线性代数(5)—— 向量组的秩和矩阵的秩
向量组的秩和矩阵的秩
- 参考:张宇高等数学基础30讲
文章目录
1. 向量组的秩
1.1 极大线性无关组
-
极大线性无关组
:在向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s α1,α2,...,αs 中,若存在部分组 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \pmb{\alpha}_{i_1},\pmb{\alpha}_{i_2},...,\pmb{\alpha}_{i_r} αi1,αi2,...,αir 满足以下两个条件,则称 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \pmb{\alpha}_{i_1},\pmb{\alpha}_{i_2},...,\pmb{\alpha}_{i_r} αi1,αi2,...,αir 为原向量组的极大线性无关组- α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \pmb{\alpha}_{i_1},\pmb{\alpha}_{i_2},...,\pmb{\alpha}_{i_r} αi1,αi2,...,αir 线性无关
- 向量组中任意向量可以由 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \pmb{\alpha}_{i_1},\pmb{\alpha}_{i_2},...,\pmb{\alpha}_{i_r} αi1,αi2,...,αir 线性表出
-
两种特殊情况:
- 只有一个零向量组成的向量组 { 0 } \{\pmb{0}\} {0} 不存在极大线性无关组
- 一个线性无关向量组的极大线性无关组就是该向量组本身
-
求极大线性无关组的方法
- 把所有向量 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s α1,α2,...,αs 作为列向量拼成一个矩阵
- 做初等行变换化阶梯型,得到一组新的列向量 β 1 , β 2 , . . . , β s \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_s β1,β2,...,βs
- 每个阶梯任取一个列向量,得到向量组 β i 1 , β i 2 , . . . , β i r \pmb{\beta}_{i_1},\pmb{\beta}_{i_2},...,\pmb{\beta}_{i_r} βi1,βi2,...,βir,显然他们一定线性无关,且个数 r r r 为 { β } \{\pmb{\beta}\} {β} 这组向量的秩,所以它们组成 β 1 , β 2 , . . . , β s \pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_s β1,β2,...,βs 这组向量的极大线性无关组
- 根据 “对列向量做初等行变换不改变列向量的线性相关性”(说明见 此文第二节),取出原 { α } \{\pmb{\alpha}\} {α} 向量组中对应位置的列向量,即得到原向量组的极大线性无关组 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \pmb{\alpha}_{i_1},\pmb{\alpha}_{i_2},...,\pmb{\alpha}_{i_r} αi1,αi2,...,αir
示例:求向量组 β 1 = [ 1 , 2 , 1 , 3 ] ⊤ , β 2 = [ 1 , 1 , − 1 , 1 ] ⊤ , β 3 = [ 1 , 3 , 3 , 5 ] ⊤ , β 4 = [ 4 , 5 , − 3 , 6 ] ⊤ , β 5 = [ − 3 , − 5 , − 2 , − 7 ] ⊤ \pmb{\beta}_1 = [1,2,1,3]^\top,\pmb{\beta}_2 = [1,1,-1,1]^\top,\pmb{\beta}_3 = [1,3,3,5]^\top,\pmb{\beta}_4 = [4,5,-3,6]^\top,\pmb{\beta}_5 = [-3,-5,-2,-7]^\top β1=[1,2,1,3]⊤,β2=[1,1,−1,1]⊤,β3=[1,3,3,5]⊤,β4=[4,5,−3,6]⊤,β5=[−3,−5,−2,−7]⊤ 的极大线性无关组,并将其余向量用它们表出
-
重要性质
- 极大线性无关组是不唯一的(比如上例中每个阶梯可以任选向量)
- 极大线性无关组可以代表原向量组,它体现了原向量组的所有信息(看作系数矩阵行向量,极大线性无关组代表齐次线性方程组的所有有效方程/约束)
1.2 等价向量组
-
等价向量组
:设两个向量组 ( I ) α 1 , α 2 , . . . , α s , ( II ) β 1 , β 2 , . . . , β t (\text{I}) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s,(\text{II})\pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t (I)α1,α2,...,αs,(II)β1,β2,...,βt。若 ( I ) (\text{I}) (I) 中每个向量均可由 ( II ) (\text{II}) (II) 线性表出,称向量组 ( I ) (\text{I}) (I) 可由向量组 ( II ) (\text{II}) (II) 线性表出。若 ( I ) (\text{I}) (I) 和 ( II ) (\text{II}) (II) 可以相互线性表出,则称两个向量组是等价向量组,记作 ( I ) ≅ ( II ) (\text{I}) \cong (\text{II}) (I)≅(II)等价矩阵
:设 A , B \pmb{A},\pmb{B} A,B 都是 m × n m\times n m×n 维矩阵,若存在可逆矩阵 P m × m , Q n × n \pmb{P}_{m\times m},\pmb{Q}_{n\times n} Pm×m,Qn×n 使得 P A Q = B \pmb{PAQ}=\pmb{B} PAQ=B,则称 A , B \pmb{A},\pmb{B} A,B 是等价矩阵,记作 A ≅ B \pmb{A}\cong \pmb{B} A≅B -
等价向量组满足
反身性
: ( I ) ≅ ( I ) (\text{I}) \cong (\text{I}) (I)≅(I)对称性
: ( I ) ≅ ( II ) ⇒ ( II ) ≅ ( I ) (\text{I}) \cong (\text{II}) \Rightarrow (\text{II}) \cong (\text{I}) (I)≅(II)⇒(II)≅(I)传递性
: ( I ) ≅ ( II ) , ( II ) ≅ ( III ) ⇒ ( I ) ≅ ( III ) (\text{I}) \cong (\text{II}),(\text{II}) \cong (\text{III}) \Rightarrow (\text{I}) \cong (\text{III}) (I)≅(II),(II)≅(III)⇒(I)≅(III)- 任意向量组和它的极大线性无关组等价
-
区分等价向量组和等价矩阵
- 等价矩阵:矩阵 A , B \pmb{A},\pmb{B} A,B 同型,则 A ≅ B ⇔ rank ( A ) = rank ( B ) \pmb{A}\cong \pmb{B} \Leftrightarrow \text{rank}(\pmb{A})=\text{rank}(\pmb{B}) A≅B⇔rank(A)=rank(B)
- 等价向量组:向量组 ( I ) , ( II ) (\text{I}),(\text{II}) (I),(II) 同维,则 ( I ) ≅ ( II ) ⇔ rank ( I ) = rank ( II ) = rank ( I|II ) (\text{I}) \cong (\text{II}) \Leftrightarrow \text{rank}(\text{I}) = \text{rank}(\text{II}) = \text{rank}(\text{I|II}) (I)≅(II)⇔rank(I)=rank(II)=rank(I|II)
1.3 向量组的秩
向量组的秩
:向量组 α 1 , α 2 , . . . , α s \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s α1,α2,...,αs 的极大线性无关组 α i 1 , α i 2 , . . . , α i r \pmb{\alpha}_{i_1},\pmb{\alpha}_{i_2},...,\pmb{\alpha}_{i_r} αi1,αi2,...,αir 中所含向量个数 r r r 称为向量组的秩,记作 rank ( α 1 , α 2 , . . . , α s ) = r \text{rank}(\pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s) = r rank(α1,α2,...,αs)=r
1.4 重要定理和公式
矩阵的秩 = 行秩 = 列秩(三秩相等)
:任意矩阵 A \pmb{A} A,有
rank ( A ) = rank ( A 的行向量组 ) = rank ( A 的列向量组 ) \text{rank}(\pmb{A}) = \text{rank}(\pmb{A}的行向量组) = \text{rank}(\pmb{A}的列向量组) rank(A)=rank(A的行向量组)=rank(A的列向量组) 可以从矩阵的秩的定义角度进行说明,见第 2 节- 矩阵
A
\pmb{A}
A 经过
初等行变换
得到 B \pmb{B} B,有(说明见 此文第二节)-
A
,
B
\pmb{A},\pmb{B}
A,B 的
任何相应部分的列向量组有相同的线性相关性
-
A
,
B
\pmb{A},\pmb{B}
A,B 的
行向量组等价
-
A
,
B
\pmb{A},\pmb{B}
A,B 的
一个向量组被另一个向量组线性表出,前者的秩不大于后者的秩
,设两向量组 ( I ) α 1 , α 2 , . . . , α s , ( II ) β 1 , β 2 , . . . , β t (\text{I}) \pmb{\alpha}_1,\pmb{\alpha}_2,...,\pmb{\alpha}_s,(\text{II})\pmb{\beta}_1,\pmb{\beta}_2,...,\pmb{\beta}_t (I)α1,α2,...,αs,(II)β1,β2,...,βt,若向量组 ( II ) (\text{II}) (II) 可以由 ( I ) (\text{I}) (I) 线性表出,则
rank(II) ≤ rank(I) \text{rank(II)} \leq \text{rank(I)} rank(II)≤rank(I) 可以从向量空间的角度看, n n n 个 m m m 维向量组成的极大线性无关组,张成一个 m m m 维向量空间中的 n n n 维子空间( m ≥ n m\geq n m≥n)。向量组 ( II ) (\text{II}) (II) 可以由 ( I ) (\text{I}) (I) 线性表出,说明 ( II ) (\text{II}) (II) 的极大线性无关组张成的子空间在 ( I ) (\text{I}) (I) 的极大线性无关组张成的子空间内部,其维数一定小于等于后者
1.5 向量空间
1.5.1 基本概念
- 若
ξ
1
,
ξ
2
,
.
.
.
,
ξ
n
\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n
ξ1,ξ2,...,ξn 是
n
n
n 维向量空间
R
n
\pmb{R}^n
Rn 中的线性无关的有序向量组,则任意向量
a
∈
R
n
\pmb{a}\in \pmb{R}^n
a∈Rn 均可由
ξ
1
,
ξ
2
,
.
.
.
,
ξ
n
\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n
ξ1,ξ2,...,ξn 线性表出,记表出式为
α = a 1 ξ 1 + a 2 ξ 2 + . . . + a n ξ n \pmb{\alpha} = a_1\pmb{\xi}_1+a_2\pmb{\xi}_2 +...+ a_n\pmb{\xi}_n α=a1ξ1+a2ξ2+...+anξn 则称有序向量组 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn 是 R n \pmb{R}^n Rn 的一个基
,基向量个数称为向量空间的维数
,而 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] [a_1,a_2,...,a_n] [a1,a2,...,an] 或 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] ⊤ [a_1,a_2,...,a_n]^\top [a1,a2,...,an]⊤ 称为向量 α \pmb{\alpha} α 在这组基下的坐标/坐标行(列)向量
- 注意:
基 = 极大线性无关组 + 向量个数和维数相等
- 一组基要求向量个数和向量维数相等, n n n 个向量组成一组基,那么它们都是 n × 1 n\times 1 n×1 的列向量或 1 × n 1\times n 1×n 的行向量
- 极大线性无关组不要求向量个数和向量维数相等,一组基向量,每个向量都扩展 k k k 个 0,它们仍然线性无关,仍是一个极大线性无关组。因此 n n n 个 m m m 维向量组成的极大线性无关组,张成一个 m m m 维向量空间中的 n n n 维子空间( m ≥ n m\geq n m≥n)
1.5.2 基变换和坐标变换
- 若
η
1
,
η
2
,
.
.
.
,
η
n
\pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n
η1,η2,...,ηn 和
ξ
1
,
ξ
2
,
.
.
.
,
ξ
n
\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n
ξ1,ξ2,...,ξn 是向量空间
R
n
\pmb{R}^n
Rn 中的两个基,则它们一定可以相互表示(每个基都能线性表出整个空间),即存在
n
n
n 维方阵
C
\pmb{C}
C 使得
[ η 1 , η 2 , . . . , η n ] = [ ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ] C n × n [\pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n] = [\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n] \pmb{C}_{n\times n} [η1,η2,...,ηn]=[ξ1,ξ2,...,ξn]Cn×n 这称为由基 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn 到基 η 1 , η 2 , . . . , η n \pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n η1,η2,...,ηn 的基变换公式
,矩阵 C \pmb{C} C 称为由基 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn 到基 η 1 , η 2 , . . . , η n \pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n η1,η2,...,ηn 的过渡矩阵
- C \pmb{C} C 是可逆矩阵
- C \pmb{C} C 的第 i i i 列,是 η i \pmb{\eta}_i ηi 在基 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn 下的坐标列向量
- 设向量
α
\pmb{\alpha}
α 在 基
ξ
1
,
ξ
2
,
.
.
.
,
ξ
n
\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n
ξ1,ξ2,...,ξn 和基
η
1
,
η
2
,
.
.
.
,
η
n
\pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n
η1,η2,...,ηn 下的坐标分别为
x
=
[
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
]
⊤
\pmb{x}=[x_1,x_2,...,x_n]^\top
x=[x1,x2,...,xn]⊤ 和
y
=
[
y
1
,
y
2
,
.
.
.
,
y
n
]
⊤
\pmb{y}=[y_1,y_2,...,y_n]^\top
y=[y1,y2,...,yn]⊤,即
α = [ ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ] x = [ η 1 , η 2 , . . . , η n ] y \pmb{\alpha} = [\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n]\pmb{x} = [\pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n] \pmb{y} α=[ξ1,ξ2,...,ξn]x=[η1,η2,...,ηn]y 又基 ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n \pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n ξ1,ξ2,...,ξn 到基 η 1 , η 2 , . . . , η n \pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n η1,η2,...,ηn 的过渡矩阵为 C \pmb{C} C,即 [ η 1 , η 2 , . . . , η n ] = [ ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ] C n × n [\pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n] = [\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n] \pmb{C}_{n\times n} [η1,η2,...,ηn]=[ξ1,ξ2,...,ξn]Cn×n,则有
α = [ ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ] x = [ η 1 , η 2 , . . . , η n ] y = [ ξ 1 , ξ 2 , . . . , ξ n ] C y \begin{aligned} \pmb{\alpha} &= [\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n]\pmb{x}\\ &= [\pmb{\eta}_1,\pmb{\eta}_2,...,\pmb{\eta}_n] \pmb{y} \\ &= [\pmb{\xi}_1,\pmb{\xi}_2,...,\pmb{\xi}_n] \pmb{C}\pmb{y}\\ \end{aligned} α=[ξ1,ξ2,...,ξn]x=[η1,η2,...,ηn]y=[ξ1,ξ2,...,ξn]Cy 得坐标变换公式
x = C y 或 y = C − 1 x \pmb{x} = \pmb{Cy} \space或\space \pmb{y} = \pmb{C}^{-1}\pmb{x} x=Cy 或 y=C−1x
2. 矩阵的秩
矩阵的秩
:设 A \pmb{A} A 是 m × n m\times n m×n 矩阵,若存在 k k k 阶子式不为 0,而任意 k + 1 k+1 k+1 阶子式全为 0(如果有的话),则矩阵 A \pmb{A} A 的秩 rank ( A ) = k \text{rank}(\pmb{A}) = k rank(A)=k。且若 A \pmb{A} A 为 n n n 阶方阵,有 rank ( A n × n ) = n ⇔ ∣ A ∣ ≠ 0 ⇔ A 可逆 \text{rank}(\pmb{A}_{n\times n}) = n\Leftrightarrow |\pmb{A}| \neq 0 \Leftrightarrow \pmb{A} 可逆 rank(An×n)=n⇔∣A∣=0⇔A可逆- 注:
A
\pmb{A}
A 的
k阶子式
指从 A \pmb{A} A 中任取 k k k 行 k k k 列组成的子矩阵的行列式。行列式中行列等价,从这个角度可以说明 1.4 节的 “矩阵的秩 = 行秩 = 列秩”
2.1 初等变换不改变矩阵的秩
- 设
A
\pmb{A}
A 是
m
×
n
m\times n
m×n 矩阵,有可逆矩阵
P
m
×
m
,
Q
n
×
n
\pmb{P}_{m\times m},\pmb{Q}_{n\times n}
Pm×m,Qn×n,则
rank ( A ) = rank ( P A ) = rank ( A Q ) = rank ( P A Q ) \text{rank}(\pmb{A}) = \text{rank}(\pmb{PA}) = \text{rank}(\pmb{AQ}) = \text{rank}(\pmb{PAQ}) rank(A)=rank(PA)=rank(AQ)=rank(PAQ)
2.2 重要定理和公式
- 设
A
\pmb{A}
A 是
m
×
n
m\times n
m×n 矩阵,
B
\pmb{B}
B 是满足有关矩阵运算要求的矩阵,则
- 证明第3条
r
(
A
B
)
≤
min
{
r
(
A
)
,
r
(
B
)
}
r(\pmb{AB}) \leq \min\{r(\pmb{A}),r(\pmb{B})\}
r(AB)≤min{r(A),r(B)}:
设 A B = C 有 [ a 1 , a 2 , . . . , a n ] ⊤ B = [ a 1 B , a 2 B , . . . , a n B ] ⊤ = [ c 1 , c 2 , . . . , c n ] ⊤ 故 C 的任意行向量被 A 的行向量组线性表出 ∴ r ( A B ) ≤ r ( A ) ,同理 r ( A B ) ≤ r ( B ) ∴ r ( A B ) ≤ min { r ( A ) , r ( B ) } \begin{aligned} &设 \pmb{AB} = \pmb{C} \\ &有[\pmb{a}_1,\pmb{a}_2,...,\pmb{a}_n]^\top\pmb{B} = [\pmb{a}_1\pmb{B},\pmb{a}_2\pmb{B},...,\pmb{a}_n\pmb{B}]^\top = [\pmb{c}_1,\pmb{c}_2,...,\pmb{c}_n]^\top \\ &故 \pmb{C} 的任意行向量被 \pmb{A} 的行向量组线性表出 \\ &\therefore r(\pmb{AB}) \leq r(\pmb{A}),同理 r(\pmb{AB}) \leq r(\pmb{B}) \\ &\therefore r(\pmb{AB}) \leq \min\{r(\pmb{A}),r(\pmb{B})\} \end{aligned} 设AB=C有[a1,a2,...,an]⊤B=[a1B,a2B,...,anB]⊤=[c1,c2,...,cn]⊤故C的任意行向量被A的行向量组线性表出∴r(AB)≤r(A),同理r(AB)≤r(B)∴r(AB)≤min{r(A),r(B)} - 证明第4条
r
(
A
+
B
)
≤
r
(
A
)
+
r
(
B
)
r(\pmb{A+B}) \leq r(\pmb{A})+r(\pmb{B})
r(A+B)≤r(A)+r(B)
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