通俗理解三维向量的点乘和叉乘

一般接触得比较多的是二维向量的点乘和叉乘，但是做到与三维几何相关的工作的时候，三维向量的知识是必不可少的。

注意：三维向量和三维矢量是同一个东西，都是来自英文单词的Vector的中文翻译，只是翻译不同而已。

解释三维向量

三维向量(x ,y ,z)比二维向量(x ,y)多一维，三维向量体现在空间上，二位向量体现在平面上。

不管二维还是三维向量，都来自两个坐标点，如上图中的A、B两个点，三维向量来自两个空间坐标点。

通过两个坐标点相减才能得到，例如上图向量BA = A - B （由B出发指向A，向量具有方向性）。

那么如果只给出一个坐标点，不给出两个坐标点，怎么得到向量呢——其实就是一个从原点(0 , 0, 0)出发指向坐标点的一个向量，例如点P的坐标是(1 ,2, 3)，那么向量OP就是(1, 2, 3)，虽然从数值上是一模一样，但是含义上是有区别的，比如向量PO变成了(-1, -2, -3)。

实际上，不管多少维，本质都是向量，计算法则都是相通的。只是二维和三维向量可以具体化到平面和三维空间上去理解，更高的维度只能抽象地去计算了。

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三维向量叉乘

以上都是中学的知识了，作为回顾理解。

要说三维向量的叉乘，就先说我们在什么应用场景会用到：

最常用最经典的用处之一就是计算法向量(在三维空间中垂直平面的向量就命名为法向量)。法向量在图形渲染和几何处理等方面都有重要的用途。

就说最简单的，请看上图左，三维空间坐标系的原点O (0 ,0 ,0), X轴的向量是X (1, 0, 0)，Y轴的向量是(0 , 1, 0)。向量OX和向量OY放一起看就像是两条边决定了一个平面，这个平面就是XOY平面，现在要求用向量OX和向量OY求出法向量是什么

这个问题我们一眼看出法向量就是(0 ,0 ,1)就是OZ。

那上图右呢？ 知道两个红色的向量，怎么才能算出蓝色的那个法向量呢？

答案就是直接用两个向量做叉乘：
法向量N = 向量OA X 向量OB

直接可以说两向量叉乘的结果就是法向量。

那么算出的结果为什么是朝上呢，不是朝下呢？

那就要知道叉乘其实就是右手法则，如下图(图片来自网络)

右手握拳的方向就是左边叉乘右边的方向。

向量OX 叉乘 向量OY 得到向量OZ (0, 0, 1)就是朝上的。而向量OY 叉乘 向量OX 得到向量(0 ,0, -1)就是朝下的。

那么计算公式是就是：
法向量OC =
向量OA (x1, y1, z1) 叉乘 向量 OB (x2, y2, z2) =
( y1 * z2 - y2 *z1 , x2 * z1 - z2 * x1 , x1 * y2 - x2 * y1 )

**运算结果还是一个向量。**本质上就是一系列加法和乘法的组合，可以理解为我们将这一套计算命名为叉乘，用运算符号 X 表示。

其实这个公式来自于矩阵计算的展开，公式就是直接套就完事了。

注意：为了方便理解，上面举的例子都是两向量拥有同一个起点，如果两个向量是分开的，叉乘的结果同样是他们的法向量，直接套公式计算就行了。

一句话总结： 两向量叉乘的结果就是他们的法向量，遵循右手法则。

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三维向量的点乘

同样先说我们在什么场景下会用到点乘：

我们有两个三维平面，想知道这两个平面的夹角是多少，从而就能大约知道两个平面的弯曲程度，我们想到的方法就是求出两个平面的法向量，再计算两个法向量之间的夹角。

现在我们只用利用叉乘就能求出两个平面的法向量了，那接下来要怎么才能算出两个法向量的夹角呢？

答案是利用两个向量的点乘。

我们先来看看点乘长什么样：
法向量N1 (x1, y1, z1) · 法向量N2 (x2, y2, z2) =
x1 * x2 + y1* y2 + z1 * z2

运算结果是一个数值。 其实本质上又是一系列加法和乘法的组合嘛，可以理解为我们将这一套计算命名为点乘，用符号 · 表示。

那上面的计算也看不出夹角啊？

其实向量N1和向量N2点乘的结果也等于 |N1| * |N2| * cosθ 。其中|N1|是指向量N1的长度，|N2|是指向量N2的长度，cosθ中的角度θ正是两个向量的夹角。那么结果呼之欲出了：

x1 * x2 + y1* y2 + z1 * z2 = |N1| * |N2| * cosθ

未知数只有θ一个，交换一下运算顺序就是

θ = arccos( N1 · N2 / |N1| * |N2| )

点乘也就是一套公式，我们只要记住，利用这套公式，我们可以求出两个向量的夹角。

另外，我们再看看N1 · N2 = |N1| * |N2| * cosθ，似乎可以有更多的理解空间：(下图来源网络)

cosθ是三角形的 邻边/斜边，那么把|N2| 想象成是一条三角形的斜边， |N2| * cosθ的计算结果，就是向量N2在向量N1上的投影长度。而|N1| * cosθ的计算结果，就是向量N1在向量N2上的投影长度，因为θ是他们两个向量的夹角。