1、前言

从讲扩散模型到现在。我们很少讲过条件生成（Stable DIffusion曾提到过一点），所以本篇内容。我们就来具体讲一下条件生成。这一部分的内容我就不给原论文了，因为那些论文并不只讲了条件生成，还有一些调参什么的。并且推导过程也相对复杂。我们从一个比较简单的角度出发。

视频：[扩散模型条件生成——Classifier Guidance和Classifier-free Guidance原理解析-哔哩哔哩]

2、常用的条件生成方法

在diffusion里面，如何进行条件生成呢？我们不妨回忆一下在Stable Diffusion里面的一个常用做法。即在训练的时候。给神经网络输入一个条件。
$$L=||ϵ-{ϵ}_{\theta }(x_t,t,y)|{|}^2$$
里面的y就是条件。至于为什么有效，请看我之前写过的Stable DIffusion那篇文章。在此不过多赘述了。我们来讲这种方法所存在的问题。

很显然的，这种训练的方式，会有一个问题，那就是神经网络或许会学会忽略或者淡化掉我们输入的条件信息。因为就算我们不输入信息，他也照样能够生成。

接下来我们来讲两种更为流行的方法——分类指导器（Classifier Guidance） 和无分类指导器（ Classifier-Free Guidance）

3、Classifier Guidance

为了简单起见。我们从分数模型的角度出发。

回忆一下在SDE里面的结论。其反向过程为
$$dx=\left[f(x,t)-g(t{)}^2{\nabla }_x\log p_t(x)\right]dt+g(t)d\bar{w}\text{\hspace{1em}(1)}$$
如果施加条件的话，还是根据Reverse-time diffusion equation models - ScienceDirect这篇论文，可得条件生成时的反向SDE为
$$dx=\left[f(x,t)-g(t{)}^2{\nabla }_x\log p_t(x|y)\right]dt+g(t)d\bar{w}\text{\hspace{1em}(2)}$$
我们利用贝叶斯公式，对$\nabla x\log p_t(x|y)$进行处理
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_x\log p_t(x|y)=& {\nabla }_x\log \frac{p_t(y|x)p_t(x)}{p_t(y)}\\ =& {\nabla }_x\left(\log p_t(y|x)+\log p_t(x)-\log p_t(y)\right)\\ =& {\nabla }_x\log p_t(x)+{\nabla }_x\log p_t(y|x)\end{array}$$
第二个等号到第三个等号是因为对$\log p_t(y)$关于x求梯度等于0（$\log p_t(y)$与x无关）

把它代入Eq.(2)可得
$$dx=\left[f(x,t)-g(t{)}^2\left({\nabla }_x\log p_t(x)+{\nabla }_x\log p_t(y|x)\right)\right]dt+g(t)d\bar{w}\text{\hspace{1em}(3)}$$
对比Eq.(1)和Eq.(3)。我们不难发现，它们的差别，居然是只多了一个${\nabla }_x\log p_t(y|x)$

$p_t(y|x)$是什么？是以$x$作为条件，时间为t对应条件y的概率。我们可以怎么求呢？该怎么求出来呢？

当然是使用神经网络了。也就是说，我们可以额外设定一个神经网络，该神经网络输入是$x_t$，输出是条件为y的概率

所以，实际上我们现在需要训练两部分，一部分是${\nabla }_x\log p_t(x)$，这我们在SDE中已经讲过该如何训练了。

另一个就是${\nabla }_x\log p_t(y|x)$，他就是一个分类神经网络网络。训练好之后，我们就可以使用Eq.(3)通过不同的数值求解器，进行优化了。

作者在此基础上，又引入了一个控制参数$\lambda$
$${\nabla }_x\log p_t(x|y)={\nabla }_x\log p_t(x)+\lambda {\nabla }_x\log p_t(y|x)\text{\hspace{1em}(4)}$$
当$\lambda =0$，表示不加入任何条件。当$\lambda$很大时，模型会产生大量附带条件信息的样本。

这种方法的一个缺点就是，需要额外学习一个分类器$p_t(y|x)$

4、Classifier-Free Guidance

之前推出
$${\nabla }_x\log p_t(x|y)={\nabla }_x\log p_t(x)+{\nabla }_x\log p_t(y|x)\text{\hspace{1em}(5)}$$
把该式子代入Eq.(4)可得
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_x\log p_t(x|y)=& {\nabla }_x\log p_t(x)+\lambda \left({\nabla }_x\log p_t(x|y)-{\nabla }_x\log p_t(x)\right)\\ =& {\nabla }_x\log p_t(x)+\lambda {\nabla }_x\log p_t(x|y)-\lambda {\nabla }_x\log p_t(x)\\ =& \left(1-\lambda \right){\nabla }_x\log p_t(x)+\lambda {\nabla }_x\log p_t(x|y)\end{array}$$
此时我们注意到，当$\lambda =0$是，第二项完全为0，会忽略掉条件；当$\lambda =1$时，使用第二项，第二项就是附带有条件情况下的分布分数网络；而当$\lambda >1$，模型会优化考虑条件生成样本，并且远离第一项的无条件分数网络的方向，换句话说，它降低了生成不使用条件信息的样本的概率，而有利于生成明确使用条件信息的样本。

事实上，如果你看了free-Classifier Guidance这篇论文，会发现我们的结论不一样。

其实论文里面的控制参数是$w$，也就是说，Eq.(4)就变成了这样
$${\nabla }_x\log p_t(x|y)={\nabla }_x\log p_t(x)+w{\nabla }_x\log p_t(y|x)$$
我们把控制参数改成$1+w$不会有任何影响
$${\nabla }_x\log p_t(x|y)={\nabla }_x\log p_t(x)+(1+w){\nabla }_x\log p_t(y|x)$$
把Eq.(5)代入该式子
$$\begin{array}{rl}{\nabla }_x\log p_t(x|y)=& {\nabla }_x\log p_t(x)+(1+w)\left({\nabla }_x\log p_t(x|y)-{\nabla }_x\log p_t(x)\right)\\ =& {\nabla }_x\log p_t(x)+(1+w){\nabla }_x\log p_t(x|y)-(1+w){\nabla }_x\log p_t(x)\\ =& (1+w){\nabla }_x\log p_t(x|y)-w{\nabla }_x\log p_t(x)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
这就是原论文里面的结论。

那么接下来，我们来探讨一下该如何去训练。

对于${\nabla }_x\log p_t(x)$，这个不用说了，之前我们训练的就是这个；如何计算${\nabla }_x\log p_t(x|y)$呢，它实际上就是在给定y的情况下，求出$p_t(x|y)$。那我们可以怎么做呢？

在NCSN，我们是使用一个加噪分布$q(\tilde{x}|x)$取代$p(x)$，而从让它是可解的。

对于$p_t(x|y)$，即便是加多了一个条件之后，我们仍然建模为$q(\tilde{x}|x)$，也就是说，我们仍然把它建模成一个正向加噪过程。因此，无论是否增加条件。最终的损失函数结果都是
$$L=||s_{\theta }-{\nabla }_x\log q(\tilde{x}|x)|{|}^2=||s_{\theta }-{\nabla }_x\log q(x_t|x_0)|{|}^2$$
后者是通过SDE统一的结果（我在SDE那一节讲过）

那该如何体现条件y呢？其实我们在第二节的时候已经说过了，就是在里面神经网络的输出加入一个条件y。
$$L=||s_{\theta }(x_t,t,y)-{\nabla }_x\log q(x_t|x_0)|{|}^2\text{\hspace{1em}(7)}$$
而不施加条件的时候，长这样
$$L=||s_{\theta }(x_t,t)-{\nabla }_x\log q(x_t|x_0)|{|}^2\text{\hspace{1em}(8)}$$
由Eq.(5)可知，我们需要训练两种情况，一种是有条件的，对应Eq.(7)；另外一种是无条件的，对应Eq.(8)。

理论上，我们其实也是要训练两个神经网络。但实际上，我们可以把他们结合成一种神经网络。

具体操作就是把无条件的情况作为一种特例。

当我们训练有条件的神经网络的时候，会照样把条件输入进网络里面。而训练无条件的时候，我们构造一个无条件的标识符，把它作为条件输入给神经网络，比如对于所有无条件的情况，我都构造一个0作为条件输入到神经网络里面。通过这种方式，我们就可以把两个网络变成一个网络了，

对于损失函数，直接使用Eq.(7)。我们在SDE里面讲过${\nabla }_x\log p(x)=-\frac{1}{\sigma }ϵ$。所以我们最终我们把预测噪声，变成了预测分数。我们同样可以把它变回来，变成预测噪声
$$L=||ϵ-{ϵ}_{\theta }(x_t,t,y)|{|}^2$$
所以损失函数就变成了这样。在训练的时候，作者设定一个大于等于0，小于等于1的超参数$p_{uncond}$，它的作用就是判断是否需要输入条件（从0-1分布采样一个值，大于$p_{uncond}$则使用条件，反之则不使用）。也就是说，这相当于dropout一样，随机舍弃掉一些条件，把他们作为无条件的情况（因为我们既要学习有条件的，又要学习无条件的）。所以，最终的训练过程就是这样

其中里面的$\lambda$你就当作是时刻t吧（其实不是，其实是时刻t的噪声（噪声的初始化不一样，不是传统的等差数列，是用三角函数初始化的）。由于与本篇内容无关，故而忽略），c是条件。

同样的，采用过程使用Eq.(6)的结构进行采样

5、结束