压缩感知重构算法之迭代软阈值(IST)
题目：压缩感知重构算法之迭代软阈值(IST) 看懂本篇需要有以下两篇作为基础：(1)软阈值(Soft Thresholding)函数解读 (2)Majorization-Minimization优化框架。彻底理解了迭代硬阈值IHT以后，很自然的会想到：如果将软阈值(Soft Thresholding)函数与Majorization-Minimization优化框架相结合形成迭代软
题目：压缩感知重构算法之迭代软阈值(IST)
看懂本篇需要有以下两篇作为基础：
(2)Majorization-Minimization优化框架
彻底理解了迭代硬阈值IHT以后，很自然的会想到：如果将软阈值(SoftThresholding)函数与Majorization-Minimization优化框架相结合形成迭代软阈值(Iterative Soft Thresholding，IST)算法（另一种常见简称为ISTA，即IterativeSoftThresholding Algorithm，另外Iterative有时也作Iterated），应该可以解决如下优化问题[1]：
此即基追踪降噪(Basis Pursuit De-Noising, BPDN)问题。
1、迭代软阈值算法流程
为了解决优化问题（将原a换为习惯的x）
执行迭代算法
其中Ψλ是对每一个数值计算软阈值函数值
这个算法称为迭代软阈值(Iterative Soft Thresholding，IST)算法。
2、迭代软阈值算法推导
基追踪降噪(Basis Pursuit De-Noising, BPDN)问题的目标函数
由于目标函数f(x)并不容易优化，根据Majorization-Minimization优化框架，可以优化替代目标函数
这里要求||Φ||2<1，则有
下面，我们对替代目标函数进行变形化简
其中
其中
对！这正是软阈值(SoftThresholding)函数要解决的以下优化问题
对于标准的软阈值(Soft Thresholding)函数来说，这个优化问题的解是
注意：这里的B是一个向量，应该是逐个元素分别执行软阈值函数；其中标准的软阈值(SoftThresholding)函数是：
将符号换为此处的优化问题
则解为
注意：这里的x*是一个向量，应该是逐个元素分别执行软阈值函数；其中
然后我们根据Majorization-Minimization优化框架的流程进行迭代即可，注意z代表xn，即当前迭代值，而优化解soft(x*,λ)代表xn+1，用于下次迭代。
由于这个算法的整个过程相当于迭代执行软阈值(SoftThresholding)函数，所以把它称为迭代软阈值(Iterative Soft Thresholding)算法。
3、迭代软阈值算法MATLAB代码
在IST函数中，一共规定了三种IST跳出迭代的条件：第一个是重构结果经Phi变换后与原先y的差异，第二是最大迭代次数，第三个是重构结果x两次相邻迭代的差异。
以下为2016-08-12更新版本V1.1，相比于原先的V1.0改动之处为第1个跳出迭代循环的条件参考TwIST作了修改：
function [ x ] = IST_Basic( y,Phi,lambda,epsilon,loopmax )
% Detailed explanation goes here
%Version: 1.0 written by jbb0523 @2016-08-09
%Version: 1.1 modified by jbb0523 @2016-08-12
if nargin < 5
loopmax = 10000;
end
if nargin < 4
epsilon = 1e-2;
end
if nargin < 3
lambda = 0.1*max(abs(Phi'*y));
end
[y_rows,y_columns] = size(y);
if y_rows<y_columns
y = y';%y should be a column vector
end
soft = @(x,T) sign(x).*max(abs(x) - T,0);
n = size(Phi,2);
x = zeros(n,1);%Initialize x=0
f = 0.5*(y-Phi*x)'*(y-Phi*x)+lambda*sum(abs(x));%added in v1.1
loop = 0;
fprintf('\n');
while 1
x_pre = x;
x = soft(x + Phi'*(y-Phi*x),lambda);%update x
loop = loop + 1;
f_pre = f;%added in v1.1
f = 0.5*(y-Phi*x)'*(y-Phi*x)+lambda*sum(abs(x));%added in v1.1
if abs(f-f_pre)/f_pre<epsilon%modified in v1.1
fprintf('abs(f-f_pre)/f_pre<%f\n',epsilon);
fprintf('IST loop is %d\n',loop);
break;
end
if loop >= loopmax
fprintf('loop > %d\n',loopmax);
break;
end
if norm(x-x_pre)<epsilon
fprintf('norm(x-x_pre)<%f\n',epsilon);
fprintf('IST loop is %d\n',loop);
break;
end
end
end 原先的V1.0版本：
function [ x ] = IST_Basic( y,Phi,lambda,epsilon,loopmax )
% Detailed explanation goes here
%Version: 1.0 written by jbb0523 @2016-08-09
if nargin < 6
loopmax = 10000;
end
if nargin < 5
epsilon = 1e-6;
end
if nargin < 4
lambda = 0.1*max(abs(Phi'*y));
end
[y_rows,y_columns] = size(y);
if y_rows<y_columns
y = y';%y should be a column vector
end
soft = @(x,T) sign(x).*max(abs(x) - T,0);
n = size(Phi,2);
x = zeros(n,1);%Initialize x=0
loop = 0;
fprintf('\n');
while 1
x_pre = x;
x = soft(x + Phi'*(y-Phi*x),lambda);%update x
loop = loop + 1;
if norm(y-Phi*x)<epsilon
fprintf('norm(y-Phi*x)<%f\n',epsilon);
fprintf('IST loop is %d\n',loop);
break;
end
if loop >= loopmax
fprintf('loop > %d\n',loopmax);
break;
end
if norm(x-x_pre)<epsilon
fprintf('norm(x-x_pre)<%f\n',epsilon);
fprintf('IST loop is %d\n',loop);
break;
end
end
end
x = soft(x + Phi'*(y-Phi*x),lambda);%update x4、迭代软阈值算法测试
这里首先按传统的测试程序进行重构测试，这里的λ取值参考了文献【2】作者主页给出的代码里的方法(可以自己试一下，这个值到底是1还是2其实影响不大)：
clear all;close all;clc;
M = 64;%观测值个数
N = 256;%信号x的长度
K = 10;%信号x的稀疏度
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,1);
x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的
%x(Index_K(1:K)) = sign(5*randn(K,1));
Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵
Phi = orth(Phi')';
sigma = 0.005;
e = sigma*randn(M,1);
y = Phi * x + e;%得到观测向量y
% y = Phi * x;%得到观测向量y
%% 恢复重构信号x
tic
% lamda = sigma*sqrt(2*log(N));
lamda = 0.1*max(abs(Phi'*y));
fprintf('\nlamda = %f\n',lamda)
%x_r = BPDN_quadprog(y,Phi,lamda);
x_r = IST_Basic(y,Phi,lamda);
toc
%% 绘图
figure;
plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号
hold on;
plot(x,'r');%绘出原信号x
hold off;
legend('Recovery','Original')
fprintf('\n恢复残差：');
fprintf('%f\n',norm(x_r-x));%恢复残差 运行结果如下：（信号为随机生成，所以每次结果均不一样）
1)图
2）CommandWindows:
lamda= 0.177639
norm(x-x_pre)<0.000001
ISTloop is 106
Elapsedtime is 0.008842 seconds.
恢复残差：1.946232
从图中可以看出，重构结果的位置基本都是正确的，但确比原始信号都要小一些，为什么呢？从Command Windows的输出结果来看，IST迭代的106次，跳出迭代的条件是x在相邻两次迭代中基本不变了（norm(x-x_pre)<0.000001），也就是说最优点x已经基本不变了，若同样执行使用MATLAB自带的quadprog的基追踪降噪BPDN_quadprog函数（参见压缩感知重构算法之基追踪降噪），重构结果是正常的，到底为什么本文的IST重构结果得不到近似的x呢？难道理论推导有问题？
直到看了文献【2】中的Debiasing：
文中提到：“In many situations, itis worthwhile to debias the solution as a postprocessing step, to eliminate theattenuation of signal magnitude due to the presence of the regularization term.”，直译过来就是“在很多场合，作为一个后处理步骤对结果进行除偏(debias)是很值得的，用于消除由于正则项的存在对信号幅度造成的衰减”，读到这里就明白了，为什么本文的IST重构结果总是与真实的x幅度差一些呢？这是因为IST求解的优化问题含有正则项(regularizationterm)，即λ||x||1。直观地来讲，因为目标函数中存在λ||x||1项，在最优化min时这个也要尽量的小，所以IST的恢复的结果比实际的x幅度要小一些（与参数λ有关）。解决这个问题的办法就是对结果进行除偏(debias，注：有道词典查不到此单词，也没看中文文献是如何翻译的，直接根据词根琢磨了一下自己瞎翻译的)。
如何除偏(debias)呢？接着来看：“Inthe debiasing step, we fix at zero those individual components or groups thatare zero at the end of the SpaRSA process, and minimize the objective over theremaining elements.”，翻译一下就是“将SpaRSA重构结果中的为零的项固定为零，然后在剩除项上对目标函数进行最小化”，简单一点说就是优化文中的式(27)（正好与本文IST解决的问题相同，后来会专门分析SpaRSA算法）：
其中AI的含义更清晰的解释如下：
若SpaRSA重构的x为：
原来的矩阵A为：
则AI等于原矩阵A只保留第3列（对应x中的元素a）和第5列（对应x中的元素b）的子矩阵：
文献【2】后面继续谈到，若要求解式(27)可以使用共轭梯度法(Conjugate gradient)。实际上，式(27)的最优解为最小二乘解（熟悉匹配追踪系列算法的应该对这个很清楚，可参见压缩感知中的数学知识：投影矩阵（projectionmatrix）），即
在SpaRSA算法中，作者给出的官方代码里包括了debias过程，由一个参数来控制是否对重构结果执行debias过程，这里为了简单，就不修改IST函数了，直接在测试代码中加入debias代码：
clear all;close all;clc;
M = 64;%观测值个数
N = 256;%信号x的长度
K = 10;%信号x的稀疏度
Index_K = randperm(N);
x = zeros(N,1);
x(Index_K(1:K)) = 5*randn(K,1);%x为K稀疏的，且位置是随机的
%x(Index_K(1:K)) = sign(5*randn(K,1));
Phi = randn(M,N);%测量矩阵为高斯矩阵
Phi = orth(Phi')';
sigma = 0.005;
e = sigma*randn(M,1);
y = Phi * x + e;%得到观测向量y
% y = Phi * x;%得到观测向量y
%% 恢复重构信号x
tic
% lamda = sigma*sqrt(2*log(N));
lamda = 0.1*max(abs(Phi'*y));
fprintf('\nlamda = %f\n',lamda)
%x_r = BPDN_quadprog(y,Phi,lamda);
x_r = IST_Basic(y,Phi,lamda);
toc
%Debias
[xsorted inds] = sort(abs(x_r), 'descend');
AI = Phi(:,inds(xsorted(:)>1e-3));
xI = pinv(AI'*AI)*AI'*y;
x_bias = zeros(length(x),1);
x_bias(inds(xsorted(:)>1e-3)) = xI;
%% 绘图
figure;
plot(x_r,'k.-');%绘出x的恢复信号
hold on;
plot(x,'r');%绘出原信号x
hold off;
legend('Recovery','Original')
fprintf('\n恢复残差(original)：');
fprintf('%f\n',norm(x_r-x));%恢复残差
%Debias
figure;
plot(x_bias,'k.-');%绘出x的恢复信号
hold on;
plot(x,'r');%绘出原信号x
hold off;
legend('Recovery-debise','Original')
fprintf('恢复残差(debias)：');
fprintf('%f\n',norm(x_bias-x));%恢复残差 运行结果如下：（信号为随机生成，所以每次结果均不一样）
1)图：
第一幅图（IST重构结果与原信号对比）：
第二幅图（对IST重构结果debias后的结果与原信号对比）：
2)CommandWindows：
lamda = 0.405767
norm(x-x_pre)<0.000001
IST loop is 74
Elapsed time is 0.007175 seconds.
恢复残差(original)：3.736317
恢复残差(debias)：0.847947
从第二幅图的结果来看，debias后的结果已与BPDN_quadprog函数结果（参见压缩感知重构算法之基追踪降噪）在同一个水平了。
值得注意的是，在求最小二乘解的公式里包含矩阵求逆的过程，矩阵求逆在大规模(large scale)问题中是一个比较麻烦的问题，IST等迭代算法（包括IHTs等）本身相比于MP等算法的优势即为不含矩阵求逆，计算效率高，因此实际中求解文献【2】的式(27)不应该直接采用如上包含矩阵求逆的方式，尤其是大规模问题，否则IST算法计算量小的优势就没有了，此处仅是为了示范debias的效果。
5、结束语
值得注意的是，一般文献中出现的IST或ISTA简称中的“S”并非指的是“soft”，而是“shrinkage”，即“IteratedShrinkage/ThresholdingAlgorithm”，至于“shrinkage”是什么意思呢？我们还是先来看一下有道词典吧：
那么Iterative Soft Thresholding和Iterated Shrinkage/Thresholding有什么区别呢？你要认为它们是一样的也没问题，因为从文献中来看，很多作者的确是这么认为的；另外，还可以认为Iterative Soft Thresholding是Iterated Shrinkage/Thresholding的一种特殊情况，即每次迭代时正好是求软阈值函数时的特殊情况，而Iterated Shrinkage/Thresholding更是一种广义的称呼。
值得注意的是，本文参考文献很少，且均是与IST“不相关”的，这是因为没有哪一种文献明确提出IST，所以也不知道引用哪个了。
在下一篇中，我们从多篇文献中来看一看究竟什么是“Shrinkage”……
IST：Iterative Shrinkage/Thresholding和Iterative Soft Thresholding
6、参考文献
【1】Chen S S, Donoho D L,Saunders M A.Atomic decomposition by basis pursuit[J]. SIAM review, 2001, 43(1): 129-159.
【2】WrightS J, Nowak R D, Figueiredo M A T. Sparse reconstruction by separable approximation.[J]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2009,57(7):3373-3376.
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