量子笔记：单比特量子门、泡利矩阵

量子计算、量子信息、量子编程自学笔记系列。用自己能看懂的方式来表述对于量子计算基础知识的理解。不求体系完备和逻辑严谨、但求通俗易懂。或能顺便给路过的小伙伴一些参考和启发那是纯属巧合概不认账^-^。当然，这里仅限于轮廓的勾勒和要点的连接，对细节感兴趣的话还是要找正经的参考书。本节介绍各种作用于单个量子比特的门。

笨牛慢耕

6798人浏览 · 2022-10-11 21:28:38

笨牛慢耕 · 2022-10-11 21:28:38 发布

0. 概要

量子计算、量子信息、量子编程自学笔记系列。

用自己能看懂的方式来表述对于量子计算基础知识的理解。

不求体系完备和逻辑严谨、但求通俗易懂。或能顺便给路过的小伙伴一些参考和启发那是纯属巧合概不认账^-^。当然，这里仅限于轮廓的勾勒和要点的连接，对细节感兴趣的话还是要找正经的参考书。

本节介绍各种作用于单个量子比特的门。

1. 量子门基本性质

在量子电路模型中，量子门是作用于量子比特的基本电路单元，每个量子门对应于一个线性映射，相应地对应于（计算基底下的，以下如无特别说明，均指计算基底下）一个幺正矩阵。因此，量子门作用于量子比特对应于幺正矩阵乘以量子比特态矢量。

所有的量子门都是可逆的。

1.1 量子门与布洛赫球面的关系

实际上，所有的单量子比特门都对应着布洛赫球面上的旋转操作。

以下要介绍的X、Y、Z、H门都对应于布洛赫球面上旋转180度（但是旋转轴各异）的量子门。除此之外，还可以创建出任意角度的量子门。

可以说，量子运算就是布洛赫球面上的旋转操作的组合！

1.2 量子门与幺正矩阵的关系

前面（量子笔记：酉矩阵（幺正矩阵）、量子门的可逆性）介绍过幺正群的概念： $\forall n \in \mathbb{N}$ ，所有 $n$ 阶幺正矩阵的集合在矩阵乘法运算下构成一个群，该群被称为n阶幺正群（unitary group）,记为 $U(n,\mathbb{C})$ 。这是基于 $\mathbb{C}$ 的 $n$ 阶一般线性群 $GL(n,\mathbb{C})$ 的子群。

取n=2得到 $U(2,\mathbb{C})$ ，即所有2x2阶幺正矩阵构成的群，每个量子门都对应一个2x2阶幺正矩阵；反之，每一个2x2阶幺正矩阵都对应一个量子门！

2. 泡利矩阵: 量子X,Y,Z,ID门

泡利矩阵是一组三个2×2的幺正厄米复矩阵，分别记为 $\sigma_x$ 、 $\sigma_y$ 和 $\sigma_z$ 矩阵，以物理学家沃尔夫冈·泡利命名。在量子力学中，它们出现在泡利方程中描述磁场和自旋之间相互作用的一项。泡利矩阵和单位矩阵I（也被称为第零号泡利矩阵 $\sigma_0$ ）一起张成2×2厄米矩阵的向量空间。

4个泡利矩阵（包括 $\sigma_0$ ）分别对应4个最基本的量子门，4个矩阵分别如下所示：

$\sigma_x = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}$ ， $\sigma_y = \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix}$ , $\sigma_x = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ , $\sigma_0 = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$

通常也用X、Y、Z分别指代前三个泡利矩阵。

【问题1】试证明： $XZ+ZX = YZ+ZY=YX+XY=0$ . 这个性质也被称为反对易性（anti-commuteness）.

【问题2】分别求矩阵X，Y和Z的特征根和对应的特征向量。

2.1 量子X门（量子非门）

量子X门对应的矩阵为 $\sigma_x$ 。

考虑一个量子比特的态矢量为 $|\psi \rangle = a |0\rangle + b |1\rangle = \begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}$ ，则该量子比特通过量子X门（ $\sigma_x$ 矩阵作用与该态矢量）的效果为：

$\sigma_x |\psi\rangle = \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b\\a \end{bmatrix} = b |0\rangle + a|1\rangle$

从布洛赫球面（量子笔记：全局相位、相对相位、布洛赫球面）上看，X门会让球面上的点绕x轴（所以对应矩阵称为 $\sigma_x$ ）旋转180度。下半球面的点会移动到上半球面，上半球面的点会移动到下半球面。北极点会移动到南极点，南极点会移动到北极点。

从旋转的角度来看，在 $\mathbb{R}^3$ 中绕x轴旋转 $\theta$ 弧度的矩阵运算方式如下：

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & cos(\theta) & -sin(\theta)\\ 0 & sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\ y\\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ ycos(\theta) - z sin(\theta) \\ ysin(\theta) + z cos(\theta) \end{bmatrix}$

代入 $\theta = \pi$ 则得到对应的旋转矩阵为 $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& -1 \end{bmatrix}$ 。

在 $\mathbb{R}^3$ 笛卡尔坐标系中，显然有 $|0\rangle = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$ , $|1\rangle = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -1 \end{bmatrix}$ 。用以上旋转矩阵作用于这两个向量同样可以得到：

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -1 \end{bmatrix}$ , $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0& -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 1 \end{bmatrix}$

量子X门作用于{ $|+\rangle, |-\rangle$ }、{ $|i\rangle, |-i\rangle$ }的情况如何呢？

如上所述，量子X门是使球面上的点绕x轴旋转180度，因此根据布洛赫球面的几何性质上来看，量子X门对于{ $|+\rangle, |-\rangle$ }没有影响，对于{ $|i\rangle, |-i\rangle$ }也是取“反”（也称比特翻转）的效果。这个事实上就是布洛赫球面所带来的好处之一例。

2.2 量子Z门

量子Z门对应于泡利矩阵 $\sigma_z = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}$ ，类似地，不难猜测到从布洛赫球面上看，Z门会让球面上的点绕z轴旋转180度。同样地，基于布洛赫球面的几何性质可以知道，量子Z门对于{ $|0\rangle, |1\rangle$ }没有影响，对于 { $|+\rangle, |-\rangle$ }和{ $|i\rangle, |-i\rangle$ }则是取“反”的效果。

对于一般的量子态 $|\psi\rangle = r_0 |0\rangle + r_1 e^{i\theta}|1\rangle$ ，有：

$\sigma_z |\psi\rangle = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} r_0\\ r_1 e^{i\theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_0\\ -r_1 e^{i\theta} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_0\\ r_1 e^{i(\pi + \theta)} \end{bmatrix}$

可以看到，量子Z门作用于一般的量子态的效果是使得相对相位发生的相位翻转（注意，布洛赫球面上位于相同维度的点所差的就是相对相位），所以量子Z门也称为相位翻转门（phase flip gate）。此外，因为它使得第2个基态的幅度的符号发生翻转，所以也被称为符号翻转门（sign flip gate）。

【问题3】Z门对应的 $\mathbb{R}^3$ 笛卡尔坐标系中的旋转矩阵是怎样的呢？

2.3 量子Y门

量子Y门对应于泡利矩阵 $\sigma_y$ ，类似地，不难猜测到从布洛赫球面上看，Y门会让球面上的点绕y轴旋转180度。同样地，基于布洛赫球面的几何性质可以知道，量子Y门对于{ $|i\rangle, |-i\rangle$ }没有影响，对于 { $|+\rangle, |-\rangle$ }和{ $|0\rangle, |1\rangle$ }则是取“反”的效果。

对于一般的量子态 $|\psi\rangle = r_0 |0\rangle + r_1 e^{i\theta}|1\rangle$ ，有：

$\sigma_y |\psi\rangle = \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a\\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -ib\\ ia \end{bmatrix} = e^{i\frac{3\pi}{2}}(b|0\rangle - a|1\rangle) \cong b|0\rangle - a|1\rangle$

最后的 $\cong$ 是表示忽略全局相位后的等价于。

前两节在X门和Z门的描述中提到X门和Z门的效果分别是比特翻转（交换两个基态的概率幅度）和相位翻转（翻转第二个概率幅度的符号），而上式则表明Y门的作用效果是同时执行比特翻转和相位翻转。

【问题4】Y门对应的 $\mathbb{R}^3$ 笛卡尔坐标系中的旋转矩阵是怎样的呢？

2.4 量子ID门

量子ID（Identity，以为恒等）门对应于单位矩阵或者说泡利矩阵 $\sigma_0$ 。

说白了，就是啥也不做。

其主要使用场景是构建和绘制线路，从而让我们知道每个步骤中各个量子比特的情况；或者用于指示暂停或延迟的位置，让研究者可以完成一些其它任务，比如计算量子比特的退相干的度量值。

6. 量子H门

Hadamard门（阿达马门，哈达马门）是最重要的仅作用于一个量子比特的量子门。它所对应的矩阵为：

$\bold{H} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}}\\ \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$

简单计算可以得到H门作用域计算基底向量 $|0\rangle, |1\rangle$ 的效果如下：

$\bold{H}|0\rangle = \frac{1}{\sqrt(2)}(|0\rangle + |1\rangle)$

$\bold{H}|1\rangle = \frac{1}{\sqrt(2)}(|0\rangle - |1\rangle)$

它将两个基向量变换成了两个等概率叠加态。H门在量子电路中的作用就是用于创建叠加态，它通常用在量子电路的最前端。

从布洛赫球面上来看，H门的效果是使得布洛赫球面上的点绕Z轴与X轴之间的倾斜45度的轴旋转180度。

实际上，所有的单量子比特门都对应着布洛赫球面上的旋转操作。

除了以上介绍的X、Y、Z、H门等旋转180度的量子门以外，还可以创建出任意角度的量子门。

可以说，量子运算就是布洛赫球面上的旋转操作的组合！

【问题5】H门对应的 $\mathbb{R}^3$ 笛卡尔坐标系中的旋转矩阵是怎样的呢？

7. 量子Z旋转门

量子 $R_{\phi}^Z$ 门（csdn编辑器不允许标题中出现这种公式，所以标题中写成我杜撰的Z旋转门），它可以看作是量子Z门的扩展：Z门是绕Z轴旋转180度， $R_{\phi}^Z$ 将旋转角度扩展为任意角度。换句话说Z门是 $R_{\phi}^Z$ 的特殊情况。

如前所述，Z门的矩阵为泡利矩阵 $\sigma_z = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{j\pi} \end{bmatrix}$ ，由于 $R_{\phi}^Z$ 是旋转角度由 $\pi$ 向任意角度 $\phi$ 的扩展，所以很自然地可以想到 $R_{\phi}^Z$ 门的矩阵如下所示：

$R_{\phi}^Z=\begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{j\phi} \end{bmatrix}$

$R_{\phi}^Z$ 矩阵还有另外一种形式，通过对泡利Z矩阵取幂（参见本文第12节）而得，如下所示：

$R_{\phi}^Z = e^{-\frac{\phi Z}{2}} = \begin{bmatrix} e^{-\frac{i\phi }{2}} & 0\\ 0 & e^{\frac{i\phi }{2}} \end{bmatrix} =cos(\frac{\phi}{2})\bold{I}_2 - sin(\frac{\phi}{2}) i \sigma_z$

【问题6】 $R_{\phi}^Z$ 门的3x3的旋转矩阵是怎样的？Z门的呢？

7.1 量子S门

与Z门一样，S门也是 $R_{\phi}^Z$ 的一种特殊情况，对应于 $\phi=\frac{\pi}{2}$ 的情况。即：

$S = R_{\frac{\pi}{2}}^Z = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & e^{\frac{\pi i}{2}} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & i \end{bmatrix}$

7.2 量子S.H门

量子 $S^{\dagger}$ 门是 $R_{\phi}^Z$ 在 $\phi = -\frac{\pi}{2}$ 时的特殊情况。

7.3 量子T门

量子T门是 $R_{\phi}^Z$ 在 $\phi = \frac{\pi}{4}$ 时的特殊情况。

7.4 量子T.H门

量子 $T^{\dagger}$ 门是 $R_{\phi}^Z$ 在 $\phi = -\frac{\pi}{4}$ 时的特殊情况。

【问题7】 $S, S^{\dagger}, T, T^{\dagger}$ 的四种Z旋转门的3x3的旋转矩阵分别是怎样的？

8. 量子X旋转门

顾名思义，量子X旋转门是量子X门的从绕X轴旋转180度向绕X轴旋转任意度的扩展，记为 $R_{\phi}^X$ 门。

与 $R_{\phi}^Z$ 一样， $R_{\phi}^X$ 也可以从泡利X矩阵的指数求得，如下所示：

$R_{\phi}^X = e^{-\frac{\phi X}{2}} = \begin{bmatrix} cos(\frac{\phi }{2}) & -i sin(\frac{\phi }{2})\\ -i sin(\frac{\phi }{2}) & cos(\frac{\phi }{2}) \end{bmatrix} =cos(\frac{\phi}{2})\bold{I}_2 - sin(\frac{\phi}{2}) i \sigma_x$

9. 量子Y旋转门

量子Y旋转门是量子Y门的从绕Y轴旋转180度向绕X轴旋转任意度的扩展，记为 $R_{\phi}^Y$ 门。

与 $R_{\phi}^Z$ 、 $R_{\phi}^X$ 一样， $R_{\phi}^Y$ 也可以从泡利Y矩阵的指数求得，如下所示：

$R_{\phi}^Y = e^{-\frac{\phi Y}{2}} = \begin{bmatrix} cos(\frac{\phi }{2}) & - sin(\frac{\phi }{2})\\ sin(\frac{\phi }{2}) & cos(\frac{\phi }{2}) \end{bmatrix} =cos(\frac{\phi}{2})\bold{I}_2 - sin(\frac{\phi}{2}) i \sigma_y$

如上所述，可以注意到，基于泡利矩阵的指数生成各X、Y、Z旋转门的方式统一，最后生成的矩阵表达式也具有相同的结构，为了方便对比，一并再重写于下面：

$R_{\phi}^Z = e^{-\frac{\phi Z}{2}} = \begin{bmatrix} e^{-\frac{i\phi }{2}} & 0\\ 0 & e^{\frac{i\phi }{2}} \end{bmatrix} =cos(\frac{\phi}{2})\bold{I}_2 - sin(\frac{\phi}{2}) i \sigma_z$

10. 量子sqrt(NOT)门

11. 量子RESET操作

12. 泡利矩阵的指数

如果矩阵A满足 $A^2 = I$ ，则有： $exp(iAx) = cos(x) I + i \cdot sin(x) \cdot A$ .

证明：

指数函数exp(x)有如下级数展开形式：

$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + ... = \sum\limits_{k} \frac{x^k}{k!}$

代入（iAx）可以得到：

$\begin{align} e^{iAx} &= I + iAx + \frac{(iAx)^2}{2!} + \frac{(iAx)^3}{3!} + ... = \sum\limits_{i} \frac{(iAx)^i}{i!} \\ &= I \cdot (1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots ) + i\cdot A \cdot (\frac{x}{1!} - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!}+...) \\ &= I cos(x) + i\cdot A\cdot sin(x) \end{align}$

分别代入 $A = \sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$ 可得：

$e^{i\sigma_x \theta} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & isin(\theta)\\ isin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix}$

$e^{i\sigma_y \theta} = \begin{bmatrix} cos(\theta) & sin(\theta)\\ -sin(\theta) & cos(\theta) \end{bmatrix}$

$e^{i\sigma_z \theta} = \begin{bmatrix} cos(\theta)+isin(\theta) & 0\\ 0 & cos(\theta) - isin(\theta)\end{bmatrix}=\begin{bmatrix} e^{i\phi} & 0\\ 0 & e^{-i\phi}\end{bmatrix}$

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