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数据结构与算法 —— 最小生成树Prim算法和Kruskal算法详细图解以及python实现
上一章我们整理了最短路径中的Dijkstra算法。现在我们整理最小生成树中Prim算法(普里姆算法)和Kruskal算法(克鲁斯卡尔算法)。最小生成树也是图论中常见问题,其指的是在一个图中找到一个连通子图,使得所有节点都能够互相到达,且总权值最小。最小生成树的例子在生活中也很常见,比如城市的公交线路系统需要规划如何走完一趟路径和是最短的,或者快递公司如何给不同住址的客户送货才能是最短的路径。2.
目录
前言
上一章我们整理了最短路径中的Dijkstra算法。
现在我们整理最小生成树中Prim算法(普里姆算法)和Kruskal算法(克鲁斯卡尔算法)。
1. 介绍
最小生成树也是图论中常见问题,其指的是在一个图中找到一个连通子图,使得所有节点都能够互相到达,且总权值最小。
最小生成树的例子在生活中也很常见,比如城市的公交线路系统需要规划如何走完一趟路径和是最短的,或者快递公司如何给不同住址的客户送货才能是最短的路径。
2. Prim算法(普里姆算法)
2.1 Prim算法历史
普里姆算法最初由捷克数学家沃伊捷赫·亚尔尼克于1930年发现,后来在1957年由美国计算机科学家罗伯特·普里姆独立发现,1959年艾兹格·迪科斯彻也再次发现了该算法。因此,普里姆算法在某些情况下也被称为DJP算法、亚尔尼克算法或普里姆-亚尔尼克算法。
2.2 Prim算法的基本思路
首先选择一个起始节点,以这个节点将图分成两个集合。一个已选集合,一个未选集合。把起始节点加入已选集合。
然后从已选节点集合出发,不断选择权值最小的边连接到未选节点集合中的节点,并将其加入已选节点集合。
不断循环此过程,直到所有节点都被加入到已选节点集合中,形成最小生成树。
这就是Prim算法的基本思路。
简单来说,就是从一个点开始,不断寻找距离最短的边,将其加入最小生成树中,并将与之相连的未访问点所构成的边加入集合中,直到所有节点都被访问过为止。
2.3 Prim算法图解
在下面这个图的基础上,我们可以一步一步来分析Prim 算法的过程。
我们的目的是用此算法判断出构成最小生成树的所有边。
接下来一样的操作,就不在图中标注文字解释了。
算法完成,我们得到了构成最小生成树的所有边。
2.4 Prim算法(python)实现
def prim_algorithm(graph):
num_vertices = len(graph)
# 初始化集合
selected = set()
selected.add(list(graph.keys())[0]) # 从第一个顶点开始
unselected = set(graph.keys()) - selected
# 初始化最小生成树结果
minimum_spanning_tree = []
while unselected:
min_weight = float('inf')
start_vertex = None
end_vertex = None
# 遍历已选集合中的每个顶点
for vertex in selected:
# 遍历未选集合中的每个顶点
for neighbor, weight in graph[vertex].items():
if neighbor in unselected:
# 找到权值最小的边
if min_weight > weight:
min_weight = weight
start_vertex = vertex
end_vertex = neighbor
# 将找到的最小权值边添加到最小生成树结果中
minimum_spanning_tree.append((start_vertex, end_vertex, min_weight))
selected.add(end_vertex)
unselected.remove(end_vertex)
return minimum_spanning_tree
graph = {
'A': {'B': 2, 'C': 9},
'B': {'A': 2, 'D': 4, 'E': 8},
'C': {'A': 9, 'E': 10, 'F': 3},
'D': {'B': 4, 'E': 1, 'G': 5},
'E': {'B': 8, 'C': 10, 'D': 1, 'F': 11, 'G': 6, 'H': 12},
'F': {'C': 3, 'E': 11, 'H': 17},
'G': {'D': 5, 'E': 6},
'H': {'E': 12, 'F': 17},
}
result = prim_algorithm(graph)
print(result)
实现了一个上面举例子用的图,运行此程序会打印出:
[('A', 'B', 2), ('B', 'D', 4), ('D', 'E', 1), ('D', 'G', 5), ('A', 'C', 9), ('C', 'F', 3), ('E', 'H', 12)]
前两个字母表示最小生成树中的一条边,后面的数字代表这条边的权值。可以与上面的图解结合起来看。
3. Kruskal算法(克鲁斯卡尔算法)
3.1 Kruskal算法的基本思路
该算法是先取出所有的边,按其权值从小到大的顺序排列,然后不断取出权值最小的边放入图中,一共取n-1条边(n为节点数)。但是每次放入一条边都要判断是否形成了环。如果没有形成环,则将该边纳入最小生成树中。如果形成了环,则舍弃这条边,继续取下一条边。
3.2 Kruskal算法图解
首先取出图中所有的边,并且按其权值从小到大排序。
此时,边的数量 = n-1,算法结束。同样也得到了一个最小生成树。
3.3 Kruskal算法(python)实现
def find(parent, vertex):
if parent[vertex] == vertex:
return vertex
return find(parent, parent[vertex])
def union(parent, rank, vertex1, vertex2):
root1 = find(parent, vertex1)
root2 = find(parent, vertex2)
if root1 != root2:
if rank[root1] > rank[root2]:
parent[root2] = root1
else:
parent[root1] = root2
if rank[root1] == rank[root2]:
rank[root2] += 1
def kruskal_algorithm(graph):
# 初始化结果
minimum_spanning_tree = []
# 初始化并查集
parent = {vertex: vertex for vertex in graph.keys()}
rank = {vertex: 0 for vertex in graph.keys()}
# 获取所有的边
edges = []
for vertex, neighbors in graph.items():
for neighbor, weight in neighbors.items():
edges.append((vertex, neighbor, weight))
# 按权值排序边
edges.sort(key=lambda edge: edge[2])
# 不断取出权值最小的边并判断是否形成环
for edge in edges:
vertex1, vertex2, weight = edge
if find(parent, vertex1) != find(parent, vertex2):
union(parent, rank, vertex1, vertex2)
minimum_spanning_tree.append(edge)
if len(minimum_spanning_tree) == len(graph) - 1:
break
return minimum_spanning_tree
graph = {
'A': {'B': 2, 'C': 9},
'B': {'A': 2, 'D': 4, 'E': 8},
'C': {'A': 9, 'E': 10, 'F': 3},
'D': {'B': 4, 'E': 1, 'G': 5},
'E': {'B': 8, 'C': 10, 'D': 1, 'F': 11, 'G': 6, 'H': 12},
'F': {'C': 3, 'E': 11, 'H': 17},
'G': {'D': 5, 'E': 6},
'H': {'E': 12, 'F': 17},
}
result = kruskal_algorithm(graph)
print(result)
find(parent, vertex)
函数:这个函数的作用是找到给定顶点所属集合的代表元素。
union(parent, rank, vertex1, vertex2)
函数:这个函数的作用是将两个不同集合合并成一个集合。
运行上面程序之后会打印:
[('D', 'E', 1), ('A', 'B', 2), ('C', 'F', 3), ('B', 'D', 4), ('D', 'G', 5), ('A', 'C', 9), ('E', 'H', 12)]
可以发现与我们图解的答案包括Prim算法的答案是一致的。
4. 最小生成树和最短路径的区别
最小生成树和最短路径问题在目标、应用场景和解决方法上都有所不同。最小生成树关注的是连接所有顶点的最小总权值,而最短路径关注的是在带权图中找到顶点之间的最短路径。
结合图解来看会更加清晰(选择节点D为起始节点):
5. 结尾
到这里为止,我们已经整理了
最小生成树Prim算法和Kruskal算法。
基本上图的内容已经整理的差不多了。下面会整理贪心算法(greedy algorithm)的内容。
如果有地方讲的不对或者大家有什么疑问,欢迎留言或者私信我!
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