诺余项：$R_n(x)=o((x-x_0{)}^n)$

拉格朗日余项：$R_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}(x-x_0{)}^{n+1}$，其中$\xi$是$x_0$与$x$之间的某个值。

麦克劳林公式，当$x=x_0$时：$f(x)=f(0)+f^{\prime }(0)x+\frac{f^{\prime \prime }(0)}{2!}{x}^2+\cdot \cdot \cdot +\frac{f^{(n)}(0)}{n!}{x}^n+o(x^n)$

初等函数的麦克劳林公式
暂无

mathematica计算麦克劳林公式：

ClearAll["Global`*"];
f[x_] := Sin[x ];                   (*定义函数*)
maclaurinSeries = Series[f[x], {x, 0, 5}]  (*计算麦克劳林级数*)

第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性

第五节 函数的极值与最大值最小值

第六节 函数图形的描绘

五个步骤

第七节 曲率

一、弧微分

弧微分公式：$ds=\sqrt{1+(y^{\prime }{)}^2}dx$

二、曲率及其计算公式

$K=|\frac{d\alpha }{ds}|$，$\alpha$是倾斜角，$s$是弧段长度。

$K=\frac{|y^{\prime \prime }|}{(1+(y^{\prime }{)}^2{)}^{3/2}}$

对于圆：$K=\frac{1}{r}$

参数方程：$\{\begin{array}{l}x=\phi (t)\\ y=\psi (t)\end{array}$

$K=\frac{|{\phi }^{{}^{\prime }}(t){\psi }^{{}^{\prime \prime }}(t)-{\phi }^{{}^{\prime \prime }}(t){\psi }^{{}^{\prime }}(t)|}{[({\phi }^{{}^{\prime }}{)}^2(t)+{\psi }^{{}^{\prime }}{)}^2(t){]}^{3/2}}$

三、曲率圆与曲率半径

曲率圆：在曲线上点M做法线，在凹侧 $\frac{1}{K}=\rho$ 作为圆心，这个元会过$M$点。圆心是曲率中心，半径$\rho$是曲率半径。

四、曲率中心的计算公式 渐曲线和渐伸线

曲线C上的点$(x,f(x))$
曲率中心$D(\alpha ,\beta )$的坐标：$\{\begin{array}{l}\alpha =x-\frac{y^{\prime }(1+(y^{\prime }{)}^2)}{y^{\prime \prime }}\\ \beta =y+\frac{1+(y^{\prime }{)}^2}{y^{\prime \prime }}\end{array}$

点$(x,f(x))$在曲线C上移动，这是渐伸线。
曲率中心$D(\alpha ,\beta )$的坐标会根据点$(x,f(x))$在曲线C上移动，这是渐曲线。

第八节 方程的近似解

一、二分法

二、切线法

$x_1=x_0-\frac{f(x_0)}{f^{\prime }(x_0)}$

三、割线法

割线法也叫弦截法。
$x_{n+1}=x_n-\frac{x_n-x_{n-1}}{f(x_n)-f(x_{n-1})}$

第四章 不定积分

第一节 不定积分的概念

一、原函数与不定积分的概念

原函数存在定理：连续函数一定有原函数。

mathematica求函数的不定积分：

ClearAll["Global`*"];
f[x_] := x^2;
indefiniteIntegralWithConstant = 
 Integrate[f[x], x] + C   (*C是常数，代表积分常数*)

二、基本积分表

表后期补上

三、不定积分的性质

第二节 换元积分法

一、第一类换元积分法

$u=\phi (x)$
$\int f[\phi (x)]\ast {\phi }^{\prime }(x)=\int f(u)du$

二、第二类换元积分法

$x=\phi (t)$，需要求反函数$t={\phi }^{-1}(x)$
$\int f(x)dx=\int f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$

第三节 分部积分法

$\int u{v}^{\prime }dx=uv-\int u^{\prime }vdx$
或者
$\int udv=uv-\int vdu$

第四节 有理函数的积分

有理函数：$\frac{P(x)}{Q(x)}$，其中$P(x)$和$Q(x)$都是多项式。

$Q(x)$是二次时，令$Q(x)=0$，求出两个根。
如果两个根不一样，可拆分母。
如果两个根一样，令$u=x-x_0$换元。
如果不存在，分母转换成$(x+a{)}^2+b$。

二、可化为有理函数的积分举例

第五节 积分表的使用

第五章 定积分

第一节 定积分得概念与性质

一、定积分问题举例

二、定积分的定义

三、定积分的近似计算

四、定积分的性质

定积分中值定理：如果函数$f(x)$在积分区间$[a,b]$上连续,那么在$[a,b]$上至少存在一个点$\xi$,使下式成立：
${\int }_a^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a)$ ，其中$(a⩽\xi ⩽b)$

第二节 微积分基本公式

三、牛顿-莱布尼茨公式

${\int }_a^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$

mathematica求定积分：

ClearAll["Global`*"];
f[x_] := x^2;
Integrate[f[x], {x, 0, 2}]

第三节 定积分的换元法和分部积分法

一、定积分的换元法

$x=\phi (t)$，注意积分的上限和下限：
${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_{\alpha }^{\beta }f[\phi (t)]{\phi }^{\prime }(t)dt$

二、定积分的分部积分法

${\int }_a^{b}udv=[uv{]}_a^b-{\int }_a^{b}vdu$

第四节 反常积分

一、无穷限的反常积分

定义域包含无穷大

二、无界函数的反常积分

也叫瑕积分。值域无穷大或者震荡。

第五节 反常积分的审敛法 $\Gamma$函数

一、无穷限反常积分的审敛法

绝对收敛：如果$|f(x)|$收敛，那么$f(x)$也收敛。

二、无界函数的反常积分的审敛法

三、$\Gamma$函数

定义：$\Gamma (s)={\int }_0^{+\infty }{e}^{-x}{x}^{s-1}dx$，其中$s>0$

递推公式：$\Gamma (s+1)=s\Gamma (s)$，其中$s>0$

余元公式：：$\Gamma (s)\Gamma (1-s)=\frac{\pi }{\sin \pi s}$，其中$0<s<1$

$\Gamma (1)=1$

第六章 定积分的应用

第一节 定积分的元素法

第二节 定积分在几何学上的应用

一、平面图形的面积

直角坐标

极坐标：扇形面积

二、体积

旋转体
平行截面

三、平面曲线的弧长

暂无

第三节 定积分在物理学上的应用

第七章 微分方程

第一节 微分方程的基本概念

含导数的方程就是微分方程

第二节 可分离变量的微分方程

$g(y)dy=f(x)dx$，如果一阶方程能写成这个样子，就是可分离变量的微分方程。

第三节 齐次方程

一、齐次方程

$\frac{dy}{dx}=\phi (\frac{y}{x})$，如果一阶微分方程能化成这种形式，就是齐次方程。

二、可化为齐次的方程

$\frac{dy}{dx}=\frac{ax+by+c}{a_{1}x+b_{1}y+c_1}$，如果$c=c_1=0$是齐次的。否则不是齐次的，使用待定系数法可以转化成齐次的。

第四节 一阶线性微分方程

一、线性方程

一阶线性微分方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)$。如果$Q(x)\equiv 0$，是齐次，否则不是齐次。

如果是齐次时：$\frac{dy}{y}=-P(x)dx$

二、伯努利方程

伯努利方程：$\frac{dy}{dx}+P(x)y=Q(x)y^n$，其中$n\ne 0,1$

通过变量代换，转成线性的。

第五节 可降阶的高阶微分方程

一、$y^{(n)}=f(x)$型的微分方程

二、$y^{\prime \prime }=f(x,y^{\prime })$型的微分方程

三、$y^{\prime \prime }=f(y,y^{\prime })$型的微分方程

第六节 高阶线性微分方程

二、线性微分方程的解的结构

二阶齐次线性方程：$y^{\prime \prime }+P(x)y^{\prime }+Q(x)y=0$

线性相关、线性无关

第七节 常系数齐次线性微分方程

第八节 常系数非齐次线性微分方程

第九节 欧拉方程

欧拉方程：$x^n{y}^{(n)}+p_1{x}^{n-1}{y}^{(n-1)}+\dots +p_{n-1}x{y}^{\prime }+p_{n}y=f(x)$，其中$p_1$到$p_n$为常数

第十节 常系数线性微分方程组解法举例

latex公式1
latex公式2