正定函数

定义：若对域 $\Omega$ 中所有的非零向量 $\mathbf{x}$，恒有 $V(\mathbf{x})>0$，且在 $\mathbf{x}=0$ 处有 $V(0)=0$，则称标量函数 $V(\mathbf{x})$ 在域 $\Omega$ 内是正定的，$V(\mathbf{x})$ 是正定的简记为 $V(\mathbf{x})>0$。

例如，$V(\mathbf{x})=x_1^2+x_2^2$ 在二维空间中是正定。

半正定函数

定义：若 $V(0)=0$，面对域 $\Omega$ 中所有的非零向量 $\mathbf{x}$，恒有 $V(\mathbf{x})\ge 0$，则称标量函数 $V(\mathbf{x})$ 在域 $\Omega$ 内是半正定的。$V(\mathbf{x})$ 是半正定的简记为 $V(\mathbf{x})\ge 0$。

例如，$V(\mathbf{x})=(x_1+x_2{)}^2$ 和 $V(\mathbf{x})=x_1^2$ 在二维状态空间中都是半正定。前者在直线在直线 $x_1+x_2=0$ 上为零，后者在直线 $x_1=0$ 上为零。

负定函数

若 $-V(\mathbf{x})$ 是正定的，则 $V(\mathbf{x})$ 是负定的。

半负定函数

若 $-V(\mathbf{x})$ 是半正定的，则 $V(\mathbf{x})$ 是半负定的。