定理： $f=x^{T}Ax$ 正定的充要条件是 $A$ 的全部顺序主子式大于零。

必要性：即 $f=x^{T}Ax$ 正定 $\Rightarrow$ $A$ 的全部顺序主子式大于零。

首先，由于 $f=x^{T}Ax$ 正定，即对称矩阵$A$ 是正定矩阵（有人会问为什么 $A$ 是对称矩阵，这是研究二次型的必然要求，将二次多项式转换成$f=x^{T}Ax$的形式的时候，交叉项的系数可以全部是对称的），由于实对称矩阵必可正交对角化，所以矩阵 $A$ 可以表示为：
$$A=Q^T\left[\begin{array}{ccccc}{\lambda }_1& \cdots & 0& \cdots & \\ ⋮& {\lambda }_2& 0& \cdots & \\ 0& & & & \\ ⋮& & \ddots & \cdots & \\ 0& & & {\lambda }_n& \end{array}\right]Q$$

所以 $f=x^{T}Ax=x^T{Q}^T\wedge Qx$, 令 $y=Qx$，$f={\lambda }_1{y}_1^2+\cdots +{\lambda }_n{y}_n^2$，对任意的 $y=(y_1,...,y_n)$，都有 $f$ 大于 0，由于$Q$是正交矩阵，所以 $x=(x_1,...,x_n)$ 能够铺满整个n维空间，则 $y=Qx=(y_1,...,y_n)$ 也能铺满整个n维空间。所以对任意非零 $y$ 都有 $f>0$ ，取 $y_i\ne 0，y_j=0(j\ne i)$，能够得到 ${\lambda }_i{y}_i^2>0$，从而 ${\lambda }_i>0$，即正定矩阵的所有特征值全大于0，自然，行列式的值 $|A|={\lambda }_1{\lambda }_2...{\lambda }_n>0$。

记 $A_k$ 为 矩阵 $A$ 左上角的 $k$ 阶矩阵，$k=1,2,\cdots ,n-1$，由 $f=x^{T}Ax$ 对任意 $x\ne 0$ 成立，取 $x=(x_1,x_2,\cdots ,x_k,0,\cdots ,0)$，并记$x^{\prime }=(x_1,x_2,\cdots ,x_k)$，则 $x{}^{T}Ax=x^{\prime }{}^T{A}_k{x}^{\prime }>0$，我们可以得到 $A_k$也是正定矩阵，自然有$|A_k|>0$。从而，我们有正定矩阵$A$ 的顺序主子式全部大于0.

充分性：$A$ 的全部顺序主子式大于零 $\Rightarrow$ $f=x^{T}Ax$ 正定 。

对于 1 阶矩阵，任意1 阶矩阵 $A=[a]$ 的行列式为该矩阵的元素值，该矩阵的顺序主子式只有1个，即$|A|=a$，该矩阵的行列式大于 0 时，自然有对任意 $x$，$x^{T}Ax=a{x}^2>0$ 。

假设：对任意的 n - 1 阶矩阵，结论“$A$ 的全部顺序主子式大于零 $\Rightarrow$ $f=x^{T}Ax$ 正定” 成立。

对于 n 阶矩阵，

$$\begin{array}{rl}{x}^{T}Ax& =(x_1,x_2,...,x_n)\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& & & \\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\left(\begin{array}{r}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)\\ & =\begin{array}{r}{a}_{11}{x}_1^2+a_{12}{x}_1{x}_2+a_{13}{x}_1{x}_3+\cdots +a_{1n}{x}_1{x}_n\\ a_{21}{x}_2{x}_1+a_{22}{x}_2^2+a_{23}{x}_2{x}_3+\cdots +a_{2n}{x}_2{x}_n\\ ⋮\\ a_{n1}{x}_n{x}_1+a_{n2}{x}_n{x}_2+a_{n3}{x}_n{x}_3+\cdots +a_{nn}{x}_n^2\end{array}\end{array}$$
将 $x^{T}AX$ 表示为：

$$\begin{array}{rl}{x}^{T}Ax& =\frac{1}{a_{11}}(a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n{)}^2+\sum _{i=2}^n\sum _{j=2}^n{b}_{ij}{x}_i{x}_j\end{array}$$

其中，$b_{ij}=a_{ij}-\frac{a_{1i}{a}_{1j}}{a_{11}}$，由于 $A$ 是实对称矩阵，所以 $a_{ij}=a_{ji}$，所以 $b_{ji}=a_{ji}-\frac{a_{1j}{a}_{1i}}{a_{11}}=a_{ij}-\frac{a_{1i}{a}_{1j}}{a_{11}}=b_{ij}$.

$$\sum _{i=2}^n\sum _{j=2}^n{b}_{ij}{x}_i{x}_j=(x_2,x_3,\cdots ,x_n)\left[\begin{array}{cccc}{b}_{22}& b_{23}& \cdots & b_{2n}\\ b_{32}& b_{33}& \cdots & b_{3n}\\ ⋮& & \ddots & ⋮\\ b_{n2}& b_{n3}& \cdots & b_{nn}\end{array}\right]\left(\begin{array}{c}{x}_2\\ x_3\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right)$$
记 ${\sum }_{i=2}^n{\sum }_{j=2}^n{b}_{ij}{x}_i{x}_j=x^{\prime T}B{x}^{\prime }$，则 B 也是实对称矩阵。

记矩阵 $A$ 左上角的 k 阶矩阵为 $A_k,k=2,3,\cdots ,n$，则
$$\begin{array}{rl}|A_k|& =\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1k}\\ a_{21}& a_{22}& a_{23}& \cdots & a_{2k}\\ a_{31}& a_{32}& a_{33}& \cdots & a_{3k}\\ ⋮& & & \ddots & ⋮\\ a_{k1}& a_{k2}& a_{k3}& \cdots & a_{kk}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1k}\\ 0& a_{22}-\frac{a_{12}{a}_{21}}{a_{11}}& a_{23}-\frac{a_{13}{a}_{21}}{a_{11}}& \cdots & a_{2k}-\frac{a_{1k}{a}_{21}}{a_{11}}\\ 0& a_{32}-\frac{a_{12}{a}_{31}}{a_{11}}& a_{33}-\frac{a_{13}{a}_{31}}{a_{11}}& \cdots & a_{3k}-\frac{a_{1k}{a}_{31}}{a_{11}}\\ ⋮& & & \ddots & \\ 0& a_{k2}-\frac{a_{12}{a}_{k1}}{a_{11}}& a_{k3}-\frac{a_{13}{a}_{k1}}{a_{11}}& \cdots & a_{kk}-\frac{a_{1k}{a}_{k1}}{a_{11}}\end{array}\right|\\ & =\left|\begin{array}{ccccc}{a}_{11}& a_{12}& a_{13}& \cdots & a_{1k}\\ 0& b_{22}& b_{23}& \cdots & b_{2k}\\ 0& b_{32}& b_{33}& \cdots & b_{3k}\\ ⋮& & & \ddots & \\ 0& b_{k2}& b_{k3}& \cdots & b_{kk}\end{array}\right|\\ & =a_{11}\left|\begin{array}{cccc}{b}_{22}& b_{23}& \cdots & b_{2k}\\ b_{32}& b_{33}& \cdots & b_{3k}\\ ⋮& & \ddots & \\ b_{k2}& b_{k3}& \cdots & b_{kk}\end{array}\right|\end{array}$$
由 $A$ 的全部顺序主子式大于0, 有 $a_{11}>0,|A_k|>0$，可得 $|B_k|=\frac{|A_k|}{a_{11}}>0$
同样地，$|A_{k-1}|>0$，可得 $|B_{k-1}|=\frac{|A_{k-1}|}{a_{11}}>0$，

以此类推，可得实对称矩阵 $B$ 的所有顺序主子式大于0。

根据假设，对于任意n-1阶矩阵，全部顺序主子式大于0能够得到该矩阵正定，所以 ${\sum }_{i=2}^n{\sum }_{j=2}^n{b}_{ij}{x}_i{x}_j=x^{\prime T}B{x}^{\prime }$ 对于任意 $x^{\prime }\ne 0$，都大于0. 则：

$$\begin{array}{rl}{x}^{T}Ax& =\frac{1}{a_{11}}(a_{11}{x}_1+a_{12}{x}_2+\cdots +a_{1n}{x}_n{)}^2+\sum _{i=2}^n\sum _{j=2}^n{b}_{ij}{x}_i{x}_j\\ & >0\end{array}$$

由此我们可以得到，在假设对于n-1阶矩阵结论成立的情况下，能够推出对于n阶矩阵结论仍然成立，又对于1阶矩阵结论显然是成立的。所以我们就能得到：

$A$ 的全部顺序主子式大于零 $\Rightarrow$ $f=x^{T}Ax$ 正定 。

必要性和充分性都得到了证明，所以我们就证明了最开始的定理。