引言

线性回归可能是我们接触最早的机器学习算法了，在高中数学的课本上，我们第一次正式认识这位朋友，通过最小二乘法来得到数据的线性回归方程，进而求得模型的参数。但其实，在初中时，我们就学过通过两个已知点坐标求解一次函数的技能，这也算是线性回归模型的一种特例吧。今天来给大家介绍另一种求解线性回归模型的方法——梯度下降法。

线性回归介绍

• 线性回归定义

线性回归（Linear regression）是利用回归方程（函数）对一个或多个自变量（特征值）和因变量（目标值）之间关系进行建模的一种分析方式。

• 举个例子

老黄勤勤恳恳打工数n年，终于攒下点儿小钱，想拿来买房~统计某楼盘数据如下：

把这些数据点绘制到坐标轴上，可以看出，房屋面积和房屋价格大致呈线性分布，即大致分布在一条直线上。如果能求出这条直线的方程，那么就能根据一个房屋的面积预测它的价格。

线性回归简化流程如下

其中，h(x)为：

目标：找到一条最好的拟合线，使得误差最小，也就是代价函数最小。代价函数（cost function）为：

代价函数与θ0，θ1的关系如图所示：

• 梯度下降法介绍

梯度下降法就是可以使代价函数最小化的算法，即寻找合适的θ0、θ1使得代价函数J(θ0,θ1)最小，实现步骤为：
1.初始化θ0,θ1；
2.不停地改变θ0,θ1使得J(θ0,θ1)减小；
3.直到找到J(θ0,θ1)的最小值或局部最小值。

重复如下操作：

同时更新：

将h(x)代入式子得：

对θ0求偏导：

对θ1求偏导：

对于凸函数来说，梯度下降法一般能得到唯一最优解，对于非凸函数，可能会陷入局部最优解。

接下来就使用numpy手动实现梯度下降法线性回归，然后调用sklearn接口实现线性回归。

手动实现梯度下降法线性回归

1、导入可能需要用到的库，导入csv数据文件，定义x变量和y变量，绘图显示x，y数据分布情况。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
plt.rcParams['font.sans-serif'] = ['SimHei'] # 步骤一（替换sans-serif字体）
plt.rcParams['axes.unicode_minus'] = False   # 步骤二（解决坐标轴负数的负号显示问题）

data = np.loadtxt('data.csv',delimiter=',')
x_data = data[:,0]
y_data = data[:,1
plt.scatter(x_data,y_data,marker='x',color='red')
plt.show()

输出结果如下，可以看出，x和y大致呈现线性分布。

2、定义学习率、初始截距和斜率、迭代次数，定义代价函数计算方法

learning_rate = 0.0001
b = 0
k = 0
n_iterables = 50

def compute_mse(x_data,y_data,k,b):
    mse = np.sum((y_data-(k*x_data+b))**2)/len(x_data)/2
    return mse

3、定义梯度下降函数，需要将x、y、初始截距、初始斜率、学习率、迭代次数作为参数传入，最终输出结果为目标截距、目标斜率，代价函数值列表。

def gradient_descent(x_data,y_data,k,b,learning_rate,n_iterables):
    m = len(x_data)
    start_loss = compute_mse(x_data,y_data,k,b)
    loss_value = [start_loss]
    for i in range(n_iterables):
        b_grad = np.sum((k*x_data+b)-y_data)/m
        k_grad = np.sum(((k*x_data+b)-y_data)*x_data)/m
        b = b - (learning_rate*b_grad)
        k = k - (learning_rate*k_grad)
        loss_value.append(compute_mse(x_data,y_data,k,b))
        print(b,k)
    return b,k,np.array(loss_value)

4、调用函数，得到结果，绘图。

b1,k1,loss_list = gradient_descent(x_data,y_data,k,b,learning_rate,n_iterables)
y_predict = k1*x_data+b1
print(b1,k1)

plt.scatter(x_data,y_data,marker='x',color='red')
plt.plot(x_data,y_predict)
plt.show()

输出结果b1=0.03056，k1=1.47889
如图，看着感觉还可以。

5、画出代价函数随迭代次数变化的曲线，如图所示，可以看出，经过10次迭代后，代价函数的变化就比较小了。

plt.plot(range(n_iterables+1),loss_list)
plt.xlabel('迭代次数')
plt.ylabel('损失值')
plt.show()

调用API接口实现线性回归

1、同样导入可能需要用到的库，导入csv数据文件，定义x变量和y变量，绘图显示x，y数据分布情况。

import numpy as np
from sklearn.linear_model import LinearRegression
import matplotlib.pyplot as plt

data = np.loadtxt('data.csv',delimiter=',')
x_data = data[:,0,np.newaxis]
y_data = data[:,1]
plt.scatter(x_data,y_data,marker='x',color='red')
plt.show()

2、定义模型，进行拟合，然后预测，得到结果，进行绘图，可以看到，调用API接口步骤非常简单。

model = LinearRegression()
model.fit(x_data,y_data)
y_predict = model.predict(x_data)
plt.scatter(x_data,y_data,marker='x',color='red')
plt.plot(x_data,model.predict(x_data),'b')
plt.show()

3、打印输出截距和斜率

b = model.intercept_
k = model.coef_[0]
print(b,k)

输出：b=7.99102，k=1.322431，与上面得到的结果还是有一些差异的，因为上面只迭代了50次，而调用接口得到的是精确解。

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